गणित में औसत क्या है?

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गणित में, एक औसत, जिसे माध्य भी कहा जाता है, एक संख्या है जो संख्याओं या डेटा के एक सेट के मान को एक में सारांशित करता है । इसे केंद्रीय प्रवृत्ति के माप के रूप में जाना जाता है क्योंकि यह किसी तरह से एक मूल्य का प्रतिनिधित्व करता है जो डेटा संग्रह के केंद्र में होता है।

औसत किस लिए हैं?

औसत बहुत मददगार होते हैं, क्योंकि वे हमें प्रत्येक व्यक्तिगत मूल्यों के विवरण में खोए बिना बड़ी संख्या में डेटा के व्यवहार को व्यापक स्ट्रोक में देखने की अनुमति देते हैं। सादृश्य का उपयोग करने के लिए, औसत की गणना करने से हम पेड़ों पर ध्यान केंद्रित करने के बजाय जंगल को समग्र रूप से देख सकते हैं।

उदाहरण के लिए, हमारे पास एक तालिका हो सकती है जिसमें एक शैक्षिक संस्थान के समान ग्रेड के 100 छात्रों की ऊंचाई के मान हैं। सबसे अधिक संभावना है, इनमें से कोई भी व्यक्ति बिल्कुल समान ऊंचाई का नहीं है, इसलिए तालिका में अधिकांश मान भिन्न होंगे।

क्या होगा यदि कोई हमसे पूछे कि उस कक्षा के छात्र उस परिसर में कितने लम्बे हैं? उत्तर के रूप में इनमें से किसी की भी ऊंचाई देना गलत होगा। यहीं से औसत मदद करना शुरू करते हैं। 100 अलग-अलग ऊंचाइयों की रिपोर्ट करने के बजाय, औसत आपको एक ही संख्या में सभी सूचनाओं को संक्षेप में प्रस्तुत करने की अनुमति देता है। तब हम कह सकते हैं कि परिसर में छात्र औसतन 1.67 मीटर लंबे हैं (यदि ऐसा होता)।

इसका मतलब यह नहीं है कि सभी छात्रों की माप 1.67 नहीं है, और न ही उनमें से किसी की भी यह ऊंचाई है। बस इतना है कि उस परिसर में उस ग्रेड में छात्रों की ऊंचाई का सबसे अच्छा प्रतिनिधित्व करने वाली संख्या 1.67 मीटर है।

औसत की गणना के साथ सूचना का नुकसान

जाहिर है, डेटा को औसत में सारांशित करके, आप बहुत सारी जानकारी खो रहे हैं। स्पष्टता के लिए सूचना का त्याग किया जाता है। औसत की गणना वर्णनात्मक आंकड़ों के रूप में जानी जाने वाली का हिस्सा है, जो तकनीकों और गणनाओं के एक सेट से ज्यादा कुछ नहीं है जो डेटा के बड़े संग्रह के व्यवहार या विशेषताओं को कुछ संख्याओं के साथ वर्णित करने की अनुमति देती है।

औसत अपने आप में आमतौर पर हमारे द्वारा प्रदान किए जाने वाले कई अनुप्रयोगों के लिए पर्याप्त जानकारी प्रदान नहीं करते हैं। कुछ लापता जानकारी को पुनर्प्राप्त करने के लिए, माध्य के आसपास अलग-अलग डेटा के फैलाव के कुछ माप के साथ औसत को अक्सर रिपोर्ट किया जाता है, जैसे कि भिन्नता या मानक विचलन।

औसत के प्रकार और उनके सूत्र

डेटा के संग्रह से औसत की गणना करने के विभिन्न तरीके हैं। यह विभिन्न प्रकार के औसत या बल्कि, औसत को जन्म देता है।

  • अंकगणितीय माध्य (X̅ या AM)
  • भारित अंकगणितीय माध्य (WAM)
  • ज्यामितीय माध्य (जीएम)
  • हार्मोनिक मीन (एचएम)
  • रूट मीन स्क्वायर (RMS)

अंकगणितीय माध्य (X̅ या AM)

अंकगणित माध्य, या एएम, दैनिक जीवन में औसत का सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला रूप है। यह औसत किए जाने वाले तत्वों का एक साधारण योग है, जो तत्वों या डेटा की कुल संख्या से विभाजित होता है।

अंकगणितीय माध्य को कई गणितीय संदर्भों में प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है जो चर के ऊपर एक बार के साथ औसत होने का प्रतिनिधित्व करता है। उदाहरण के लिए, चर X के अंकगणितीय माध्य को X̅ (X-बार) के रूप में दर्शाया गया है। इसे कभी-कभी AM X द्वारा भी दर्शाया जाता है । इसका सूत्र दिया गया है:

गणित में औसत

इस समीकरण में, X i i वें व्यक्तिगत डेटा आइटम का प्रतिनिधित्व करता है और n डेटा आइटमों की औसत संख्या है।

इस औसत की यह विशेषता है कि यह सभी आँकड़ों के केंद्र में होता है, इस प्रकार कि औसत के संबंध में सभी व्यक्तिगत आँकड़ों के विचलनों का योग हमेशा शून्य होता है।

अंकगणित माध्य आउटलेयर या अत्यधिक डेटा के प्रति बहुत संवेदनशील है। यही है, जब किसी डेटा सेट में कोई मान होता है जो या तो अन्य डेटा के विशाल बहुमत से बहुत बड़ा होता है या बहुत छोटा होता है, तो ये चरम डेटा अन्य डेटा के बहुमत से दूर औसत को अपनी ओर खींचता है।

भारित अंकगणितीय माध्य (WAM या W)

अंकगणित माध्य औसत होने वाले सभी डेटा को समान महत्व या भार देता है। हालाँकि, यह हमेशा सुविधाजनक नहीं होता है, क्योंकि कुछ डेटा दूसरों की तुलना में अधिक महत्वपूर्ण हो सकते हैं। इन मामलों में, भारित अंकगणितीय माध्य या भारित औसत का उपयोग किया जाता है, जिसे आमतौर पर प्रतीक W (अंग्रेजी से ” वजनित औसत” ) द्वारा दर्शाया जाता है।

भारित औसत में, प्रत्येक डेटा आइटम के सापेक्ष महत्व को प्रत्येक डेटा आइटम ( Xi ) के लिए एक विशेष भार कारक ( wi ) के रूप में गणना में दर्ज किया जाता है । डेटा का महत्व जितना अधिक होता है, उसका भार कारक उतना ही अधिक होता है, इस प्रकार अंतिम औसत पर इसका प्रभाव बढ़ता है। भारित औसत की गणना करने का सूत्र है:

गणित में औसत

वेटिंग फैक्टर को मनमाने ढंग से चुना जा सकता है, और कुछ मामलों में उपयुक्त वेटिंग फ़ंक्शन का उपयोग करके गणना भी की जा सकती है, जैसा कि आवश्यक समझा जाता है।

एक स्थिति का एक उदाहरण जहां भारित औसत सामान्य औसत से अधिक उपयुक्त है, एक छात्र के ग्रेड बिंदु औसत की गणना के मामले में दिया गया है। अंकगणित माध्य या साधारण औसत इन मामलों के लिए उपयुक्त नहीं है, क्योंकि ऐसे विषय हैं जिनमें दूसरों की तुलना में बहुत अधिक काम और समर्पण की आवश्यकता होती है, और ऐसे विषय भी हैं जो छात्र के शैक्षणिक भविष्य के लिए दूसरों की तुलना में अधिक महत्वपूर्ण हैं। इस कारण से, उन्हें कम महत्वपूर्ण विषयों की तुलना में GPA में अधिक योगदान देना चाहिए।

इन मामलों में, विषय की क्रेडिट इकाइयों की संख्या आमतौर पर भार कारक के रूप में उपयोग की जाती है।

ज्यामितीय माध्य (जीएम)

ज्यामितीय माध्य की गणना में, डेटा का योग लेने और इसे डेटा की संख्या से विभाजित करने के बजाय, अलग – अलग डेटा को एक साथ गुणा किया जाता है और संयुक्त उत्पाद की n वीं जड़ ली जाती है।

गणित में औसत

यदि किसी भी डेटा का औसत शून्य है, तो इसका अर्थ शून्य होने का गुण है। इसके अलावा, यदि डेटा आइटम की संख्या सम है, तो नकारात्मक डेटा के लिए ज्यामितीय माध्य परिभाषित नहीं किया गया है, यही कारण है कि इसकी उपयोगिता सख्ती से सकारात्मक संख्याओं तक सीमित है।

प्रतिशत औसत की गणना करते समय इस प्रकार के औसत का अक्सर उपयोग किया जाता है।

हार्मोनिक मीन (एचएम)

हार्मोनिक माध्य, या एचएम, औसत का एक प्रकार है जो अक्सर औसत मात्रा के लिए उपयोग किया जाता है जिसे उत्पादों या उद्धरण के रूप में गणना की जाती है। कुछ महत्वपूर्ण उदाहरण समान लंबाई की यात्राओं पर औसत गति की गणना, शेयर बाजार में निवेश का मूल्य/आय अनुपात (प्रति) आदि हैं।

हार्मोनिक माध्य की गणना करने के सूत्र में व्यक्तिगत डेटा के व्युत्क्रमों के अंकगणितीय माध्य के व्युत्क्रम होते हैं। दूसरे शब्दों में, यह निम्नलिखित समीकरण द्वारा दिया जाता है:

गणित में औसत

रूट मीन स्क्वायर (RMS)

रूट माध्य वर्ग के रूप में भी जाना जाता है, RMS डेटा के लिए उपयुक्त औसत प्रकार का प्रतिनिधित्व करता है जिसमें सकारात्मक और नकारात्मक दोनों मान होते हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि यह व्यक्तिगत डेटा के वर्गों के अंकगणितीय माध्य के वर्गमूल से मेल खाता है। डेटा के प्रत्येक टुकड़े को चुकता करके, प्राप्त परिणाम हमेशा सकारात्मक होगा, इसलिए औसत की गणना पर इस चिन्ह का प्रभाव समाप्त हो जाता है।

आरएमएस द्वारा दिया गया है:

गणित में औसत का उदाहरण

RMS का सबसे आम अनुप्रयोग साइनसोइडल तरंग के साथ AC करंट के प्रभावी वोल्टेज की गणना है। इस मामले में, सबसे महत्वपूर्ण बात तरंग का औसत आयाम है न कि वोल्टेज का औसत मान, जो 0 V के आसपास समरूपता के कारण शून्य है।

केंद्रीय प्रवृत्ति के अन्य उपाय: माध्यिका और बहुलक

विभिन्न माध्यमों के अलावा जो हमने पहले देखे, केंद्रीय प्रवृत्ति के अन्य उपाय भी हैं जो मुख्य रूप से सांख्यिकी में उपयोग किए जाते हैं। ये माध्यिका और विधा हैं।

माध्यिका (X̃)

मात्रात्मक डेटा के एक सेट में सबसे छोटे से सबसे बड़े क्रम में, मध्यिका केंद्रीय डेटा या चर के मान का प्रतिनिधित्व करती है जो डेटा श्रृंखला को दो हिस्सों में विभाजित करती है या डेटा की समान संख्या के साथ सेट करती है। इस तरह, माध्यिका का निर्धारण, जो ब्याज के चर के प्रतीक के ऊपर एक टिल्ड या टिल्ड लगाकर दर्शाया जाता है (उदाहरण के लिए, ṽ वेग डेटा की एक श्रृंखला के माध्यिका का प्रतिनिधित्व कर सकता है), की कुल संख्या पर निर्भर करता है मौजूद डेटा।

माध्यिका की आवश्यक रूप से गणना नहीं की जाती है, बल्कि डेटा सेट में इसकी पहचान की जाती है। माध्यिका की पहचान करने के लिए, सबसे पहले सभी आंकड़ों को सबसे छोटे से सबसे बड़े क्रम में लगाना और फिर उन्हें 1 से आगे क्रम में क्रमांकित करना है। अगला चरण इस बात पर निर्भर करता है कि मौजूद डेटा की कुल संख्या (एन) सम है या विषम:

विषम डेटा की संख्या: यदि श्रृंखला में डेटा की एक विषम संख्या है, तो माध्य संख्या (n+1)/2 के साथ पहचाना जाने वाला डेटा होगा। उदाहरण के लिए, यदि कुल 15 डेटा बिंदु हैं, तो माध्यिका डेटा बिंदु (15+1)2=8 होगी, क्योंकि यह माध्यिका के नीचे 7 डेटा बिंदु और माध्यिका के ऊपर 7 डेटा बिंदु छोड़ता है।

सम डेटा की संख्या: इस मामले में कोई केंद्रीय डेटा नहीं है जो श्रृंखला को दो बराबर हिस्सों में विभाजित करता है, इसलिए माध्यिका की गणना दो केंद्रीय डेटा के अंकगणितीय माध्य के रूप में की जाती है, अर्थात डेटा संख्या n/2 और डेटा (एन/2) +1। उदाहरण के लिए, यदि किसी डेटा श्रृंखला में 24 डेटा आइटम हैं, तो माध्यिका डेटा आइटम 2/2=12 और डेटा आइटम (2/24)+1=13 के बीच का साधारण औसत होगा।

माध्य माध्य की तुलना में अत्यधिक मूल्यों के प्रति कम संवेदनशील होने का लाभ प्रदान करता है। हालाँकि, यदि डेटा विषम है तो यह केंद्रीय प्रवृत्ति का अच्छा उपाय नहीं है।

मोड (मो एक्स )

मोड डेटा सेट में सबसे अधिक बार-बार होने वाला मान या श्रेणी है। यह श्रृंखला में “सबसे गर्म” मूल्य की तरह कुछ है और उच्चतम शिखर का प्रतिनिधित्व करता है जब डेटा को हिस्टोग्राम के रूप में दर्शाया जाता है।

विभिन्न औसतों की गणना का उदाहरण

मान लीजिए कि हमारे पास राजधानी में एक स्कूल में गणित अनुभाग में 30 छात्रों की ऊंचाई के अनुरूप डेटा की निम्नलिखित श्रृंखला है। सभी ऊंचाई मीटर में हैं।

1.56 1.45 1.44 1.60 1.58
1.39 1.71 1.49 1.52 1.53
1.63 1.68 1.47 1.56 1.59
1.40 1.50 1.58 1.62 1.66
1.74 1.79 1.58 1.67 1.70
1.51 1.61 1.69 1.73 1.77

इन आंकड़ों से a) अंकगणितीय माध्य निर्धारित करें; बी) ज्यामितीय माध्य; ग) हार्मोनिक माध्य; डी) आरएमएस, और ई) माध्यिका।

समाधान

चूँकि हमें माध्यिका निर्धारित करने के लिए कहा जाता है, और इसके लिए हमें डेटा को क्रमबद्ध और पहचानने की आवश्यकता होती है, हम वहाँ से शुरू करेंगे, क्योंकि यह आमतौर पर अन्य गणनाओं को सुगम बनाता है:

यो शी _ यो शी _
1 1.39 16 1.59
2 1.40 17 1.60
3 1.44 18 1.70
4 1.45 19 1.62
5 1.47 बीस 1.63
6 1.49 इक्कीस 1.66
7 1.50 22 1.74
8 1.60 23 1.68
9 1.52 24 1.85
10 1.53 25 1.79
ग्यारह 1.56 26 1.71
12 1.56 27 1.90
13 1.58 28 1.82
14 1.67 29 2.01
पंद्रह 1.58 30 1.93

अब, इस तालिका का उपयोग करके, हम उन साधनों की गणना करेंगे जिनकी गणना करने के लिए हमें कहा गया है। किसी भी मामले में, यह ऊपर दिखाए गए समीकरणों को लागू करने का मामला है:

अंकगणित औसत

गणित में औसत का उदाहरण

जियोमेट्रिक माध्य

गणित में औसत का उदाहरण

अनुकूल माध्य

गणित में औसत का उदाहरण

आरएमएस

गणित में औसत का उदाहरण

मंझला

चूंकि यह डेटा की एक सम संख्या है, माध्यिका डेटा का अंकगणितीय माध्य 30/2=15 और (30/2)+1=16 होगा, अर्थात यह 1.58 और 1.59 के बीच का औसत होगा:

गणित में औसत का उदाहरण

संदर्भ

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Israel Parada (Licentiate,Professor ULA)
(Licenciado en Química) - AUTOR. Profesor universitario de Química. Divulgador científico.

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