तीन या अधिक सेटों के मिलन की संभावना

आँकड़ों में, ऐसी परिस्थितियों का सामना करना बहुत आम है जिसमें आप कई अलग-अलग घटनाओं की संघ संभावना की गणना करना चाहते हैं। उदाहरण के लिए, एक कैंडी स्टोर के मालिक की रुचि यह निर्धारित करने में हो सकती है कि इस बात की क्या संभावना है कि उसकी दुकान में प्रवेश करने वाला अगला बच्चा एक सफेद चॉकलेट बार या दूध चॉकलेट बार खरीदेगा। इस मामले में, हम दो संभावित घटनाओं में से एक की संभावना निर्धारित करना चाहते हैं, जो सेट सिद्धांत के अनुसार, दोनों घटनाओं, या पी (एयूबी) की संघ संभावना है।

वर्णित मामले में, इस संभावना की गणना में केवल व्यक्तिगत संभावनाओं का योग होता है, दोनों घटनाओं के बीच प्रतिच्छेदन की संभावना को घटाता है, जो है:

चौराहे की संभावना को घटाया जाना चाहिए, इसका कारण यह है कि दोनों घटनाओं की संभावनाओं को जोड़कर, किसी चौराहे को दो बार गिना जा रहा है। यह समझने की अपेक्षाकृत सरल प्रक्रिया है। हालाँकि, यह भी हो सकता है कि हम दो की नहीं, बल्कि तीन या अधिक घटनाओं की संघ संभावना का निर्धारण करना चाहते हैं। ऐसे मामलों में क्या किया जाना चाहिए? अगले खंड में हम तीन-घटना और चार-घटना मामलों में लागू करने के सूत्र को निर्धारित करने का एक सरल तरीका देखेंगे, और फिर हम उपरोक्त सूत्र के साथ इन परिणामों का उपयोग संघ संभाव्यता के निर्धारण को सामान्य बनाने के लिए करेंगे। किसी भी संख्या में घटनाओं के लिए। घटनाओं।

मूल बातें समीक्षा

संघ संभावनाओं की गणना की प्रक्रिया को समझने के लिए, कुछ महत्वपूर्ण शब्दों को संक्षेप में याद करना आवश्यक है जिनका उपयोग बाद में किया जाएगा:

प्रयोग । संभाव्यता में, एक प्रयोग कोई भी प्रक्रिया है जिसे कई बार दोहराया जा सकता है और हमेशा एक परिणाम उत्पन्न करता है। प्रत्येक प्रयोग संभावित परिणामों के एक निश्चित सेट से जुड़ा होता है जो हमेशा समान रहेगा।

परिणाम । हम एक प्रयोग के परिणाम को एक परिणाम कहेंगे, जैसे पासा फेंकने पर जो विशेष चेहरा सामने आता है।

नमूना स्थान (एस) । एक प्रयोग के सभी संभावित परिणामों का सेट।

घटना । संभावित परिणामों का कोई भी सेट।

वेन आरेख । ग्राफिकल प्रतिनिधित्व जो घटनाओं के सेट और एक प्रयोग में घटनाओं की संभावना के बीच संबंधों को दर्शाता है।

तीन घटनाओं की संघ संभावना

मान लीजिए कि हम एक प्रयोग करते हैं और हम 3**3 तीन अलग-अलग घटनाओं में से एक की संभावना निर्धारित करना चाहते हैं, जो एक साथ घटित हो भी सकती है और नहीं भी। हम इन तीन घटनाओं को ए, बी और सी कहेंगे।

इन मामलों में, कई अलग-अलग स्थितियां हो सकती हैं। उदाहरण के लिए, ऐसा हो सकता है कि कोई भी घटना किसी अन्य के साथ परिणाम साझा न करे, इस मामले में हम कहते हैं कि घटनाएँ पारस्परिक रूप से अनन्य हैं, जिसे निम्नलिखित वेन आरेख में उदाहरण दिया गया है:

सर्कल ए, बी और सी तीन घटनाओं का प्रतिनिधित्व करते हैं और नमूना स्थान के भीतर परिणामों का एक सेट संलग्न करते हैं, जो कि अक्षर एस के साथ पहचाना जाने वाला ग्रे आयत है। इन मामलों में, संघ की संभावना केवल प्रत्येक की संभावनाओं के योग द्वारा दी जाती है। अलग घटना:

दूसरी ओर, घटनाओं में से एक अन्य दो घटनाओं में से एक या दोनों के साथ भी परिणाम साझा कर सकती है। यह एक वेन आरेख में उन क्षेत्रों के रूप में चित्रित किया गया है जो एक दूसरे को काटते हैं।

इन मामलों में, संभावनाओं का योग कुछ परिणामों को एक से अधिक बार ध्यान में रखता है, इसलिए इन संभावनाओं को घटाना आवश्यक है जिन्हें अधिक गिना गया है। यही है, हमें घटनाओं की प्रत्येक जोड़ी के बीच प्रतिच्छेदन की संभावना घटानी चाहिए। हालांकि, ऐसे मामलों में जहां सभी तीन घटनाओं में परिणाम मौजूद हैं (जैसे कि ऊपर वेन आरेख के केंद्र में), जोड़े के चौराहे का घटाव उस केंद्रीय क्षेत्र के योगदान को हटा देता है जिस पर जोड़े तीन घटनाओं को काटते हैं। इस कारण से, हमें इस छोटे से क्षेत्र को फिर से जोड़ना होगा जो ए, बी और सी के प्रतिच्छेदन की संभावना से मेल खाता है।

अंत में, तीन घटनाओं की संघ संभावना है:

नोट: हालांकि इस अभिव्यक्ति को उस विशेष मामले के लिए कहा गया था जहां तीन घटनाएं एक दूसरे को प्रतिच्छेद करती हैं, यह तीन-घटना मामले का अधिक सामान्य रूप है क्योंकि इसे तीन घटनाओं के किसी भी सेट की संघ संभाव्यता में परिवर्तित किया जा सकता है, चाहे वे प्रतिच्छेद करें या नहीं। उदाहरण के लिए, पारस्परिक रूप से अनन्य घटनाओं के मामले में, सभी प्रतिच्छेदन संभावनाएं शून्य हैं, इसलिए इस खंड की शुरुआत में दिखाई गई व्यक्तिगत संभावनाओं के योग के लिए अभिव्यक्ति कम हो जाती है।

चार घटनाओं की संघ संभावना

मान लीजिए कि अब हम एक नया प्रयोग करते हैं और चार घटनाओं: ए, बी, सी और डी के बीच मिलन की संभावना में रुचि रखते हैं। सबसे सामान्य मामला यह है कि वे सभी एक-दूसरे को काट सकते हैं, जैसा कि निम्नलिखित आरेख में दिखाया गया है:

इस मामले में, चार साधारण संभावनाओं का योग क्षेत्र I में निहित परिणामों की संभावना का चार गुना, क्षेत्रों II, III, IV, और V का तीन गुना, और क्षेत्रों VI, VII, VIII, और दो बार उन क्षेत्रों की गणना करता है। नौवीं। इसे ठीक करने के लिए, हमें सबसे पहले सभी जोड़े (ए और बी, ए और सी, ए और डी, बी और सी, बी और डी, और सी और डी) की प्रतिच्छेदन संभावनाओं को घटाना होगा। यह बदले में, तीन (एबीसी, एबीडी, एसीडी, और बीसीडी) के प्रत्येक समूह के चौराहे के क्षेत्रों को कई बार घटा देता है, इसलिए इन क्षेत्रों को फिर से जोड़ा जाना चाहिए, और इसी तरह तब तक जब तक सभी क्षेत्रों की एक बार गणना नहीं हो जाती।

चार घटनाओं के मामले का परिणाम, चाहे परस्पर अनन्य हो या नहीं, यह है:

चार से अधिक घटनाओं की संघ संभावना

इस बिंदु तक हम पहले से ही दो, तीन और चार घटनाओं की संघ संभावनाओं के सूत्रों के बीच एक पैटर्न का पता लगा सकते हैं। वे सभी सरल प्रायिकताओं के योग से शुरू करते हैं, फिर घटनाओं के सभी संभावित युग्मों के बीच प्रतिच्छेदन प्रायिकता घटाते हैं, फिर तीन घटनाओं के प्रत्येक संभावित समूह की प्रतिच्छेदन प्रायिकता जोड़ते हैं, और इसी तरह, प्रतिच्छेदन को वैकल्पिक रूप से जोड़ते और घटाते हैं। अधिक घटनाएँ जब तक हम सभी घटनाओं के चौराहे तक नहीं पहुँच जाते। घटनाओं की एक सम संख्या के लिए, यह अंतिम चौराहा हमेशा ऋणात्मक (घटाया हुआ) होता है, जबकि विषम संख्या की घटनाओं के लिए, यह हमेशा सकारात्मक (जोड़ा गया) होता है।

संदर्भ

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