तीन पासों को एक साथ उछालने के संभावित परिणाम क्या हैं?

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सिक्कों और पासों को फेंकना या किसी बॉक्स से गेंदों को अंधाधुंध तरीके से निकालना कुछ सरल प्रयोग हैं जिन्हें हम सांख्यिकी से संबंधित विभिन्न अवधारणाओं की अपनी समझ का परीक्षण करने के लिए कर सकते हैं। वे करने में आसान प्रयोग हैं, जिन्हें कोई भी घर पर कर सकता है, वे स्पष्ट और स्पष्ट परिणाम देते हैं, और इन्हें आसानी से संख्यात्मक डेटा में परिवर्तित किया जा सकता है।

पासा फेंकने के मामले में, उनके और मौका के खेल के बीच एक स्पष्ट संबंध भी है, जो आंकड़ों के आवेदन को किसी ऐसी चीज में अधिक मूर्त बनाता है जो कई लोगों के दैनिक जीवन का हिस्सा है या कम से कम, लगभग सभी के साथ कुछ हम में से कम से कम एक बार उनके जीवन में आए हैं।

तीन पासों को एक साथ उछालने से विभिन्न प्रकार के परिणाम उत्पन्न हो सकते हैं जिनकी हम अलग-अलग तरीकों से व्याख्या कर सकते हैं। हम स्वयं व्यक्तिगत परिणामों में रुचि ले सकते हैं, या हम योग के मूल्य में या पासे के बीच आने वाले सम या विषम परिणामों की संख्या में रुचि ले सकते हैं, आदि। तीन में से, सबसे आम तीन पासा के मूल्यों के योग के परिणाम में दिलचस्पी लेना है। निम्नलिखित अनुभागों में, हम यह पता लगाएंगे कि एक ही समय में तीन पासा पलटने पर प्रत्येक राशि के होने की संभावना की गणना कैसे करें।

तीन पासा पलटने के लिए नमूना स्थान

एक घन पासा फेंकना एक सरल प्रयोग है जिसके केवल छह संभावित परिणाम हैं। अर्थात्, यह एक ऐसा प्रयोग है जिसका प्रतिदर्श समष्टि परिणाम S1 दिए गए = {1; 2; 3; 4; 5; 6}।

दो पासों को एक साथ लुढ़काते समय, यह माना जा सकता है कि प्रत्येक पासा का परिणाम दूसरे से स्वतंत्र है, ताकि प्रत्येक पिछले छह परिणामों में से किसी एक का परिणाम हो सके। यह एक परिणाम के रूप में लाता है कि 6 2 = 36 संभावित परिणाम एक मरने के 6 मूल्यों और दूसरे के 6 मूल्यों के बीच सभी संभावित संयोजनों के अनुरूप दिए जा सकते हैं ।

इस स्थिति में, हमारे पास S2 का एक नमूना समष्टि होगा = {11; 12; 13; 14; पंद्रह; 16; इक्कीस; 22; 23; 24; 25; 26; …; 61; 62; 63; 64; 65; 66}। इन 36 परिणामों में से, अद्वितीय संयोजनों की संख्या (आदेश पर विचार किए बिना) की गणना पुनरावृत्ति के साथ संयोजन के माध्यम से की जा सकती है जिसमें m = 6 संभावित परिणामों के साथ n = 2 के समूह (फेंकने वाले दो पासे) लिए जाते हैं। :

तीन पासों को उछालने के संभावित परिणाम क्या हैं?

ये 21 परिणाम {11; 12; 13; 14; पंद्रह; 16; 22; 23; 24; 25; 26; 33; 3. 4; 35; 36; 44; चार पांच; 46; 55; 56; 66}। इनमें से प्रत्येक परिणाम की प्रायिकता प्रत्येक संख्या के अंकों के साथ बनाए जा सकने वाले विभिन्न क्रमपरिवर्तनों की संख्या से गुणा करके 1/36 से मेल खाती है (1 यदि संख्या दोहराई जाती है, जैसा कि 11, 22, आदि में है, और 2 यदि संख्या दोहराई नहीं जाती है, क्योंकि हमारे पास 12 या 21, 13 या 31 आदि हो सकते हैं।)

3 पासा उछालने की स्थिति में, नमूना स्थान में संभावित परिणामों की कुल संख्या 6 3 = 216 द्वारा दी गई है। ये परिणाम हैं S3 पासा = {111; 112; 113; 114; 115; 116; 121; …; 126; 131; …; 136; …; 166; 211; 212; …; 656; 666}। इस मामले में, किसी भी व्यक्तिगत परिणाम की संभावना 1/216 होनी चाहिए।

तीन पासा पलटने पर अलग-अलग परिणामों की प्रायिकता

अब जबकि हमने 3 पासों को फेंकने के सभी संभावित परिणामों के प्रतिदर्श समष्टि को अच्छी तरह से परिभाषित कर लिया है, आइए देखें कि प्राप्त किए जा सकने वाले विभिन्न परिणामों में से प्रत्येक की प्रायिकता की गणना कैसे करें।

तीन पासा पलटने के मामले में, इस बात पर विचार करते हुए कि जिस क्रम में परिणाम आते हैं वह अप्रासंगिक है, 216 में से कई परिणाम वास्तव में दोहराए जाएंगे। अद्वितीय परिणामों की कुल संख्या की गणना 3 के समूहों के संयोजन के रूप में की जा सकती है, जिनमें से प्रत्येक में 6 विकल्प हैं और पुनरावृत्ति की संभावना है, अर्थात्:

तीन पासों को उछालने के संभावित परिणाम क्या हैं?

इन 56 परिणामों में से, वे जिनमें तीन समान संख्याएँ होती हैं (आइए उन्हें AAA कहते हैं) केवल एक बार आते हैं। दूसरी ओर, दो समान आंकड़े और एक अलग एक (एएबी) वाले प्रत्येक को 3 बार दोहराया जाता है (क्रमपरिवर्तन एएबी, एबीए और बीएए के अनुरूप)। अंत में, जिनके पास तीन अलग-अलग अंक (ABC) हैं, वे 3 दिखाई देंगे! = 6 गुना (एबीसी, एसीबी, बीएसी, बीसीए, सीएबी और सीबीए)।

इस जानकारी और संभावित परिणामों की कुल संख्या (216) से, हम प्रत्येक परिणाम की संभावना की गणना कर सकते हैं

तीन पासों को उछालने के संभावित परिणाम क्या हैं?

परिणाम के आधार पर इसमें 1, 2 या 3 अलग-अलग अंक होते हैं। 56 संभावित परिणाम और उनकी संभावनाएं निम्न तालिका में दर्शाई गई हैं:

परिणाम संभावना परिणाम संभावना परिणाम संभावना परिणाम संभावना
111 1/216 136 1/36 235 1/36 346 1/36
112 1/72 144 1/72 236 1/36 355 1/72
113 1/72 145 1/36 244 1/72 356 1/36
114 1/72 146 1/36 245 1/36 366 1/72
115 1/72 155 1/72 246 1/36 444 1/216
116 1/72 156 1/36 255 1/72 445 1/72
122 1/72 166 1/72 256 1/36 446 1/72
123 1/36 222 1/216 266 1/72 455 1/72
124 1/36 223 1/72 333 1/216 456 1/36
125 1/36 224 1/72 334 1/72 466 1/72
126 1/36 225 1/72 335 1/72 555 1/216
133 1/72 226 1/72 336 1/72 556 1/72
134 1/36 233 1/72 344 1/72 566 1/72
135 1/36 2. 3. 4 1/36 3. 4. 5 1/36 666 1/216

तीन पासों को पलटने पर योग की प्रायिकता

जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, जब पासा फेंका जाता है, तो प्रत्येक शीर्ष पर आने वाली विशेष संख्या की तुलना में अधिक महत्वपूर्ण परिणाम पासा का योग होता है। उस प्रयोग में जिसमें तीन पासे फेंके जाते हैं और योग प्राप्त होता है, नमूना स्थान 1 से 6 तक की तीन संख्याओं के बीच सभी संभावित योगों से बना होता है।

इस योग से प्राप्त होने वाला सबसे छोटा मूल्य वह है जब तीन पासे 1 पर गिरते हैं, 1 + 1 + 1 = 3 का योग प्राप्त करते हैं, जबकि अधिकतम मूल्य 6 + 6 + 6 = 18 से मेल खाता है, संभावना के साथ किसी भी मध्यवर्ती रकम को प्राप्त करने के लिए। इसलिए, इस प्रयोग का नमूना स्थान इससे मेल खाता है:

एस = {3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; ग्यारह; 12; 13; 14; पंद्रह; 16; 17; 18}

तीन पासों का योग अद्वितीय परिणामों की संख्या विशेष अद्वितीय परिणाम संभावित परिणामों की कुल संख्या
3 1 111 1
4 1 112 3
5 2 113; 122 6
6 3 114; 123; 222 10
7 4 115; 124; 133; 223 पंद्रह
8 5 116; 125; 134; 224; 233 इक्कीस
9 6 126; 135; 144; 225; 2. 3. 4; 333 25
10 6 136; 145; 226; 235; 244; 334 27
ग्यारह 6 146; 155; 236; 245; 335; 344 27
12 6 156; 246; 255; 336; 3. 4. 5; 444 25
13 5 166; 256; 346; 355; 445 इक्कीस
14 4 266; 356; 446; 455 पंद्रह
पंद्रह 3 366; 456; 555 10
16 2 466; 556 6
17 1 566 3
18 1 666 1

तालिका का अंतिम स्तंभ समतुल्य परिणाम (प्रत्येक अद्वितीय संयोजन के सभी क्रमपरिवर्तन से) सहित, प्रत्येक योग द्वारा दिए गए परिणामों की कुल संख्या दिखाता है। उदाहरण के लिए, 15 के योग के लिए, पासे का रोल 366, 356, या 555 होना चाहिए। लेकिन 366 (366, 636, और 663) के 3 क्रमपरिवर्तन और 356 (356, 365, 536, 356, 365, 536) के 6 क्रमचय हैं। 563, 635 और 653) और 555 में से एक, इसलिए 15 के बराबर संभावित परिणामों की कुल संख्या 10 है।

पिछली तालिका से हम तीन पासों को दो अलग-अलग तरीकों से फेंकने के लिए प्रत्येक राशि की संभावना की गणना करने का अभ्यास कर सकते हैं। इनका विवरण नीचे दिया गया है।

रणनीति 1: प्रत्येक अद्वितीय परिणाम की संभावना का उपयोग करना

पहली रणनीति में सभी अद्वितीय परिणामों की संभावना को जोड़ना शामिल है जो प्रत्येक योग दे सकता है। इसमें तीसरे कॉलम से अद्वितीय परिणामों और ऊपर प्रस्तुत प्रत्येक परिणाम की संबंधित संभावना का उपयोग करना शामिल है।

उदाहरण

मान लीजिए कि हम इस संभावना की गणना करना चाहते हैं कि तीन पासों का योग 11 है (अर्थात, P(11))। इस मामले में, 6 अद्वितीय संयोजन हैं (आदेश की परवाह किए बिना) जो 11 का योग देते हैं। ये परिणाम हैं (उपर्युक्त तालिका के तीसरे कॉलम के अनुसार): {146; 155; 236; 245; 335; 344}।

प्रत्येक मामले में संभावित क्रमपरिवर्तन की कुल संख्या के आधार पर प्रत्येक परिणाम की संभावना निर्धारित की जाती है, जैसा कि पिछले अनुभाग में बताया गया है। इस मामले में:

तीन पासों को उछालने के संभावित परिणाम क्या हैं?

तीन पासों को उछालने के संभावित परिणाम क्या हैं?

इसलिए, संभावना है कि योग का परिणाम 11 होगा:

तीन पासों को उछालने के संभावित परिणाम क्या हैं?

तीन पासों को उछालने के संभावित परिणाम क्या हैं?

इसी तरह, अगर हम संभावना चाहते हैं कि योग 16 है, तो परिणाम 466 और 556 की संभावनाओं का योग होगा, जो दोनों 1/72 के बराबर हैं, इसलिए संभावना होगी:

तीन पासों को उछालने के संभावित परिणाम क्या हैं?

रणनीति 2: प्रत्येक योग के संगत परिणामों की कुल संख्या का उपयोग करना

इस मामले में, एक आसान रास्ता लिया जाता है, जब तक क्रमचय सहित प्रत्येक योग के लिए सभी संभावित परिणामों की एक सूची होती है। फिर प्रत्येक राशि की संभावना केवल संभावित परिणामों की कुल संख्या (216) से विभाजित योग के परिणामों की कुल संख्या है।

उदाहरण

योग = 11 के मामले में, कुल योग देने वाले संभावित परिणामों की कुल संख्या 27 है (पिछली तालिका का तीसरा कॉलम देखें), इसलिए संभावना है कि 11 का योग होगा:

तीन पासों को उछालने के संभावित परिणाम क्या हैं?

जैसा कि आप देख सकते हैं, परिणाम पहले जैसा ही है और यह बहुत आसान है अगर हमारे पास पहले से निर्मित तालिका की तरह एक तालिका है। हालांकि, अधिक जटिल मामलों के लिए जहां अधिक संभावित परिणाम हैं (जैसे 4, 5, या 4 डाइस रोल करना), यह रणनीति कम सुविधाजनक हो सकती है और पूर्व अधिक व्यावहारिक हो सकती है।

संदर्भ

ग्रेफ, एस। (2021, 21 सितंबर)। इसकी क्या प्रायिकता है कि जब आप तीन पासे फेंकते हैं, तो आपको योग 7 प्राप्त होता है? क्वोरा। https://hi.quora.com/What%C3%A9-probabilidad-hay-que-al-lanzar-tres-dados-salga-una-sumatoria-de-7

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Israel Parada (Licentiate,Professor ULA)
(Licenciado en Química) - AUTOR. Profesor universitario de Química. Divulgador científico.

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