जनसंख्या अनुपात के विश्वास अंतराल का निर्माण कैसे करें

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एक सांख्यिकीय पैरामीटर का विश्वास अंतराल मूल्यों की वह सीमा है जो यह अनुमान लगाया जाता है कि यह पैरामीटर ले सकता है; दूसरे शब्दों में, वे दो मान हैं जिनके बीच यह पैरामीटर एक निश्चित स्तर के विश्वास के साथ भिन्न हो सकता है। कॉन्फिडेंस इंटरवल की गणना जनसंख्या के सांख्यिकीय पैरामीटर के निर्धारण का हिस्सा है; पैरामीटर का मान जनसंख्या के एक नमूने पर निर्धारित किया जाता है और उसी गणना प्रक्रिया में, प्राप्त किए गए पैरामीटर के मान का विश्वास अंतराल निर्धारित किया जाता है। एक प्रकार का पैरामीटर जिसका अनुमान आँकड़ों का उपयोग करके लगाया जा सकता है, वह जनसंख्या का अनुपात है।

उदाहरण के लिए, एक प्रश्न जो पूछा जा सकता है कि किसी देश की जनसंख्या का प्रतिशत क्या है जो एक निश्चित कानून का समर्थन करता है। इस प्रकार के प्रश्न में, निर्धारित मान के लिए एक विश्वास अंतराल निर्धारित करना आवश्यक है। हम नीचे देखेंगे कि किसी जनसंख्या के अनुपात का कॉन्फिडेंस इंटरवल कैसे बनाया जाता है जिससे इसके सैद्धांतिक आधार का हिस्सा उजागर होता है।

जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, एक सांख्यिकीय पैरामीटर के विश्वास अंतराल को दो मूल्यों के रूप में परिभाषित किया गया है, जिसके बीच यह पैरामीटर एक निश्चित स्तर के विश्वास के साथ भिन्न हो सकता है; पैरामीटर अनुमानक इस सीमा के केंद्र में स्थित है। इस प्रकार, एक विश्वास अंतराल का रूप होगा

अनुमानक +/- अनिश्चितता

इसलिए, दो संख्याएँ होंगी जिन्हें निर्धारित किया जाना चाहिए: उस पैरामीटर का अनुमान जिसका हम अध्ययन कर रहे हैं और अनिश्चितता या त्रुटि का मार्जिन।

गणना परिसर

एक सांख्यिकीय गणना करने के लिए यह आवश्यक है कि उस विशिष्ट निर्धारण के लिए परिभाषित कुछ परिसरों को पूरा किया जाए। जनसंख्या के अनुपात का मूल्यांकन करने के लिए एक विश्वास अंतराल का निर्धारण करने के मामले में, परिसर निम्नलिखित हैं।

1. आकार में महत्वपूर्ण रूप से बड़ी जनसंख्या से यादृच्छिक रूप से लिए गए नमूने का मूल्यांकन किया जाना चाहिए। नमूने में कई मामले n होंगे ।

2. नमूने के सदस्यों को एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से चुना जाना चाहिए।

3. आकार n के नमूने में कम से कम 15 सफलताएँ और 15 असफलताएँ होनी चाहिए ।

नमूने और जनसंख्या का अनुपात

आइए जनसंख्या में अनुपात का अनुमान लगाने की प्रक्रिया को देखें। जिस प्रकार जनसंख्या माध्य का अनुमान लगाने के लिए नमूना माध्य का उपयोग किया जाता है, उसी प्रकार जनसंख्या अनुपात का अनुमान लगाने के लिए नमूना अनुपात का भी उपयोग किया जा सकता है। जनसंख्या का अनुपात अज्ञात पैरामीटर है, यह निर्धारित किया जाने वाला मान है। इस पैरामीटर की गणना करने का तरीका नमूने में पंजीकृत सफलताओं को जोड़कर और योग के परिणाम को n से विभाजित करना है, नमूने में मामलों की कुल संख्या। हम पी कॉल करेंगेअध्ययन की जाने वाली जनसंख्या के पैरामीटर के लिए, जनसंख्या का अनुपात जो एक निश्चित मानदंड को पूरा करता है। उसी तरह हमारे पास नमूने में अनुपात होगा, जिसे जनसंख्या के अनुपात से अलग करने के लिए हम इसके ऊपर एक रेखा रखेंगे, जैसा कि निम्नलिखित सूत्रों में दिखाया गया है। नमूने में अनुपात जनसंख्या में अनुपात का अनुमानक है।

जनसंख्या के अनुपात के विश्वास अंतराल को निर्धारित करने के लिए, यह जानना आवश्यक है कि इसका सांख्यिकीय वितरण क्या है, जैसा कि निम्नलिखित चित्र में दिखाया गया है।

जनसंख्या के अनुपात का सांख्यिकीय वितरण।
जनसंख्या के अनुपात का सांख्यिकीय वितरण।

सांख्यिकीय वितरण के साथ अनुमानक और मानक विचलन एसई निर्धारित करना संभव है , मान जो विश्वास अंतराल का गठन करते हैं

विश्वास अंतराल

आत्मविश्वास के स्तर के साथ

आत्मविश्वास स्तर

इन सांख्यिकीय समस्याओं में, मानक विचलन एसई में पी के अनुमानक के कार्य के रूप में द्विपद व्यवहार होता है , जनसंख्या के आकार एन के नमूने में सकारात्मक मामलों का अनुपात , जैसा कि निम्न सूत्र द्वारा दिखाया गया है।

मानक विचलन

सामान्य परिभाषा मानक विचलन के लिए सूत्र में p- मान का उपयोग करती है, जो एक अज्ञात मान है, इसलिए मानक त्रुटि का उपयोग किया जाता है, इसके अनुमानक के लिए p को प्रतिस्थापित करते हुए, जैसा कि पिछला सूत्र दिखाता है।

विचार करने के लिए एक अन्य पहलू यह है कि स्थापित किए गए तीन परिसरों के तहत, द्विपद वितरण को मानक सामान्य वितरण के साथ अनुमानित किया जा सकता है।

इस प्रकार, जनसंख्या के अनुपात के विश्वास अंतराल को निर्धारित करने का सूत्र प्राप्त होता है।

जनसंख्या के अनुपात का विश्वास अंतराल।

आत्मविश्वास का स्तर उस प्रतिशत के रूप में निर्धारित किया जाता है जिसे मानक सामान्य वितरण में माना जाता है, जैसा कि पिछले आंकड़े में दिखाया गया है; क्षेत्र जितना बड़ा होगा, विश्वास अंतराल में विश्वास का स्तर उतना ही अधिक होगा। निम्न तालिका आत्मविश्वास स्तर के विभिन्न मूल्यों के लिए पैरामीटर के मान दिखाती है, जो वितरण क्षेत्र को कवर करने के लिए व्यक्त करते हैं।

आत्मविश्वास स्तर।

जनसंख्या अनुपात के लिए विश्वास अंतराल निर्धारित करने का उदाहरण

मान लीजिए कि हम 95% विश्वास के साथ किसी ऐसे शहर में मतदाताओं का प्रतिशत जानना चाहते हैं जो किसी दिए गए राजनीतिक दल की पहचान करता है। हम उस शहर में 100 लोगों से बने एक साधारण यादृच्छिक नमूने में जानकारी एकत्र करते हैं और हम पाते हैं कि उनमें से 64 राजनीतिक दल से संबंधित हैं।

सबसे पहले, हम सत्यापित करते हैं कि हमारे द्वारा स्थापित तीन परिसर मिले हैं। एक शहर की आबादी की राय, काफी बड़ी आबादी का मूल्यांकन किया जाता है और नमूना यादृच्छिक रूप से लिया जाता है। इस मामले में n 100 के बराबर है। दिए गए 100 मामलों में से एक के लिए जानकारी स्वतंत्र रूप से एकत्र की गई थी। परामर्श के लिए दोनों सकारात्मक प्रतिक्रियाएँ, अर्थात् सफलताएँ, और नकारात्मक प्रतिक्रियाएँ, अर्थात् विफलताएँ, 15 मामलों से अधिक हैं।

नमूने के अनुपात का मूल्य, उस पैरामीटर का अनुमानक जिसे हम निर्धारित करना चाहते हैं, अर्थात, शहर की जनसंख्या का अनुपात जो संबंधित राजनीतिक दल के साथ पहचान करता है, सकारात्मक मामलों और के बीच भागफल के रूप में निर्धारित किया जाता है नमूना बनाने वाले n मामलों की संख्या ; 64 100 से विभाजित, 0.64। यह अनुमानक का मान है और कॉन्फिडेंस इंटरवल का केंद्र है।

अनिश्चितता का मूल्यांकन करने वाले सूत्र में दो कारक होते हैं। पहला कारक आत्मविश्वास का स्तर है जो 95% निर्धारित किया गया था, जिसके लिए कारक 1.96 होगा। दूसरे कारक का मूल्यांकन करने के लिए, 0.64 और 100 के मूल्यों को सूत्र में प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए, और यह प्राप्त होता है कि दूसरे कारक का मान 0.048 है। दोनों कारकों के उत्पाद के साथ अनिश्चितता प्राप्त होती है; 0.094। तो इस उदाहरण में विश्वास अंतराल है

0.640 +/- 0.094

इस कॉन्फिडेंस इंटरवल की व्याख्या 95% के कॉन्फिडेंस के साथ की जा सकती है, यानी कि परिणाम कुल आबादी के 95% का प्रतिनिधित्व करते हैं, शहर में उन लोगों का अनुपात जो राजनीतिक दल के साथ पहचान करते हैं, 54.6% और के बीच होंगे। 73.4%।

संबंधित सांख्यिकीय अवधारणाएँ

इस प्रकार के विश्वास अंतराल को निर्धारित करने में कई विचार और सांख्यिकीय मुद्दे शामिल हैं। उदाहरण के लिए, हम जनसंख्या अनुपात के मान से संबंधित परिकल्पना परीक्षण कर सकते हैं। हम दो अलग-अलग आबादी के दो अनुपातों की तुलना भी कर सकते हैं।

सूत्रों का कहना है

मन, सिकंदर; ग्रेबिल, फ्रेंकलिन ए.; बोएस, डुआन सी. सांख्यिकी के सिद्धांत का परिचय । तीसरा संस्करण, मैकग्रा-हिल, 1974।

परिकल्पना परीक्षण । सांख्यिकीय निष्कर्ष। मेक्सिको का राष्ट्रीय स्वायत्त विश्वविद्यालय। अक्टूबर 2021 को एक्सेस किया गया।

वेस्टफॉल, पीटर एच. अंडरस्टैंडिंग एडवांस्ड स्टैटिस्टिकल मेथड्स । बोका रैटन, FL: CRC प्रेस, 2013।

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Sergio Ribeiro Guevara (Ph.D.)
(Doctor en Ingeniería) - COLABORADOR. Divulgador científico. Ingeniero físico nuclear.

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