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Le moment d’inertie de rotation ou, simplement, l’inertie de rotation, est une grandeur physique scalaire typique de tout objet qui a une masse, et qui mesure la difficulté à le faire tourner autour d’un certain axe de rotation. C’est l’équivalent en rotation de l’inertie linéaire et, en tant que tel, c’est une quantité qui exprime la difficulté à changer la vitesse d’un objet, qu’il soit au repos ou en mouvement, à la différence que, dans ce cas, il s’agit d’angle rapidité.
Cette grandeur est d’une grande importance dans la description du mouvement de rotation puisqu’elle permet de comprendre la différence de comportement des corps qui, bien qu’ayant la même forme extérieure et la même masse, se comportent différemment lorsqu’ils sont soumis à des forces de couple qui tendent à les faire rotation. Cette différence provient de la différence de répartition de la masse du corps autour de l’axe de rotation. Ce qui précède implique qu’un même corps peut avoir différents moments d’inertie de rotation en fonction de sa position par rapport à l’axe de rotation, donnant ainsi lieu à différentes formules pour calculer le moment d’inertie.
Cela dit, il est clair qu’il existe autant de formules pour trouver le moment d’inertie que de formes possibles d’objets existants et d’axes de rotation. Cependant, il existe des cas particuliers de formes géométriques régulières qui tournent autour d’axes qui se présentent naturellement dans la pratique. Dans les sections suivantes, nous verrons les formules les plus importantes pour déterminer le moment d’inertie de rotation de ces corps.
Formule du moment d’inertie d’une particule ponctuelle
Le moment d’inertie d’une particule ponctuelle correspond à la définition originale de cette grandeur physique. Cette expression provient de l’expression de l’énergie cinétique de rotation lorsqu’elle est écrite en termes de vitesse angulaire, w.
Supposons que nous ayons une particule de masse m tournant autour d’un axe central comme suit :
L’énergie cinétique de cette particule, comme celle de toute autre particule en mouvement, est déterminée par la moitié du produit entre sa masse et sa vitesse (la grandeur de sa vitesse) élevé au carré, soit 1/2 mv 2 . Cependant, si le seul mouvement que décrit cette particule est la rotation autour de l’axe (il n’y a pas de translation), on peut exprimer la vitesse linéaire de la particule en fonction de sa vitesse angulaire, en écrivant v = rω. Ce faisant, l’énergie cinétique, qui dans ce cas est exclusivement de l’énergie cinétique de rotation, s’exprime comme suit :
Où le moment d’inertie, I , de la particule est défini comme :
Dans cette expression, m est la masse de la particule ponctuelle et r est le rayon de rotation ou, ce qui revient au même, la distance de l’axe de rotation à la particule.
Formule du moment d’inertie d’un ensemble de particules ponctuelles
Supposons maintenant que nous n’ayons pas une seule particule tournant autour d’un axe, mais que nous ayons un système composé de n particules, chacune avec une masse particulière, m i , et chacune tournant à une distance r i de l’ axe de rotation , comme le système à trois particules illustré ci-dessous.
Si l’on voulait calculer l’énergie cinétique totale de ce système, il suffirait d’additionner les énergies cinétiques de chacune des trois particules. Si nous étendons cette idée au cas général de n particules et supposons qu’elles se déplacent toutes à la même vitesse angulaire (car elles tournent ensemble), alors l’énergie cinétique de rotation totale du système sera donnée par :
D’où il résulte que le moment d’inertie total d’un système de n particules qui tournent ensemble autour du même axe, chacune avec sa propre masse et son propre rayon de giration, est donné par :
Cette formule fonctionne à la fois pour les particules ponctuelles et pour les particules sphériques de toute taille, tant que l’axe de rotation est à l’extérieur de la sphère. Si cette condition est remplie, alors le rayon correspond à la distance entre l’axe et le centre de la sphère et la masse correspond à la masse totale de la sphère.
Formule intégrale du moment d’inertie des corps rigides
La formule ci-dessus pour le moment d’inertie s’applique aux systèmes formés de particules ponctuelles et discrètes. Cependant, il peut être étendu aux corps rigides qui ont une distribution continue de masse, tout comme cela se produit approximativement avec les corps macroscopiques.
Dans ces cas, le calcul du moment d’inertie consiste à diviser le corps en petits éléments de masse (Δm i ), situés chacun à une distance r i de l’axe de rotation, puis à appliquer l’équation précédente. Cependant, si nous poussons la taille de l’élément de masse à la limite où il devient un élément infinitésimal ou un différentiel de masse (dm), alors la sommation devient l’intégrale, comme indiqué ci-dessous :
C’est l’expression générale pour trouver le moment d’inertie de tout corps rigide, quelle que soit sa forme ou sa distribution de masse. Dans la plupart des cas, pour effectuer l’intégration, l’élément de masse, dm , est remplacé par le produit de la densité du corps multiplié par le différentiel de volume, dV . Ceci permet de réaliser l’intégration sur tout le volume du corps rigide, même si la répartition des masses n’est pas uniforme (à condition de savoir comment elle varie selon la position).
Dans ce cas, l’expression intégrale du moment d’inertie devient :
Ensuite, nous présenterons le résultat de l’intégration de l’expression précédente pour différents corps rigides de formes régulières tels que des anneaux, des cylindres et des sphères, entre autres. Dans tous les cas décrits ci-dessous, les dimensions et masses des corps considérés sont représentées avec des majuscules, afin de les distinguer des variables d’intégration.
Formule du moment d’inertie d’un anneau mince uniforme de rayon R autour de son axe central
L’un des cas les plus simples lors de l’intégration de l’équation précédente est celui d’un anneau uniforme qui tourne autour de son centre de symétrie. La figure suivante illustre ce cas.
Dans le cas particulier où l’épaisseur de l’anneau est négligeable devant son rayon, on peut le considérer comme une masse répartie le long d’une circonférence sans épaisseur, de sorte que tous les éléments de masse sont sensiblement au même rayon, dans Dans ce cas, R. Dans ces conditions, le rayon quitte l’intégrale, ne laissant que l’intégrale de la masse différentielle, dm, qui est simplement la masse de l’anneau, M. Le résultat est :
Dans cette expression, CM indique qu’il s’agit du moment d’inertie autour de son centre de masse.
Formule du moment d’inertie d’une sphère solide de rayon R tournant autour de son centre
Dans le cas d’une sphère solide de rayon R et de densité uniforme, qui tourne autour de l’un de ses diamètres (un axe qui passe par son centre) comme celui illustré ci-dessous, l’intégrale précédente peut être résolue de différentes manières , parmi lesquelles sont à l’aide d’un système de coordonnées sphériques.
Le résultat de l’intégration dans ce cas est :
Formule du moment d’inertie d’une coque sphérique de rayon interne R 1 et de rayon externe R 2 autour de son centre
Si au lieu d’une sphère solide il s’agit d’une sphère creuse ou d’une coque sphérique à parois épaisses, il faut considérer deux rayons, l’externe et l’interne. Ceux-ci sont illustrés dans la figure suivante.
Dans ce cas, la solution est de considérer la coque sphérique comme une sphère de rayon R2 à laquelle on a retiré en son centre une sphère de même matériau dont le rayon est R1. Après avoir déterminé la masse qu’aurait eue la grande sphère et celle de la petite sphère qui s’est retirée grâce à la densité de la coque d’origine, on soustrait les inerties des deux sphères pour obtenir :
Formule du moment d’inertie d’une coque sphérique mince de rayon R autour de son centre
Dans le cas où l’épaisseur de la coque sphérique est négligeable devant son rayon ou, ce qui revient au même, que R 1 est pratiquement égal à R 2 , on peut calculer le moment d’inertie comme s’il s’agissait d’une répartition surfacique de masse, le tout situé à une distance R du centre.
Dans ce cas, nous avons deux options. La première consiste à résoudre l’intégrale à partir de zéro. La seconde est de reprendre le résultat précédent, celui de la coque sphérique épaisse, et d’obtenir la limite lorsque R1 tend vers R2. Le résultat est le suivant :
Formule du moment d’inertie d’une barre mince de longueur L autour d’un axe perpendiculaire passant par son centre de masse
Lorsque nous avons une barre mince, en substance, nous pouvons la considérer comme une distribution linéaire de masse, quelle que soit la forme de son profil (c’est-à-dire, qu’il s’agisse d’une barre cylindrique, carrée ou de toute autre forme). Dans ces cas, la seule chose qui compte est que la pâte soit répartie uniformément sur toute la longueur de la barre.
Dans ce cas, le moment d’inertie s’exprime par :
Formule du moment d’inertie d’une tige mince de longueur L autour d’un axe perpendiculaire passant par une extrémité
C’est le même cas que ci-dessus, mais avec toute la barre tournant autour d’un axe perpendiculaire à une extrémité :
La masse de la barre étant en moyenne plus éloignée de l’axe de rotation, le moment d’inertie sera plus important. En fait, il est quatre fois supérieur au cas précédent, comme le montre l’expression suivante :
Notez que dans ce cas, l’axe ne passe pas par le centre de masse, donc l’indice CM du symbole du moment d’inertie a été omis.
Formule du moment d’inertie d’une barre cylindrique pleine de rayon R autour de son axe central
Ce cas est résolu de manière très simple en utilisant un repère cylindrique et en considérant le cylindre comme s’il était formé de coques cylindriques concentriques de même longueur, mais de rayons différents. Ensuite, le rayon est intégré de r = 0 à r = R.
Le résultat de ce processus est la formule d’inertie d’une barre cylindrique, qui est :
Il est à noter que, ce résultat ne dépendant pas de la longueur du cylindre, la même expression peut être utilisée pour le cas d’un disque circulaire.
Formule du moment d’inertie d’un cylindre creux de rayon interne R 1 et de rayon externe R 2 autour de son axe central
Ce cas est similaire à celui de la coque sphérique épaisse. Elle s’applique lorsque l’épaisseur de la coque, ou la différence entre ses rayons externe et interne est du même ordre de grandeur que les rayons eux-mêmes et, par conséquent, on ne peut pas considérer que la masse est concentrée sur une surface. Au contraire, il faut considérer qu’il s’agit d’une répartition tridimensionnelle de la masse selon l’épaisseur de la coque.
Comme dans le cas de la coque sphérique épaisse, le moment d’inertie d’un cylindre creux avec un rayon intérieur de R 1 et un rayon extérieur de R 2 peut être trouvé au moyen d’une intégration directe, ou en soustrayant le moment d’inertie du cylindre qui a été retiré lors de l’ouverture du trou central, du moment d’inertie d’un cylindre solide qui a la même densité que la coque, en utilisant la formule de la section précédente pour chacune de ces deux inerties.
Le résultat de l’une ou l’autre de ces deux stratégies est le même et est présenté ci-dessous :
Comme dans le cas précédent, puisque ce résultat ne dépend pas de la longueur du cylindre, nous pouvons l’utiliser pour calculer le moment d’inertie d’un disque circulaire avec un trou au centre, comme, par exemple, une rondelle ou un Disque Blu-Ray.
Formule du moment d’inertie d’une coque cylindrique mince de rayon R autour de son axe central
Dans le cas où nous avons un cylindre creux comme celui représenté sur la figure suivante, dans lequel l’épaisseur de la coque cylindrique est très petite par rapport au rayon du cylindre, nous pouvons supposer que la masse est répartie uniquement sur la surface de rayon R .
Comme dans les autres cas, on peut faire l’intégration directe à partir de la masse volumique surfacique, ou on peut évaluer le résultat de la coque cylindrique épaisse dans la limite où R1 tend vers R2. Le résultat est:
Remarquons à nouveau que ce résultat est indépendant de la longueur. Cela signifie qu’elle s’applique également à un cerceau fin. En fait, on peut vérifier qu’il s’agit du même résultat obtenu dans la section correspondant à un anneau mince.
Formule du moment d’inertie d’une plaque rectangulaire régulière autour d’un axe perpendiculaire passant par son centre
Enfin, considérons le cas d’une plaque rectangulaire qui tourne autour d’un axe perpendiculaire à l’une de ses surfaces, passant par son centre de masse, comme celle illustrée ci-dessous.
Le résultat de l’intégration directe est :
Comme dans les cas précédents, ce résultat est indépendant de la hauteur ou de l’épaisseur de la plaque, il s’applique donc aussi bien à une feuille de papier qu’à un bloc de ciment plein.
Les références
Académie Khan. (sd). Inertie de rotation (article) . https://en.khanacademy.org/science/physics/torque-angular-momentum/torque-tutorial/a/rotational-inertia
Une classe. (2020, 6 octobre). OneClass : A partir de la formule du moment d’inertie d’une tige . https://oneclass.com/homework-help/physics/6942744-moment-of-inertia-bar.en.html
Serway, RA, Beichner, RJ et Jewett, JW (1999). Physique pour les scientifiques et les ingénieurs avec la physique moderne : 2 : Volume I (cinquième édition). McGraw Hill.
Snapsolve. (sd). Moment d’inertie d’une coque sphérique creuse et épaisse . https://www.snapsolve.com/solutions/Themoment-of-inertia-of-a-hollow-thick-spherical-shell-of-mass-M-and-its-inner-r-1681132593667073
