Voici comment calculer le pourcentage d’erreur

En sciences et en ingénierie, le pourcentage d’erreur , également appelé pourcentage d’erreur ou pourcentage d’erreur relative, exprime la différence entre une valeur déterminée expérimentalement ou estimée et une valeur connue, théorique ou acceptée-vraie, en pourcentage de cette dernière. En ce sens, le pourcentage d’erreur est une mesure relative de la précision de l’estimation ou de la détermination expérimentale en question, exprimée en pourcentage.

Le pourcentage d’erreur est généralement représenté par le symbole %E, EP (pour Percentage Error) ou ERP (pour Relative Percentage Error), selon le domaine de connaissance dans lequel il est utilisé. Comme nous le verrons dans cet article, il peut être calculé de différentes manières, selon les données disponibles.

Utilité des pourcentages d’erreurs

Étant une erreur relative exprimée en pourcentage, le pourcentage d’erreur permet d’avoir une idée plus précise de l’ampleur de l’erreur commise lors d’une estimation ou lors d’une détermination expérimentale d’une certaine ampleur d’intérêt.

Par exemple, supposons que lors de la notification du nombre de nouveaux cas confirmés pendant une pandémie, le pays A signale 5 000 nouveaux cas alors qu’il en compte en réalité 10 000, tandis que le pays B signale 45 000 nouveaux cas alors qu’il en compte en réalité 50 000. Comme on peut le voir, les deux pays ont commis une erreur lors de la déclaration des nouveaux cas, et dans les deux cas, l’erreur était de 5 000 cas de moins que les vrais.

Cependant, rien qu’en regardant les chiffres, il est facile de voir que, dans l’ensemble, le pays B était plus précis que le pays A dans ses rapports car, par rapport au nombre total de cas réels (qui est de 50 000), l’erreur est beaucoup plus faible que l’erreur pour le pays A.

Dans le cas de cet exemple, il est très facile de dire lequel des deux rapports était le plus précis, car les deux erreurs absolues étaient les mêmes et seul le nombre réel de cas a changé. Cependant, c’est rarement le cas, et si le nombre de cas réels et le nombre de cas signalés avaient été différents, la comparaison n’aurait pas été aussi simple.

C’est là que les erreurs relatives sont utiles, et en particulier le pourcentage, grâce au fait que nous avons tendance à traiter constamment des pourcentages au quotidien. Lorsqu’elle est exprimée en pourcentage, l’amplitude de l’ erreur absolue est normalisée afin que deux erreurs puissent être facilement comparées l’une à l’autre. Comme nous le verrons dans un instant, l’erreur commise par le pays A était de 50%, tandis que celle du pays B était de 10%, d’où il ressort que le pays B était beaucoup plus précis dans ses déclarations que le pays A. .

Comment le pourcentage d’erreur est-il calculé ?

Selon les données dont vous disposez, le pourcentage d’erreur peut être calculé de trois manières différentes :

• La première, basée sur la valeur estimée et la valeur acceptée comme réelle.
• La seconde, basée sur l’erreur absolue et la valeur acceptée comme réelle.
• Le troisième, de l’ erreur relative.

Il est également important de considérer le champ dans lequel l’erreur est calculée. Dans certains cas, tout ce qui compte est l’ampleur du pourcentage d’erreur, mais son signe n’a pas d’importance. D’autre part, dans d’autres cas, le signe de l’erreur est un élément essentiel qui permet de prendre des décisions, car une erreur supérieure à la valeur réelle peut ne pas être grave, mais une erreur inférieure l’est.

Le calcul du pourcentage d’erreur est aussi simple que d’appliquer la formule appropriée. Ensuite, nous montrons les différentes formules qui peuvent être utilisées à cette fin.

Formules de taux d’erreur

De la valeur estimée et de la valeur acceptée comme réelle

Dans le cas où la valeur réelle de la quantité mesurée ou estimée est connue, la formule pour trouver le pourcentage d’erreur est :

Cette formule peut être écrite de différentes manières pour chaque cas, en fonction de la grandeur dont l’erreur est calculée. Par exemple, si vous calculez le pourcentage d’erreur sur le poids d’une boîte de céréales sur une chaîne de production, la formule peut s’écrire :

Si l’erreur calculée fait référence à la détermination de la densité d’un échantillon d’une substance connue sous le nom de fer, par exemple, la formule pour trouver le pourcentage d’erreur serait :

et ainsi de suite.

De l’erreur absolue et de la valeur acceptée comme réelle

Dans la formule de pourcentage d’erreur, la différence entre la valeur estimée ou expérimentale et la valeur réelle qui apparaît au numérateur représente l’erreur absolue (E). Ainsi, cette formule peut aussi s’écrire :

De l’erreur relative

Dans la formule ci-dessus, le rapport entre l’erreur absolue et la valeur réelle correspond à l’erreur relative (ER), de sorte que l’erreur en pourcentage peut également être calculée simplement en multipliant l’erreur relative par 100 :

Le signe du pourcentage d’erreur et la valeur absolue

Lors du calcul d’un pourcentage d’erreur à l’aide de l’une des formules ci-dessus, il est possible que le résultat soit positif ou négatif, selon que la valeur estimée est supérieure ou inférieure à la valeur réelle.

Lorsqu’un pourcentage d’erreur est positif, cela signifie que la valeur estimée est supérieure à ce qu’elle devrait être, nous sommes donc en présence d’un excès d’erreur .

Sinon, si la valeur expérimentale ou estimée est inférieure à ce qu’elle devrait être, le pourcentage d’erreur sera négatif, auquel cas on est en présence d’une erreur par défaut .

Dans de nombreux cas, savoir si l’erreur est due à un excès ou à un manque n’est pas important, et il est préférable d’obtenir uniquement des résultats positifs. Dans ces cas, une valeur absolue est ajoutée au numérateur :

Comment un pourcentage d’erreur est-il calculé dans un échantillon ?

Il est important de noter que, dans la plupart des situations expérimentales, la vraie valeur de ce que nous mesurons n’est pas vraiment connue. Par exemple, nous pouvons déterminer la densité d’une substance inconnue, nous n’avons donc pas de norme pour comparer et calculer l’erreur.

Dans ces situations, la « valeur vraie » inconnue est estimée par la moyenne de mesures expérimentales de même grandeur. Ladite moyenne d’échantillon est celle qui est prise comme valeur réelle pour déterminer le pourcentage d’erreur de l’une quelconque des mesures individuelles effectuées. Dans ce cas, la formule ressemblerait à ceci :

où %E _i est le pourcentage d’erreur de la ième mesure expérimentale, x _i est la ième mesure expérimentale et x̄ est la valeur moyenne de toutes les mesures expérimentales.

Exemples de calculs d’erreur en pourcentage

Exemple 1 : Villes A et B

Calculons les taux d’erreur des rapports de nouveaux cas dans les villes A et B de l’exemple précédent. Dans le cas de la ville A, la valeur estimée ou déclarée était de 5 000 cas alors que le nombre réel de cas est de 10 000. Application de la formule du taux d’erreur :

Pour la ville B, le nombre de cas signalés était de 45 000, alors que le nombre réel était de 50 000, donc le taux d’erreur pour le rapport B est :

Notez que dans les deux cas l’erreur est par défaut puisqu’elle était négative, et que le rapport de la ville B est plus précis que celui de la ville A.

Exemple 2 : Zéro absolu

Dans un laboratoire d’enseignement de chimie générale, des groupes de trois étudiants procèdent à la détermination de la température, en degrés Celsius, correspondant au zéro absolu. Le résultat de l’un des groupes était de -275,32°C. Sachant que la valeur réelle est de -273,15°C, déterminer le pourcentage d’erreur L’erreur était-elle due à un excès ou à un manque ?

Solution:

Cet exemple met en évidence l’importance d’être prudent avec les signes et de se rappeler que dans le dénominateur, la valeur absolue est nécessaire pour s’assurer que le signe de l’erreur n’est déterminé que par le numérateur.

Il est conclu qu’il s’agit d’une erreur par défaut.

Exemple 3 : Un échantillon de 10 données expérimentales

La détermination expérimentale des poids égouttés de 10 boîtes de thon à l’huile végétale provenant des rayons d’un supermarché a été réalisée. Les poids individuels sont présentés dans le tableau suivant. Déterminez le pourcentage d’erreur dans le poids de la première boîte.

Dans ce cas, la valeur réelle du poids égoutté du contenu des boîtes de thon n’est pas connue, le mieux que l’on puisse faire est donc d’estimer cette valeur au moyen de la moyenne des dix échantillons. Cette moyenne est, dans ce cas, x̄ = 148 g, donc, en appliquant la formule :

Dans ce cas, l’échantillon 1 présente une erreur absolue due à un excès de près de 4 %.

Les références

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Skoog, DA, West, DM, Holler, J. et Crouch, SR (2021). Principes fondamentaux de la chimie analytique (9e éd.). Boston, Massachusetts : Apprentissage Cengage.