Probabilité d’union de trois ensembles ou plus

En statistique, il est très courant d’être confronté à des situations dans lesquelles on veut calculer la probabilité d’union de plusieurs événements différents. Par exemple, le propriétaire d’un magasin de bonbons peut être intéressé à déterminer quelle est la probabilité que le prochain enfant qui entre dans son magasin achète une barre de chocolat blanc ou une barre de chocolat au lait. Dans ce cas, nous voulons déterminer la probabilité que l’un des deux événements possibles se produise, qui, selon la théorie des ensembles, est la probabilité d’union des deux événements, ou P(AUB).

Dans le cas décrit, le calcul de cette probabilité consiste simplement en la somme des probabilités individuelles, moins la probabilité de l’intersection entre les deux événements, soit :

La raison pour laquelle la probabilité d’intersection doit être soustraite est qu’en ajoutant les probabilités des deux événements, toute intersection est comptée deux fois. C’est un processus relativement simple à comprendre. Cependant, il peut aussi arriver que l’on veuille déterminer la probabilité d’union non pas de deux, mais de trois événements ou plus. Que faut-il faire dans de tels cas ? Dans la section suivante, nous examinerons un moyen simple de déterminer la formule à appliquer dans les cas à trois événements et à quatre événements, puis nous utiliserons ces résultats, ainsi que la formule ci-dessus, pour généraliser la détermination de la probabilité d’union pour n’importe quel nombre d’événements.

Révision des bases

Pour comprendre le processus de calcul des probabilités d’union, il est nécessaire de rappeler brièvement quelques termes importants qui seront utilisés plus tard :

expérimenter . En probabilité, une expérience est un processus qui peut être répété plusieurs fois et produit toujours un résultat. Chaque expérience est associée à un certain ensemble de résultats possibles qui seront toujours les mêmes.

Résultat . Nous appellerons la conséquence d’une expérience un résultat, comme le visage particulier qui apparaît en lançant un dé.

Espace échantillon (S) . L’ensemble de tous les résultats possibles d’une expérience.

événement . Tout ensemble de résultats possibles.

Diagramme de Venn . Représentation graphique qui montre les relations entre des ensembles d’événements et entre la probabilité d’événements dans une expérience.

La probabilité d’union de trois événements

Supposons que nous réalisions une expérience et que nous voulions déterminer la probabilité que l’un des 3**3événements différents se produise, qu’ils se produisent ou non simultanément. Nous appellerons ces trois événements A, B et C.

Dans ces cas, plusieurs situations différentes peuvent se produire. Par exemple, il peut arriver qu’aucun des événements ne partage de résultats avec un autre, auquel cas nous disons que les événements sont mutuellement exclusifs, ce qui est illustré dans le diagramme de Venn suivant :

Les cercles A, B et C représentent les trois événements et renferment un ensemble de résultats dans l’espace de l’échantillon, qui est le rectangle gris identifié par la lettre S. Dans ces cas, la probabilité d’union est simplement donnée par la somme des probabilités de chaque événement séparé :

D’autre part, l’un des événements peut également partager des résultats avec l’un des deux autres événements, voire avec les deux. Ceci est illustré dans un diagramme de Venn sous forme de zones qui se croisent.

Dans ces cas, la somme des probabilités tient compte de certains résultats plus d’une fois, il est donc nécessaire de soustraire ces probabilités qui ont été surestimées. Autrement dit, nous devons soustraire la probabilité de l’intersection entre chaque paire d’événements. Cependant, dans les cas où il y a des résultats présents dans les trois événements (comme ceux au centre du diagramme de Venn ci-dessus), la soustraction des intersections des paires supprime la contribution de la zone centrale à laquelle les paires se croisent trois événements. Pour cette raison, il faut rajouter cette petite surface qui correspond à la probabilité d’intersection de A, B et C.

Enfin, la probabilité d’union des trois événements est :

REMARQUE : Bien que cette expression ait été énoncée pour le cas particulier où les trois événements se croisent, il s’agit de la forme la plus générale du cas à trois événements puisqu’elle peut être convertie en probabilité d’union de n’importe quel ensemble de trois événements, qu’ils se croisent ou non. Par exemple, dans le cas d’événements mutuellement exclusifs, toutes les probabilités d’intersection sont nulles, de sorte que l’expression se réduit à la somme des probabilités individuelles indiquées au début de cette section.

La probabilité d’union de quatre événements

Supposons maintenant que l’on réalise une nouvelle expérience et que l’on s’intéresse à la probabilité d’union entre quatre événements : A, B, C et D. Le cas le plus général est qu’ils peuvent tous se croiser, comme le montre le schéma suivant :

Dans ce cas, la somme des quatre probabilités simples compte quatre fois la probabilité des résultats contenus dans la zone I, trois fois celles des zones II, III, IV et V, et deux fois celles des zones VI, VII, VIII et IX. Pour corriger cela, nous devons d’abord soustraire les probabilités d’intersection de toutes les paires (A et B, A et C, A et D, B et C, B et D, et C et D). Ceci, à son tour, soustrait les régions d’intersection de chaque groupe de trois (ABC, ABD, ACD et BCD) trop de fois, de sorte que ces zones doivent être ajoutées à nouveau, et ainsi de suite jusqu’à ce que toutes les zones soient comptées une fois.

Le résultat pour le cas de quatre événements, qu’ils s’excluent mutuellement ou non, est :

Probabilité d’union de plus de quatre événements

Jusqu’à présent, nous pouvons déjà détecter un modèle entre les formules des probabilités d’union de deux, trois et quatre événements. Ils commencent tous par la somme des probabilités simples, puis soustraient les probabilités d’intersection entre toutes les paires d’événements possibles, puis ajoutent les probabilités d’intersection de chaque groupe possible de trois événements, et ainsi de suite, en ajoutant et en soustrayant alternativement les intersections entre plus et plus d’événements jusqu’à ce que nous atteignions l’intersection de tous les événements. Pour un nombre pair d’événements, cette dernière intersection est toujours négative (soustraite) alors que, pour un nombre impair d’événements, elle est toujours positive (additionnée).

Les références

• Arrizabalaga R., M. (2015, septembre). THÉORIE DES PROBABILITÉS . UNIVERSITÉ AUTONOME DE L’ETAT DU MEXIQUE. https://core.ac.uk/download/pdf/55528069.pdf
• En ligneDeVore, J. (2002). Probabilité et statistiques pour l’ingénierie et les sciences (5e éd.). Thomson International.
• Manuel, M. (2020, 1 juillet). Probabilité de l’union des événements . Mathématiques faciles. https://lasmatesfaciles.com/2020/06/29/probabilidad-de-la-union-de-sucesos/
• Marta, M. (2021, 27 mars). Union d’événements ou d’occurrences . Superprof. https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/probabilidades/combinatoria/union-de-sucesos.html