Que se passe-t-il lorsque l’écart type est égal à zéro ?

L’ écart type d’un ensemble de données ou d’un échantillon d’une certaine population est un paramètre statistique descriptif qui mesure la propagation des valeurs dans cet ensemble. Si la moyenne d’un ensemble de valeurs est calculée, l’écart type évalue la différence des valeurs de l’ensemble par rapport à la moyenne.

L’écart type est un nombre réel non négatif. Étant donné que zéro est un nombre réel non négatif, il convient de se demander quand l’écart type sera égal à zéro et qu’est-ce que cela signifie. Cela ne se produit que dans un cas très particulier, c’est-à-dire lorsque toutes les valeurs de l’ensemble de données sont exactement les mêmes.

écart-type

Lorsque vous avez un ensemble de données, que ce soit un échantillon d’une certaine population ou un ensemble de valeurs produites par un certain système, deux questions se posent immédiatement : à quelle valeur définie peut-on associer l’ensemble de données dont nous disposons et quelle est la dispersion de l’ensemble de données que nous analysons.

Dans les statistiques dites descriptives, différents paramètres cherchent à répondre à ces deux questions. Pour évaluer la valeur à laquelle on peut associer le jeu de données, on peut calculer la moyenne ou moyenne arithmétique, la moyenne géométrique, la moyenne harmonique, le mode, la plage moyenne ou la médiane. Dans ce cas, nous utiliserons la moyenne ou la moyenne arithmétique : la moyenne d’un ensemble de n valeurs est la somme de toutes divisée par le nombre de valeurs n .

La dispersion des valeurs dans un ensemble peut être évaluée en calculant l’écart type, l’intervalle ou l’intervalle interquartile. La figure ci-dessous montre la formule générale utilisée pour calculer l’écart-type σ . Exprimé en mots : on soustrait à chaque valeur de l’ensemble que l’on analyse, que l’on note avec l’indice i , la moyenne de toutes les valeurs ; nous mettons au carré chacune de ces différences et les additionnons; Nous divisons le résultat par le nombre de valeurs dans l’ensemble moins 1 et calculons la racine carrée de cette valeur.

L’écart type a deux définitions différentes, selon le type de données que nous analysons. Cette différence implique un calcul légèrement différent. L’écart type peut être calculé sur une population ou sur un échantillon.

Si les données sont collectées auprès de tous les membres d’une population ou d’un ensemble, l’écart type d’une population doit être utilisé. Si vous analysez des données qui représentent un échantillon d’une population plus large, vous devez utiliser l’écart type d’un échantillon. La différence dans le calcul est que dans le cas de l’écart type d’un échantillon, la différence entre chaque valeur et la moyenne au carré est divisée par le nombre de valeurs moins 1 ( n – 1) , comme indiqué sur la figure . Pour l’écart-type d’une population, divisez par n .

L’écart type est égal à zéro.

L’écart-type σ ainsi calculé évalue la dispersion des valeurs dans l’ensemble : plus sa valeur est grande, plus la dispersion est grande. Y est toujours un nombre positif, puisque c’est la somme des valeurs au carré qui, par conséquent, seront toutes positives. Donc, intuitivement, si la valeur de l’écart type est nulle, l’écart devrait être nul. Et cela se produit lorsque toutes les valeurs de l’ensemble coïncident : il n’y a pas de dispersion.

À son tour, si toutes les valeurs de l’ensemble correspondent, la moyenne correspond également à cette valeur. Selon la définition précédente de la moyenne, si les n valeurs de l’ensemble sont égales, la somme des n valeurs se traduit par la multiplication de cette valeur par n ; en le divisant par n pour calculer la moyenne, les deux valeurs de n sont éliminées et on a alors que la moyenne est égale à la valeur unique de l’ensemble. En développant cette description dans une équation, s’il y a n valeurs égales, exprimées par x , la moyenne est calculée comme

( X + X + X + X + X +…+ X )/ n = nx / n = x

Voyons ce qui se passe avec le calcul de l’écart type avec la formule décrite précédemment. Dans cette formule, chaque valeur x _i est égale à x , et à son tour est égale à la moyenne. Par conséquent, lorsque la moyenne est soustraite de chaque valeur x _i , le résultat est zéro. Ayant une somme avec tous ses addends égaux à zéro, le résultat sera également zéro. Et puis le résultat final de l’écart type sera zéro.

Nous avons déjà vu alors que lorsque toutes les valeurs d’un ensemble sont égales, la moyenne est égale à cette valeur et l’écart type est nul. Considérez la situation inverse : l’écart type est-il nul uniquement si toutes les valeurs de l’ensemble sont égales ?

Pour vérifier cela, voyons ce qui se passe si une seule valeur était différente. Cela impliquerait que la moyenne n’est plus égale à toutes les valeurs de l’ensemble et alors au moins une des additions du calcul de l’écart type serait non nulle : donc, l’écart type ne serait pas nul. Comme cette sommation est développée sur des valeurs élevées au carré, toutes les additions sont positives et il n’est pas possible qu’elles soient compensées dans une soustraction. La seule façon pour que la somme des nombres positifs soit nulle est que tous les addends soient nuls ; par conséquent, la seule façon pour que l’écart type soit nul est que toutes les valeurs du groupe soient égales à la moyenne, et donc égales entre elles.

Les deux arguments constituent une condition nécessaire et suffisante : l’écart type d’un ensemble de valeurs n’est nul que si toutes les valeurs de l’ensemble sont égales.

Fontaine

Yadolah Dodge. L’encyclopédie concise des statistiques . New York : Springer, 2010.