Formules de calcul des aires et des volumes de formes géométriques

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Les formules pour calculer l’aire et le volume d’une sphère sont

  • Superficie = 4πr 2
  • Volume = (4/3)πr 3

2. Calcul de l’aire et du volume d’un cône

Chatte
cône de base de rayon r et de hauteur h

Un cône est une pyramide à base circulaire, dont les côtés inclinés se rejoignent en un point central sur l’axe du cône, une ligne perpendiculaire au plan de la base qui passe par le centre de la circonférence qui constitue la base du cône, comme indiqué Vous pouvez voir dans la figure ci-dessus. Pour calculer l’aire de sa surface ou son volume, il faut connaître le rayon de la base r et la longueur du côté s . Si la valeur de la longueur du côté s n’est pas connue , elle peut être calculée en connaissant la hauteur du cône h (voir la figure ci-dessus).

s = √ (r 2 + h 2 )

La surface totale du cône peut être calculée comme la somme de la surface de la base et de la surface de la surface latérale.

  • Aire de base : πr 2
  • Zone latérale : πrs
  • Superficie totale = πr  + πrs

Pour calculer le volume d’un cône, vous n’avez besoin que du rayon de la base et de la hauteur.

  • Volume = 1/3 πr 2h

3. Calcul de la surface et du volume d’un cylindre

cylindre
cylindre de rayon de base r et de hauteur h

Les calculs de surface et de volume sont plus faciles pour un cylindre que pour un cône. Le cylindre a une base circulaire et les lignes qui, lorsqu’elles sont tournées, génèrent la surface latérale sont parallèles et perpendiculaires à la base. Pour calculer sa surface ou son volume, seuls le rayon r  et la hauteur h sont nécessaires .

Comme dans le cas du cône, la surface est la somme des surfaces qui la composent ; la somme de l’aire de la base supérieure et de la base inférieure (qui sont égales), et l’aire de la surface latérale.

  • Surface = 2πr 2  + 2πrh
  • Volume = πr 2h

4. Calcul de la surface et du volume d’un prisme rectangulaire

prisme rectangulaire
prisme rectangulaire de côtés a, b et c

Un rectangle déplié en trois dimensions devient un prisme rectangulaire ; Ou juste une boîte. Lorsque tous les côtés d’un prisme rectangulaire sont égaux, le prisme devient un cube. Par conséquent, la surface et le volume sont calculés avec les mêmes formules. Pour cela, il est nécessaire de connaître la grandeur des trois côtés du prisme ; a, b et c, dans la figure du haut.

  • Aire = 2(ab) + 2(bc) + 2(ac)
  • volume = abc

Si nous avons un cube de côté a , les formules précédentes deviennent

  • Aire d’un cube = 6a 2
  • Volume d’un cube = a 3

5. Calcul de l’aire et du volume d’une pyramide à base carrée

pyramide à base carrée
base carrée pyramide de côté b hauteur h

Dans ce cas, nous voyons les formules utilisées pour calculer la surface et le volume d’une pyramide à base carrée et des triangles équilatéraux sur ses faces. Pour les calculs, il est nécessaire de connaître le côté du carré de la base b et la hauteur h , c’est la distance du centre du carré de la base au sommet, comme indiqué sur la figure ci-dessus. Et s sera la hauteur de chaque triangle équilatéral qui compose les faces de la pyramide, qui peut être calculée avec la formule suivante.

s = √ ((b/2) 2 + h 2 )

Comme dans les cas précédents, l’aire de la surface est la somme de l’aire de la base plus l’aire des quatre triangles équilatéraux des faces.

  • Surface = 2bs + b 2
  • Volume = (1/3) b 2h

6. Calcul de la surface et du volume d’un prisme triangulaire isocèle

prisme
prisme triangulaire isocèle de côté b longueur l

Pour appliquer les formules de calcul de l’aire de la surface et du volume d’un prisme triangulaire isocèle, trois paramètres sont nécessaires, selon la figure ci-dessus; la base du triangle isocèle b , la hauteur du triangle h et la longueur du prisme l . Les définitions sont complétées par le côté s du triangle isocèle. Le côté s du triangle peut être calculé à partir des autres données du triangle avec la formule suivante.

s = √ ((b/2) 2 + h 2 )

Les formules de calcul de surface et de volume sont les suivantes.

  • Aire = bh + 2 l s + l b
  • Volume = (1/2)bh l

Si vous souhaitez calculer la surface et le volume d’un prisme qui n’est pas un triangle isocèle, vous pouvez appliquer la procédure suivante. Vous pouvez déterminer l’aire A et le périmètre P de la base et utiliser les formules suivantes.

  • Surface = 2A + P l
  • Volume = Al

7. Calcul de l’aire et de la longueur d’un secteur circulaire

secteur circulaire
secteur circulaire de rayon r et d’angle θ

La figure du haut montre le secteur d’un cercle de rayon r défini par l’angle θ , qui peut être exprimé en degrés ou en radians. Pour calculer l’aire du secteur circulaire et la longueur de l’arc, il faut que l’angle θ soit exprimé en radians, donc s’il est exprimé en degrés, la conversion doit se faire à l’aide de la formule suivante.

angle θ en radians = (angle θ en degrés) π /180

L’aire du secteur circulaire et la longueur de l’arc sont calculées avec les formules suivantes.

  • Aire = (θ/2) r 2  θ en radians
  • Arc L = θr   θ en radians

L’aire et la circonférence d’un cercle est un cas particulier de secteur, qui se produit lorsque l’angle θ est égal à 2 π . Ainsi, l’aire et la circonférence d’un cercle sont calculées comme suit.

  • Aire d’un cercle = π r 2 
  • Circonférence = 2 π r

8. Calcul de l’aire d’une ellipse

ellipse
ellipse de demi-axes a et b

Une ellipse, également appelée ovale et qui peut être identifiée comme un cercle allongé, est l’ensemble des points dont la somme des distances à deux points fixes appelés foyers est constante. Dans la figure ci-dessus, les foyers sont représentés par deux points. Une ellipse peut être définie par ses deux demi-axes, comme le montre la figure ; le demi-grand axe a et le demi-petit axe b . L’aire d’une ellipse est calculée avec la formule suivante.

  • Aire = πab

9. Calcul de l’aire et du périmètre d’un triangle

Triangle
triangle base b hauteur h

Le triangle est l’une des formes géométriques les plus simples et le calcul du périmètre est facile, connaissant la longueur de chacun de ses côtés a, b et c

  • périmètre = a + b + c

Pour calculer l’aire du triangle, il faut la longueur de l’un de ses côtés, b  par exemple dans la figure ci-dessus, et la hauteur h  correspondant à ce côté, déterminée comme la longueur du segment tiré du sommet opposé perpendiculaire sur le côté b . L’aire du triangle est calculée comme

  • Superficie = (1/2)bh

10. Calcul de l’aire et du périmètre d’un parallélogramme

Parallélogramme
parallélogramme de base b hauteur h

Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles, comme le montre la figure ci-dessus. Puisque les côtés opposés sont parallèles, la longueur des côtés opposés sera égale. Dans le cas de la figure, ce sont les côtés de longueur a et b . Le périmètre d’un parallélogramme est la somme de ses côtés.

  • Périmètre d’un parallélogramme = 2a + 2b

Pour calculer l’aire d’un parallélogramme, il faut la hauteur h ; la distance entre deux côtés parallèles. L’aire peut être calculée avec la hauteur et le côté correspondant à cette hauteur, b  dans le cas de la figure.

  • Aire d’un parallélogramme = bh

Un rectangle est un cas particulier de parallélogramme ; lorsque la hauteur h est égale au côté a ou, ce qui est identique, lorsque les côtés adjacents sont perpendiculaires, le parallélogramme est un rectangle et les formules de périmètre et d’aire sont les suivantes.

  • Périmètre d’un rectangle = 2a + 2b 
  • Aire d’un rectangle = ab

À son tour, un carré est un cas particulier d’un parallélogramme et d’un rectangle ; lorsque les côtés a et b sont égaux et que les côtés adjacents sont perpendiculaires. Les formules pour le périmètre et l’aire d’un carré de côté a sont les suivantes.

  • périmètre d’un carré = 4a 
  • Aire d’un rectangle = a 2

11. Calcul de l’aire et du périmètre d’un trapèze

Voir les images sources
trapèze de grande base B, petite base b et hauteur h

Un trapèze est un quadrilatère qui a deux côtés opposés parallèles. Par conséquent, la longueur de ses quatre côtés est différente, dans la figure supérieure b , B , c et d , et pour calculer son périmètre, il est nécessaire de connaître les quatre valeurs. Le périmètre d’un trapèze est calculé en additionnant les quatre valeurs.

  • Périmètre = b + B + c + d

Pour calculer l’aire d’un trapèze, il est nécessaire de connaître la hauteur h  que l’on peut observer sur la figure du haut, c’est-à-dire la distance entre les deux côtés parallèles.

  • Aire = (1/2) (b + B)h

12. Calcul de l’aire et du périmètre d’un hexagone régulier

hexagone régulier de côté r
hexagone régulier de côté r

Un polygone à six côtés égaux est un hexagone régulier. La longueur de chaque côté r est égale à la distance de chaque sommet au centre de l’hexagone. L’apothème ( a dans la figure du haut) est la plus petite distance entre le centre de l’hexagone et l’un des côtés ; est la hauteur de chaque triangle équilatéral qui compose l’hexagone. Le périmètre d’un hexagone régulier est calculé comme suit

  • périmètre = 6r

Alors que pour calculer l’aire d’un hexagone régulier, la formule suivante est utilisée

  • Aire = (3√3/2)r 2

13. Calcul de l’aire et du périmètre d’un octogone régulier

octogone régulier
octogone régulier

Un octogone régulier est un polygone à huit côtés égaux. Si la longueur de chaque côté de l’octogone est r , le périmètre d’un octogone régulier est calculé comme suit

  • périmètre = 8r

Alors que pour calculer l’aire d’un octogone régulier, la formule suivante est utilisée

  • Aire = 2(1+√2)r 2

Fontaine

Wenninger, Magnus J. Modèles de polyèdres Cambridge University Press, 1974.

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Sergio Ribeiro Guevara (Ph.D.)
Sergio Ribeiro Guevara (Ph.D.)
(Doctor en Ingeniería) - COLABORADOR. Divulgador científico. Ingeniero físico nuclear.

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