La forme pente-ordonnée à l’origine de l’équation linéaire

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La forme pente-ordonnée à l’origine d’une équation du premier degré est une façon d’exprimer cette équation sous la forme de l’équation d’une droite . En d’autres termes, il est exprimé avec la même forme mathématique qu’une fonction qui, lorsqu’elle est représentée graphiquement dans un système de coordonnées cartésien, donne une ligne droite. Une équation linéaire ainsi exprimée a la forme mathématique suivante :

équation de droite sous forme pente-ordonnée à l'origine

Comme on peut le voir, cette façon de représenter les équations linéaires se caractérise par le fait d’avoir la variable que nous considérons généralement comme la variable dépendante (dans la plupart des cas et , bien que cela puisse varier) isolée dans l’un des membres de l’équation (généralement la gauche) avec coefficient 1; tandis que l’autre membre est composé d’un terme qui contient la variable indépendante (généralement x ) et d’un terme indépendant.

Interprétation de l’équation linéaire sous forme pente-ordonnée à l’origine

Lorsqu’il est exprimé de cette manière, le coefficient de la variable indépendante, dans ce cas m , représente la pente de la droite lorsque cette équation est représentée graphiquement dans un système de coordonnées cartésiennes.

D’autre part, le terme indépendant, dans ce cas b , indique le point auquel la ligne coupe ou coupe l’axe des ordonnées ou l’axe y, comme indiqué dans le graphique suivant. C’est précisément pourquoi on l’appelle forme pente-ordonnée à l’origine.

forme pente intersection

Interprétation de la pente

La pente ( m ) indique de combien la valeur de y d’un point sur la ligne change en augmentant la valeur de x d’une unité , elle représente donc la pente de la ligne. Cette valeur peut être n’importe quel nombre rationnel, à la fois positif et négatif. Il existe trois plages de valeurs possibles qui sont interprétées différemment :

  • Une pente positive (m>0) indique que la ligne monte lorsque nous nous déplaçons de gauche à droite sur le graphique.
  • Lorsque le terme de variable indépendante n’apparaît pas (c’est-à-dire lorsqu’il n’y a pas de x dans l’équation), cela signifie que la pente est nulle (m=0). Dans ce cas, la ligne est horizontale ou parallèle à l’axe des abscisses (axe des abscisses).
  • Lorsque la pente est négative (m<o), la ligne descend au fur et à mesure que l’on se déplace de gauche à droite sur le graphique.

Interprétation de l’intersection

Le terme indépendant, b , représente le point d’intersection de la ligne avec l’axe des ordonnées, c’est-à-dire avec l’axe y dans le système de coordonnées cartésiennes. Dans les cas où il n’y a pas de terme indépendant, il est entendu que sa valeur est nulle (b=0) donc la ligne passe par l’origine du système de coordonnées.

Cas particuliers de l’équation d’une droite sous forme pente-ordonnée à l’origine

Cas 1 : y = b

pente-ordonnée à l'origine avec pente 0

Lorsque l’équation a la forme précédente, c’est-à-dire lorsque le terme de la variable indépendante n’apparaît pas, on comprend que la pente est nulle et que, par conséquent, l’équation représente une ligne horizontale qui passe par le point (0;b ).

Cas 2 : y = mx

forme d'interception de pente à pente positive

Lorsqu’il n’y a pas de terme indépendant, cela signifie que sa valeur est nulle et, par conséquent, qu’il coupe l’axe des ordonnées à 0. Cela signifie que la ligne passe par l’origine du système de coordonnées.

Cas 3 : 0 = mx + b

forme pente-interception avec pente indéfinie

Dans ce cas, il s’agit d’une ligne verticale (parallèle à l’axe des y) qui coupe l’axe des abscisses (ou axe des x) au point x = – b/m, comme indiqué dans le graphique précédent.

Il s’agit d’une forme inhabituelle de l’équation d’une droite dans laquelle le coefficient m et le terme indépendant b perdent leur sens normal. Une ligne verticale a une pente indéfinie, c’est-à-dire que sa pente n’existe pas. Ce n’est pas la même chose que de dire que sa pente est nulle.

D’autre part, comme il s’agit d’une ligne verticale parallèle à l’axe y, elle ne coupe jamais cet axe. Par conséquent, le terme indépendant, b, n’indique plus l’intersection comme il le faisait dans les cas précédents.

Avantages de la forme d’interception de pente

Par rapport aux autres modes de représentation des équations linéaires, la forme pente-ordonnée à l’origine présente les avantages suivants :

  • Renvoie immédiatement les valeurs de la pente et l’ordonnée à l’origine de la droite.
  • Ce qui précède permet de visualiser de manière très simple et rapide le graphe d’une équation linéaire dans un repère cartésien.
  • En fournissant la valeur de la pente, il vous permet de calculer rapidement l’angle que fait la ligne avec l’axe des x en utilisant la tangente.
  • Il permet de savoir rapidement si deux droites sont parallèles entre elles ou non, simplement en comparant leurs pentes.
  • Il vous permet de déterminer rapidement si oui ou non deux lignes sont perpendiculaires l’une à l’autre.
  • Le simple fait de regarder la forme de l’équation nous permet de savoir immédiatement s’il s’agit d’une ligne croissante, décroissante, horizontale ou verticale.
  • Vous permet de calculer la coordonnée y de n’importe quel point sur la ligne en fonction de sa valeur x en une seule étape.
  • Elle facilite la méthode de substitution pour résoudre des systèmes d’équations linéaires à deux variables car l’équation est déjà résolue pour l’une d’elles (y).

Étapes pour transformer la forme standard en forme d’interception de pente

En plus de la forme pente-ordonnée à l’origine, l’équation d’une ligne peut également être représentée d’autres manières, dont la plus importante est la forme standard :

Forme générale

Dans ce cas, les coefficients A, B et C sont des nombres entiers. Lorsque vous avez une équation exprimée de cette manière et que vous souhaitez l’écrire sous forme pente-ordonnée à l’origine, vous n’avez qu’à suivre les étapes suivantes :

Étape 1 : Ax est soustrait des deux côtés de l’équation.

Etape 2 : tous les coefficients et le terme indépendant sont divisés par le coefficient B (y compris son signe).

Étape 3 : Si possible, simplifiez toute fraction issue de la division.

Exemples de transformation de la forme standard à la forme à l’origine de la pente

Exemple 1 : 3x + 2y = 4

Étape 1:

Exemple de formulaire pente-ordonnée à l'origine

Étape 2:

Exemple de formulaire pente-ordonnée à l'origine

Étape 3:

Exemple de formulaire pente-ordonnée à l'origine

Comme vous pouvez le voir, cette équation correspond à une droite descendante qui coupe l’axe des y en 2.

Exemple 2 : x – 4y = 6

Étape 1:

Exemple de formulaire pente-ordonnée à l'origine

Étape 2:

Exemple de formulaire pente-ordonnée à l'origine

Étape 3:

Exemple de formulaire pente-ordonnée à l'origine

Dans ce cas, le résultat est une ligne descendante qui coupe l’axe y à -1,5.

Les références

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Israel Parada (Licentiate,Professor ULA)
(Licenciado en Química) - AUTOR. Profesor universitario de Química. Divulgador científico.

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