Règle de multiplication pour les événements indépendants

Il existe de nombreuses situations dans lesquelles nous sommes intéressés à trouver la probabilité que deux événements se produisent simultanément. Certaines d’entre elles sont:

• Trouvez la probabilité d’obtenir un double six en lançant deux dés simultanément ou l’un après l’autre.
• Trouvez la probabilité qu’une personne choisie au hasard dans un groupe soit à la fois de sexe féminin et de peau foncée.
• Probabilité de choisir un couple d’élèves de sexe opposé dans une section de l’école.
• La probabilité que deux systèmes de contrôle redondants tombent en panne en même temps lors du lancement d’une fusée spatiale.

Cette classe de problèmes peut être résolue au moyen de la règle générale de la multiplication des probabilités. Cette règle établit que, pour deux événements A et B, la probabilité qu’ils se produisent simultanément, c’est-à-dire la probabilité d’intersection, est donnée par :

Dans cette équation, P(A|B) est la probabilité conditionnelle que l’événement A se produise compte tenu de B. Ce qui précède est la règle générale de multiplication et s’applique à toute paire d’événements. Dans certains cas, la probabilité conditionnelle est inconnue ou difficile à déterminer ; cependant, dans le cas d’événements indépendants, cette probabilité est simplifiée pour donner lieu à la règle de multiplication des événements indépendants.

Règle de multiplication pour les événements indépendants

Que sont les événements indépendants ?

Deux événements A et B sont indépendants l’un de l’autre si la survenance de l’un d’eux n’affecte pas la probabilité que l’autre se produise. En termes mathématiques, cela implique que la probabilité conditionnelle que l’un ou l’autre événement se produise, étant donné que nous savons que l’autre s’est produit, est égale à la simple probabilité que le premier se produise. Autrement dit, deux événements ne seront indépendants que si :

L’interprétation de ce qui précède est que la probabilité que A se produise étant donné que B s’est produit est égale à la probabilité que A se produise. Cela implique que l’occurrence de B n’a pas affecté la probabilité que A se produise, donc les deux événements se produisent de manière indépendante. chemin.

Toute paire d’événements qui ne satisfont pas la condition ci-dessus sera des événements dépendants.

Comment la règle de multiplication est-elle affectée dans ce cas ?

Comme on peut le voir, la première expression de la condition d’indépendance peut être utilisée pour simplifier la règle générale de multiplication, puisque le premier facteur peut être remplacé par la simple probabilité de A, obtenant ainsi l’expression suivante :

L’expression ci-dessus est connue sous le nom de règle de multiplication des probabilités pour des événements indépendants . Cela implique que si nous savons que deux événements sont indépendants l’un de l’autre et que nous connaissons leurs probabilités d’occurrence, alors nous pouvons trouver la probabilité qu’ils se produisent tous les deux en même temps simplement en multipliant ces probabilités.

Exemples d’événements indépendants

Le manque d’informations peut rendre difficile l’identification de l’indépendance de deux événements. Par exemple, on pourrait penser qu’avoir les cheveux bruns n’a rien à voir avec la survenue d’un cancer du sein, mais la physiologie du corps humain est si complexe qu’aucun médecin n’oserait faire cette affirmation.

Cependant, il existe de nombreuses expériences simples dans lesquelles nous pouvons facilement identifier si oui ou non deux événements sont indépendants.

• Lancez deux dés en même temps. Lorsque vous lancez deux dés, le résultat de l’un n’affecte en rien le résultat qui peut apparaître sur l’autre, de sorte que l’événement où un dé atterrit sur un nombre donné est indépendant de l’événement où l’autre dé atterrit sur un autre nombre. le même, même.
• Les résultats du lancement du même dé deux fois de suite sont également indépendants les uns des autres pour les mêmes raisons.
• Lancez une pièce deux fois. Le fait qu’il tombe pile ou face la première fois n’affectera pas le résultat du prochain lancer.
• Dans une usine de réfrigérateurs disposant de deux lignes de production indépendantes pour des composants utilisant des matières premières et une main-d’œuvre distinctes, il est acceptable de supposer que la probabilité que l’un des deux composants tombe en panne est indépendante de la probabilité que l’autre tombe en panne.
• Tirer au hasard une carte ou un deck d’un deck, le remplacer, puis tirer au hasard une autre carte du deck sont des événements distincts, car le remplacement de la carte d’origine dans le deck réinitialise les chances de piocher l’une des cartes d’origine.

Exemples d’événements qui ne sont pas indépendants

• Tirer au hasard une carte ou un paquet d’un paquet puis piocher une autre carte du même paquet sans remplacer la première ne sont pas des événements indépendants, car tirer le premier réduit le nombre total de cartes présentes dans le paquet, ce qui affecte la probabilité de tout autre carte qui sort. De plus, si nous ne remplaçons pas la première carte, la probabilité que cette carte sorte la deuxième fois devient nulle.
• Dans une voiture en marche, la probabilité que le moteur de la voiture surchauffe et la probabilité que la pompe à eau qui refroidit le moteur tombe en panne ne sont pas des événements indépendants, car si la pompe à eau tombe en panne, il devient beaucoup plus probable que le moteur surchauffe.
• Un exemple encore plus facile à comprendre est que l’obtention de bonnes notes en statistique n’est pas indépendante des études , car si nous étudions, nous avons plus de chances d’obtenir de bonnes notes.

Exemples de calculs de probabilité utilisant la règle de multiplication pour des événements indépendants

Exemple 1 : Lancer une pièce deux fois

Supposons que nous voulions calculer la probabilité qu’en lançant une pièce deux fois, le résultat soit face aux deux lancers.

Si nous appelons A l’événement dans lequel le premier lancer tombe face et B l’événement dans lequel le deuxième lancer tombe face, alors la probabilité qu’on nous demande de calculer est la probabilité d’intersection de A avec B, puisque nous voulons que les deux événements se produisent . Autrement dit, l’inconnue est P(A∩B).

Puisqu’il n’y a que deux résultats possibles pour chaque lancer, la probabilité que l’un ou l’autre événement se produise est la même :

Maintenant, puisque nous savons que les événements sont indépendants, nous pouvons utiliser la règle de multiplication pour déterminer la probabilité d’intersection :

Exemple 2 : lancer deux dés

Calculons la probabilité qu’en lançant deux dés communs à six faces, l’un d’eux tombe sur un et le second tombe sur un nombre pair.

Appelons les événements suivants A et B :

       A = un des dés tombe sur 1.

       B = un des dés tombe sur un nombre pair.

Ce que nous voulons calculer est, encore une fois, P(A∩B).

Puisque le résultat de chaque dé est indépendant du nombre qui résulte de l’autre, nous pouvons calculer P(A∩B) en utilisant la règle de multiplication pour les événements indépendants. Mais d’abord, nous avons besoin des probabilités de A et B.

Le dé a 6 faces avec les chiffres de 1 à 6, qui ne se répètent pas. Par conséquent, il n’y a qu’un seul 1 et il y a trois nombres pairs, à savoir 2, 4 et 6. Par conséquent, les probabilités que les événements séparés se produisent sont :

En utilisant ces probabilités et la règle de multiplication, on obtient la probabilité souhaitée :

Exemple 3 : Pièces défaillantes

Une usine qui construit du matériel informatique utilise, entre autres composants, deux puces ou circuits intégrés différents provenant de deux fabricants différents. Selon le fabricant de la première puce, la probabilité qu’elle tombe en panne dans des conditions de fonctionnement normales est de 0,00133. De son côté, le deuxième constructeur se vante que seulement deux de ses puces tombent en panne pour 5 000 unités installées. Le propriétaire de l’usine veut trouver la probabilité que les deux composants tombent en panne en même temps. La défaillance de chaque marque de puce peut être considérée comme indépendante de l’autre.

Dans ce cas, la déclaration elle-même spécifie que les deux événements sont indépendants, nous pouvons donc utiliser la règle de multiplication ci-dessus. De plus, la probabilité de défaillance de la première puce est également fournie, que nous appellerons événement A. La probabilité de défaillance de la deuxième puce (événement B) peut être calculée à partir des informations fournies par le fabricant :

Donc la probabilité que les deux composants tombent en panne en même temps est :

Les références

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