Différence entre les écarts-types d’un échantillon et d’une population

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Lors du calcul de l’ écart-type, deux situations doivent être considérées : l’écart-type d’une population ou d’un ensemble de valeurs, et l’écart-type d’un échantillon.

Rappelons, avant d’avancer dans les deux définitions, que l’écart-type σ est un paramètre qui permet d’évaluer la dispersion d’un ensemble de valeurs . Si la moyenne d’un ensemble de valeurs est calculée, l’écart type évalue la différence des valeurs de l’ensemble par rapport à la moyenne. Et la moyenne d’un ensemble de n valeurs est définie comme la somme de toutes divisée par le nombre de n valeurs . La formule générale utilisée pour calculer l’écart-type σ est présentée ci-dessous ; consiste à soustraire à chaque valeur de l’ensemble que l’on analyse, que l’on note avec l’indice i, la moyenne de toutes les valeurs ; nous mettons au carré chacune de ces différences et les additionnons; Nous divisons le résultat par le nombre de valeurs dans l’ensemble moins 1 et calculons la racine carrée de cette valeur.

Écart-type σ d'un échantillon.
Écart-type σ d’un échantillon.

Bien que les deux définitions de l’écart type évaluent la variabilité, il existe des différences conceptuelles entre le calcul sur une population et sur un échantillon. La différence tient à la distinction entre une variable statistique et un paramètre mathématique. Si des données sont collectées auprès de tous les membres d’une population ou si un ensemble de données défini est étudié, il s’agit du calcul de l’écart type d’une population. Si vous analysez des données qui représentent un échantillon d’une population plus large, il s’agit du calcul de l’écart type d’un échantillon. La figure ci-dessous illustre graphiquement la différence. L’écart type d’une population est un paramètre mathématique avec une valeur définie ; L’écart type d’un échantillon est un paramètre statistique qui évalue un ensemble de données dont le résultat est projeté sur un ensemble plus large. Cette évaluation dépend de l’échantillon, ce n’est pas une valeur définitive, comme c’est le cas dans le cas d’une population.

Population et échantillon.
Population et échantillon.

Qualitativement la différence de définition implique un calcul légèrement différent ; Dans le cas de l’écart type d’un échantillon, la différence entre chaque valeur et la moyenne au carré est divisée par le nombre de valeurs moins 1 ( n – 1), comme indiqué dans la formule précédente. Dans le cas de l’écart-type d’une population, il est divisé par n .

Exemple

Voyons un exemple pour fixer les idées. Prenons un ensemble de valeurs et calculons l’écart type selon les deux définitions. Le groupe est le suivant, et contient 5 valeurs ( n = 5), qui sont les suivantes :

1, 2, 4, 5, 8

La moyenne de ces valeurs a l’expression suivante

(1 + 2 + 4 + 5 + 8)/5 = 20/5 = 4

Les différences de chaque valeur et la moyenne au carré sont représentées avec la séquence suivante

(1 – 4) 2 = 9

(2 – 4) 2 = 4

(4 – 4) 2 = 0

(5 – 4) 2 = 1

(8 – 4) 2 = 16

La somme des cinq valeurs est 30.

Dans le cas du calcul de l’écart type de la population, cette valeur doit être divisée par n , 5 dans cet exemple et le résultat est 6 . Dans le cas de l’écart-type de l’échantillon, il faut diviser entre n – 1 ; 4 dans ce cas et le résultat est 7,5 . Pour compléter le calcul, nous devons obtenir la racine carrée; environ 2,4495 s’il s’agissait d’une population et environ 2,7386 s’il s’agissait d’un échantillon.

Fontaine

Yadolah Dodge. L’encyclopédie concise des statistiques . New York : Springer, 2010.

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Sergio Ribeiro Guevara (Ph.D.)
(Doctor en Ingeniería) - COLABORADOR. Divulgador científico. Ingeniero físico nuclear.

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