Qu’est-ce qu’une moyenne en mathématiques ?

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En mathématiques, une moyenne, également appelée moyenne, est un nombre qui résume la valeur d’un ensemble de nombres ou de données en un seul . Il est connu comme une mesure de tendance centrale car il représente, d’une certaine manière, une valeur qui est au centre d’une collection de données.

A quoi servent les moyennes ?

Les moyennes sont très utiles, car elles nous permettent de voir à grands traits le comportement d’un grand nombre de données sans nous perdre dans les détails de chacune des valeurs individuelles. Pour utiliser une analogie, le calcul d’une moyenne nous permet de voir la forêt dans son ensemble, au lieu de nous concentrer sur les arbres.

Par exemple, nous pouvons avoir un tableau dans lequel figurent les valeurs de la taille de 100 élèves d’un même niveau d’un établissement d’enseignement. Très probablement, aucune de ces personnes n’a exactement la même taille, donc la plupart des valeurs du tableau seront différentes.

Que se passerait-il si quelqu’un nous demandait quelle est la taille des élèves de ce niveau sur ce campus ? Il serait incorrect de donner la hauteur de l’un d’entre eux comme réponse. C’est là que les moyennes commencent à aider. Au lieu de rapporter 100 hauteurs différentes, la moyenne vous permet de résumer toutes ces informations en un seul chiffre. On pourrait donc dire que les étudiants du campus mesurent en moyenne 1,67 m (si c’était le cas).

Cela ne veut pas dire que tous les élèves ne mesurent pas 1,67, ni même qu’aucun d’entre eux n’ait cette taille. Simplement que le nombre qui représente le mieux la taille des élèves de cette classe sur ce campus est de 1,67 m.

Perte d’informations avec le calcul des moyennes

De toute évidence, en résumant les données en une moyenne, vous manquez beaucoup d’informations. L’information est sacrifiée pour la clarté. Le calcul des moyennes fait partie de ce que l’on appelle la statistique descriptive, qui n’est rien de plus qu’un ensemble de techniques et de calculs permettant de décrire avec peu de chiffres le comportement ou les caractéristiques d’un grand ensemble de données.

Les moyennes en elles-mêmes ne fournissent généralement pas suffisamment d’informations pour la plupart des applications que nous leur donnons. Pour récupérer certaines des informations manquantes, les moyennes sont souvent rapportées avec une certaine mesure de la dispersion des données individuelles autour de la moyenne, comme la variance ou l’écart type.

Types de moyennes et leurs formules

Il existe différentes manières de calculer une moyenne à partir d’un ensemble de données. Cela donne lieu à différents types de moyennes ou, plutôt, de moyennes.

  • Moyenne arithmétique (X̅ ou AM)
  • Moyenne arithmétique pondérée (WAM)
  • Moyenne géométrique (GM)
  • Moyenne harmonique (HM)
  • Racine moyenne des carrés (RMS)

Moyenne arithmétique (X̅ ou AM)

La moyenne arithmétique, ou AM, est la forme de moyenne la plus couramment utilisée dans la vie quotidienne. Il s’agit d’une simple somme des éléments à moyenner, divisée par le nombre total d’éléments ou de données.

La moyenne arithmétique est représentée dans de nombreux contextes mathématiques par le symbole qui représente la variable moyennée avec une barre au-dessus. Par exemple, la moyenne arithmétique de la variable X est représentée par X̅ (X-bar). Il est aussi parfois représenté par AM X . Sa formule est donnée par :

moyenne en mathématiques

Dans cette équation, X i représente le ième élément de données individuel et n est le nombre total d’éléments de données moyennés.

Cette moyenne a la particularité d’être au centre de toutes les données, de sorte que la somme des écarts de toutes les données individuelles par rapport à la moyenne est toujours nulle.

La moyenne arithmétique est très sensible aux valeurs aberrantes ou aux données extrêmes. Autrement dit, lorsqu’il existe une valeur dans un ensemble de données qui est soit beaucoup plus grande que la grande majorité des autres données, soit beaucoup plus petite, ces données extrêmes tirent la moyenne vers elle, loin de la majorité des autres données.

Moyenne arithmétique pondérée (WAM ou W)

La moyenne arithmétique donne une importance ou un poids égal à toutes les données moyennées. Cependant, ce n’est pas toujours pratique, car certaines données peuvent être plus importantes que d’autres. Dans ces cas, on utilise la moyenne arithmétique pondérée ou moyenne pondérée, qui est généralement représentée par le symbole W (de l’anglais  » moyenne pondérée «  ).

Dans le calcul de la moyenne pondérée, l’importance relative de chaque élément de données est entrée dans le calcul sous la forme d’un facteur de pondération particulier ( w i ) pour chaque élément de données ( X i ). Plus l’importance de la donnée est grande, plus son facteur de pondération est important, augmentant ainsi son influence sur la moyenne finale. La formule pour calculer la moyenne pondérée est :

moyenne en mathématiques

Le facteur de pondération peut être choisi arbitrairement et, dans certains cas, peut même être calculé à l’aide d’une fonction de pondération appropriée, si cela est jugé nécessaire.

Un exemple de situation où la moyenne pondérée est plus appropriée que la moyenne simple est donné dans le cas du calcul de la moyenne pondérée cumulative d’un élève. La moyenne arithmétique ou moyenne simple ne convient pas à ces cas, car il y a des matières qui demandent beaucoup plus de travail et de dévouement que d’autres, et il y a aussi des matières qui sont plus importantes que d’autres pour l’avenir académique de l’étudiant. Pour cette raison, ils devraient contribuer davantage au GPA que les sujets moins importants.

Dans ces cas, le nombre d’unités de crédit du sujet est généralement utilisé comme facteur de pondération.

moyenne géométrique (GM)

Lors du calcul de la moyenne géométrique, au lieu de prendre la somme des données et de la diviser par le nombre de données, les n données individuelles sont multipliées ensemble et la racine nième du produit conjoint est prise.

moyenne en mathématiques

Cette moyenne a la propriété d’être nulle si l’une des données moyennées est nulle. De plus, si le nombre d’éléments de données est pair, la moyenne géométrique n’est pas définie pour les données négatives, c’est pourquoi son utilité est limitée aux nombres strictement positifs.

Ce type de moyenne est souvent utilisé lors du calcul des moyennes en pourcentage.

Moyenne harmonique (HM)

La moyenne harmonique, ou HM, est un type de moyenne souvent utilisé pour calculer la moyenne de quantités calculées sous forme de produits ou de quotients. Quelques exemples importants sont le calcul des vitesses moyennes sur des trajets de même longueur, le ratio cours/bénéfice (PER) des investissements en bourse, etc.

La formule de calcul de la moyenne harmonique consiste en l’inverse de la moyenne arithmétique des inverses des données individuelles. Autrement dit, il est donné par l’équation suivante :

moyenne en mathématiques

Racine quadratique moyenne (RMS)

Aussi connu sous le nom de racine carrée moyenne, le RMS représente un type de moyenne adapté aux données qui ont des valeurs positives et négatives. En effet, il correspond à la racine carrée de la moyenne arithmétique des carrés des données individuelles. En mettant au carré chaque donnée, le résultat obtenu sera toujours positif, donc l’influence de ce signe sur le calcul de la moyenne est éliminée.

Le RMS est donné par :

exemple de moyenne en mathématiques

L’application la plus courante de RMS est le calcul de la tension efficace du courant alternatif avec onde sinusoïdale. Dans ce cas, le plus important est l’amplitude moyenne de l’onde et non la valeur moyenne de la tension qui est nulle par symétrie autour de 0 V.

Autres mesures de tendance centrale : la médiane et le mode

Outre les différentes moyennes que nous avons vues précédemment, il existe également d’autres mesures de tendance centrale qui sont principalement utilisées en statistique. Ce sont la médiane et le mode.

La médiane (X̃)

Dans un ensemble de données quantitatives classées du plus petit au plus grand, la médiane représente les données centrales, ou la valeur de la variable qui divise la série de données en deux moitiés ou ensembles avec le même nombre de données. De cette manière, la détermination de la médiane, qui est représentée en plaçant un tilde ou un tilde sur le symbole de la variable d’intérêt (par exemple, ṽ pourrait représenter la médiane d’une série de données de vitesse), dépend du nombre total de Données disponibles.

La médiane n’est pas nécessairement calculée mais plutôt identifiée dans un ensemble de données. Pour identifier la médiane, la première chose à faire est de classer toutes les données de la plus petite à la plus grande, puis de les numéroter dans l’ordre à partir de 1. L’étape suivante dépend si le nombre total de données (n) présentes est pair ou impair :

Nombre de données impaires : Si la série contient un nombre impair de données, alors la médiane sera la donnée identifiée par le nombre (n+1)/2. Par exemple, s’il y a 15 points de données au total, la médiane sera le point de données (15+1)2=8, car cela laisse 7 points de données en dessous et 7 points de données au-dessus de la médiane.

Nombre de données paires : Dans ce cas, il n’y a pas de données centrales qui divisent la série en deux moitiés égales, donc la médiane est calculée comme la moyenne arithmétique des deux données centrales, c’est-à-dire du numéro de données n/2 et des données (n/2) +1. Par exemple, si une série de données contient 24 éléments de données, alors la médiane sera la moyenne simple entre l’élément de données 2/2=12 et l’élément de données (2/24)+1=13.

La médiane offre l’avantage d’être moins sensible aux valeurs extrêmes que la moyenne. Cependant, ce n’est pas une bonne mesure de la tendance centrale si les données sont biaisées.

Le mode (Mo X )

Le mode est simplement la valeur ou la catégorie la plus fréquente dans un ensemble de données. C’est quelque chose comme la valeur « la plus chaude » de la série et représente le pic le plus élevé lorsque les données sont représentées sous la forme d’un histogramme.

Exemple de calcul de différentes moyennes

Supposons que nous ayons la série de données suivante correspondant à la taille de 30 élèves d’une section de mathématiques dans une école de la capitale. Toutes les hauteurs sont en mètres.

1,56 1,45 1.44 1,60 1,58
1.39 1,71 1.49 1.52 1,53
1,63 1,68 1,47 1,56 1,59
1.40 1,50 1,58 1.62 1,66
1,74 1,79 1,58 1,67 1,70
1.51 1.61 1,69 1,73 1,77

À partir de ces données, déterminez a) la moyenne arithmétique; b) la moyenne géométrique ; c) la moyenne harmonique ; d) le RMS, et e) la médiane.

Solution

Puisqu’on nous demande de déterminer la médiane, et pour cela nous avons besoin d’avoir les données ordonnées et identifiées, nous commencerons par là, car cela facilite généralement les autres calculs :

Yo Xi _ Yo Xi _
1 1.39 16 1,59
2 1.40 17 1,60
3 1.44 18 1,70
4 1,45 19 1.62
5 1,47 vingt 1,63
6 1.49 vingt-et-un 1,66
7 1,50 22 1,74
8 1,60 23 1,68
9 1.52 24 1,85
dix 1,53 25 1,79
onze 1,56 26 1,71
12 1,56 27 1,90
13 1,58 28 1,82
14 1,67 29 2.01
quinze 1,58 30 1,93

Maintenant, à l’aide de ce tableau, nous allons calculer les moyennes qu’on nous demande de calculer. Dans les deux cas, il s’agit simplement d’appliquer les équations ci-dessus :

Moyenne arithmétique

exemple de moyenne en mathématiques

Moyenne géométrique

exemple de moyenne en mathématiques

moyenne harmonique

exemple de moyenne en mathématiques

RMS

exemple de moyenne en mathématiques

Médian

Comme il s’agit d’un nombre pair de données, la médiane sera la moyenne arithmétique des données 30/2=15 et (30/2)+1=16, c’est-à-dire qu’elle sera la moyenne entre 1,58 et 1,59 :

exemple de moyenne en mathématiques

Les références

Conthe, M. (2017, 21 juillet). Moyenne arithmétique ou moyenne géométrique ? Expansion. https://www.expansion.com/blogs/conthe/2017/07/21/un-calculo-poco-armonico.html

Profitez des mathématiques. (2011). Définition : Moyenne . Enjoythemathematics.com. https://www.disfrutalasmatematicas.com/definiciones/average.html

Larios, R. (2020, 9 septembre). Quelle est la moyenne en mathématiques ? Apprendre à la maison II . Union Jalisco. https://www.unionjalisco.mx/2020/09/09/que-es-el-promedio-en-matematicas-aprende-en-casa-ii/

Lopez, JF (2021, 2 février). moyenne géométrique . Economipédia. https://economipedia.com/definiciones/media-geometrica.html

Mathématiques, M. (2020, 25 juin). moyennes; Arithmétique; géométrique et harmonique ; propriétés; candidatures . Matematiques. https://matematicas.review/promedios-aritmetico-geometrico-y-armonico-propiedades-aplicaciones/

Pérez P., J., & Merino, M. (2011). Définition de la moyenne . Définition de. https://definicion.de/average/

L’Université ouverte. (2020). Sciences fondamentales : comprendre les nombres . OpenLearn. Disponible sur https://www.open.edu/openlearn/science-maths-technology/basic-science-understanding-numbers/content-section-overview .

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Israel Parada (Licentiate,Professor ULA)
(Licenciado en Química) - AUTOR. Profesor universitario de Química. Divulgador científico.

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