Opi laskemaan keskihajonta

Artículo revisado y aprobado por nuestro equipo editorial, siguiendo los criterios de redacción y edición de YuBrain.


Keskihajonta, jota edustaa joko kreikkalainen kirjain σ (sigma) tai kirjain S , on tietosarjan vaihtelun mitta. Tarkemmin sanottuna se edustaa mittaa otoksen tai populaation datan keskimääräisistä poikkeamista suhteessa perusjoukon keskiarvoon, mikä osoittaa kuinka hajallaan data on mainitun keskeisen trendiarvon ympärillä.

Suuri keskihajonta osoittaa, että keskimäärin data on kaukana keskiarvosta molempiin suuntiin (data on hyvin hajallaan), kun taas pieni standardipoikkeama osoittaa päinvastaista.

Keskihajonta lasketaan aina toisen vaihtelumitan, jota kutsutaan varianssiksi, neliöjuurena. Varianssi voidaan laskea useilla tavoilla riippuen käytettävissä olevan datan tyypistä (otos tai populaatio), mikä johtaa useampaan kuin yhteen tapaan laskea keskihajonta.

Molemmissa tapauksissa käytetään hieman erilaisia ​​kaavoja, jotka kuvataan seuraavassa osiossa. Seuraavassa kuvataan, kuinka jokainen niistä lasketaan askel askeleelta ja ”käsin”. Siinä kuvataan myös, kuinka tämän tärkeän tilastomuuttujan laskemiseen käytetään laskureita, joissa on tilastofunktioita ja laskentataulukoita, kuten Excel tai Google Sheets.

Keskihajontaa on kahdenlaisia

Tilastoissa on kahdenlaisia ​​tietosarjoja kuvaavia mittoja riippuen siitä, ovatko saatavilla kaikki populaation tiedot vai vain otoksen tiedot. Niitä mittareita, joita käytetään väestön kuvaamiseen, kutsutaan populaatioparametreiksi ja ne esitetään yleensä kreikkalaisilla kirjaimilla. Sillä välin näytettä kuvaavia parametreja kutsutaan tilastoiksi ja ne esitetään yleensä pienillä kirjaimilla.

Tämän vuoksi standardipoikkeamia on kahdenlaisia:

  • Yleisön keskihajonna , joka on kreikkalaisella kirjaimella σ (pieni sigma) esitetty populaatioparametri .
  • Otosten keskihajonna , joka on tilastollinen parametri, jota edustaa kirjain S.

Alla on kaavat molempien keskihajonnan tyyppien laskemiseen.

Kaavat perusjoukon keskihajonnan σ laskemiseksi

Kaava väestön keskihajonnan laskemiseksi

Näissä yhtälöissä x i edustaa kunkin yksittäisen tietoyksikön arvoa, μ on perusjoukon keskiarvo ja n on tietoyksiköiden kokonaismäärä perusjoukossa.

Kaavat näytteen keskihajonnan S laskemiseksi

Kaava näytteen keskihajonnan laskemiseksi

Näissä yhtälöissä x i edustaa kunkin yksittäisen näytteen tietokohteen arvoa, ¯x on otoksen keskiarvo ja n on otoksessa olevien tietokohteiden kokonaismäärä.

Ainoa todellinen ero tavassa, jolla nämä kaksi keskihajontaa lasketaan, on se, että yhdessä tapauksessa se jaetaan n:llä, kun taas toisessa tapauksessa se jaetaan luvulla n – 1 . Jälkimmäinen on korjata ero otoksen keskiarvon ja perusjoukon keskiarvon välillä, jotka eivät yleensä ole samat.

Mitä kaavaa pitäisi käyttää?

Ainoa asia, joka on otettava huomioon päätettäessä, mitä kaavoista käytetään, on se, edustavatko tiedot, joille keskihajonna on laskettava, kaikkia populaation tietoja vai vain otosta. Tämä käy yleensä ilmi lausumasta (jos jokin tilastollinen ongelma on ratkaistu) tai siitä, miten tiedot on saatu.

VINKKI: Jos olet epävarma, on turvallisinta olettaa, että tämä on näyte, koska sinulla on harvoin kaikki populaation tiedot.

Mitä tulee ensimmäisen (vasemmalla) tai toisen (oikealla) kaavan käyttöön σ:lle tai S:lle, molemmissa tapauksissa esitetyt kaksi yhtälöä antavat saman tuloksen. Käytännöllisempää on kuitenkin käyttää oikealla olevaa kaavaa, vaikka se saattaa tuntua monimutkaisemmalta. Syy on hyvin yksinkertainen: keskihajonnan laskemiseen tarvitaan vähemmän vaiheita oikeanpuoleisilla kaavoilla kuin vasemmalla olevilla kaavoilla.

Kuinka laskea keskihajonta ”käsin”

Alla esittelemme prosessin havainnollistavan esimerkin avulla vaiheet, jotka on suoritettava keskihajonnan laskemiseksi.

Ongelma

Määritettiin aika, jonka 15 auton näyte vei polttoainesäiliön täyttämiseen huoltoasemalla. Tiedot sekunneissa mitattuna on esitetty alla:

71 65 48 76 80
64 42 55 80 66
53 49 70 67 42

Määritä keskihajonta.

Ratkaisu: Tässä tapauksessa lauseessa määritetään, että tiedot vastaavat näytettä, joten yhtälö, jota käytämme keskihajonnan (näytteen) määrittämiseen, on:

Esimerkki kaavasta 1 näytteen keskihajonnan laskemiseksi

Tämän kaavan soveltamiseksi tarvitsemme vain laskea datan summan (∑X i ), datan neliöiden summan (∑X i 2 ) ja datan kokonaismäärän (n). Tämä onnistuu helposti seuraavien vaiheiden avulla:

Vaihe 1: Järjestä tiedot pystysuunnassa

Keskihajonnan laskeminen on helpompaa, jos tietosi on järjestetty pystysuoraan luetteloon, koska se helpottaa seuraavia vaiheita. Se ei ole ehdottoman välttämätöntä, mutta se auttaa myös, että jokainen tietoyksikkö tunnistetaan numerolla, koska se tarjoaa helposti kaavan käyttämisen edellyttämän datayksiköiden kokonaismäärän (n). Tietoja ei tarvitse tilata millään tavalla.

# Xi_ _ x i 2
1 71  
2 65  
3 48  
4 76  
5 80  
6 64  
7 42  
8 55  
9 80  
10 66  
yksitoista 53  
12 49  
13 70  
14 67  
viisitoista 42  

Vaihe 2: laske kunkin tiedon neliö

Seuraava vaihe on neliöttää jokainen yksittäinen tietokohde ja kirjoittaa sitten tulos sen viereen sarakkeeseen.

# Xi_ _ x i 2
1 71 5041
2 65 4225
3 48 2304
4 76 5776
5 80 6400
6 64 4096
7 42 1764
8 55 3025
9 80 6400
10 66 4356
yksitoista 53 2809
12 49 2401
13 70 4900
14 67 4489
viisitoista 42 1764

Vaihe 3: Summaa kaikki alkuperäiset tiedot

Lisäämme kaikki arvot, jotka näkyvät sarakkeessa, jonka tunnistamme X i: ksi , ja kirjoitamme tuloksen sarakkeen loppuun.

Vaihe 4: Lisää kaikki tietojen neliöt ja kirjoita tulos sarakkeen alaosaan

Lisäämme kaikki arvot, jotka näkyvät sarakkeessa, jonka tunnistamme X i 2 :ksi , ja kirjoitamme tuloksen sarakkeen loppuun. Kun olet suorittanut vaiheet 3 ja 4, taulukko näyttää tältä:

# Xi_ _ x i 2
1 71 5041
2 65 4225
3 48 2304
4 76 5776
5 80 6400
6 64 4096
7 42 1764
8 55 3025
9 80 6400
10 66 4356
yksitoista 53 2809
12 49 2401
13 70 4900
14 67 4489
viisitoista 42 1764
Tietojen määrä (n) Tietojen summa ( ∑X i ) Neliöiden summa ( ∑X i 2 )
viisitoista 928 59750

Vaihe 5: Käytä keskihajonnan kaavaa

Viimeinen vaihe on yksinkertaisesti korvata taulukon lopussa olevat arvot vastaavassa kaavassa:

Korvaa arvot kaavassa keskihajonnan laskemiseksi

Tulos keskihajonnan käsin laskemisesta

Keskihajonnan laskeminen tilastolaskimella

Useimmissa tieteellisissä ja taloudellisissa laskureissa on erityistoimintoja, jotka helpottavat kaikkien tilastoissa käytettävien keskeisten trendien ja hajontamittausten laskemista. Menettelytapa on laskimen mallista riippumatta aina sama:

Vaihe 1 – Siirry tilastotilaan

Laskimissa on yleensä erityinen tila tilastofunktioita varten. Siihen päästään yleensä painamalla MODE -painiketta ja sen jälkeen numeroa, joka yleensä ilmestyy näytölle STAT , SD ( standardipoikkeama ) tai vastaavan vieressä.

Vaihe 2 – Puhdista muisti

Vanhemmissa laskimissa ei näy, onko laskimen muistissa jo dataa vai ei, joten muisti kannattaa aina tyhjentää ennen aloittamista. Voit tehdä tämän painamalla CLR- tai MCL- näppäintä ja valitsemalla MODE- vaihtoehdon (tämä poistaa vain tilastotilaan tallennetut tiedot). Monissa tapauksissa on tarpeen palata tilastotilaan tämän vaiheen jälkeen.

Vaihe 3: syötä kaikki tiedot

Kaikki tiedot syötetään peräkkäin, yksitellen, painamalla DT , DATA näppäintä tai vastaavaa välissä.

Vaihe 4: Hanki tulos

Viimeinen vaihe on yksinkertaisesti kysyä laskimelta keskihajonta. Tulosten sijainti vaihtelee suuresti eri mallien ja merkkien välillä. Joissakin sinun on painettava SHIFT- näppäintä ja sen jälkeen näppäintä, jossa lukee yllä oleva S-VAR , toisissa se on erilainen. On suositeltavaa katsoa laskimen käyttöohjetta.

Kun saamme oikean valikon, meidän on valittava, kumpi kahdesta keskihajonnasta tarvitsemme. Jos kyseessä on väestötieto, valitsemme vaihtoehdon, jossa lukee σ tai σ(n). Jos kyseessä on näytetieto, valitsemme vaihtoehdon, jossa lukee σ(n-1) tai S.

Keskihajonnan laskeminen Microsoft® Excel™ -ohjelmassa

Helpoin tapa laskea keskihajonta on laskentataulukot, kuten Excel tai Google Sheets. Näissä ohjelmissa on jo kaikki protokollat ​​erilaisten tilastomuuttujien laskemiseen, joita saatamme tarvita. Tämä tehdään kahdessa yksinkertaisessa vaiheessa:

Vaihe 1: liitä tai lisää tiedot

Tämä on yhtä yksinkertaista kuin tietojen kopioiminen suoraan, yksitellen erillisiin soluihin (sarakkeiden, rivien tai matriisien muodossa, ei väliä mitä). Esimerkkimme tapauksessa:

Keskihajonnan laskeminen laskentataulukoissa, kuten Excelissä

VAIHE 2: Kirjoita tarvitsemamme keskihajonnan kaava

Tämä riippuu käytetystä laskentataulukosta ja kielestä, jolle se on asetettu. Espanjan Microsoft® Excel™ -version keskihajonnan kaavat ovat:

Esimerkki keskihajonta (S): =STDEV.M(data 1; data 2;…;data n)
Väestön keskihajonta (σ): =STDEV.P(data 1; data 2;…;data n)

Sinun ei tarvitse syöttää yksittäisiä tietoja, valitse vain solut, joihin tiedot on jo liitetty. Esimerkissämme tiedot ovat alueella solusta B1 soluun F3, joka on kirjoitettu muodossa B2:F3.

Keskihajonnan laskeminen laskentataulukoissa, kuten Excel - Vaihe 2

Lopuksi ENTER -näppäintä painetaan ja READY! Keskihajonta saadaan.

Viitteet

  • Espinoza, CI ja Echecopar, AL (2020). Tilastolliset sovellukset käyttäen MS Exceliä vaiheittaisilla esimerkeillä (espanjalainen painos) (1. painos ). Lima, Peru: Luis Felipe Arizmendi Echecopar ja Duo Negocios SAC.
-Mainos-

mm
Israel Parada (Licentiate,Professor ULA)
(Licenciado en Química) - AUTOR. Profesor universitario de Química. Divulgador científico.

Artículos relacionados

Liekin väritesti