Tabla de Contenidos
Pyörimishitausmomentti tai yksinkertaisesti pyörimishitaus on skalaarinen fysikaalinen suure, joka on tyypillinen mille tahansa kappaleelle, jolla on massaa ja joka mittaa kuinka vaikeaa se on saada pyörimään tietyn pyörimisakselin ympäri. Se on lineaarisen inertian pyörimisvastine ja sellaisenaan se on suure, joka ilmaisee vaikeutta muuttaa kohteen nopeutta, olipa se sitten levossa tai liikkeessä, sillä erolla, että tässä tapauksessa se on noin kulma. nopeus.
Tällä suurella on suuri merkitys pyörimisliikkeen kuvauksessa, koska sen avulla voimme ymmärtää eron sellaisten kappaleiden käyttäytymisessä, jotka, vaikka niillä on sama ulkomuoto ja massa, käyttäytyvät eri tavalla, kun niihin kohdistuu vääntömomenttivoimia. pyöritä. Tämä ero johtuu erosta kappaleen massan jakautumisessa pyörimisakselin ympäri. Yllä oleva tarkoittaa, että samalla kappaleella voi olla erilaisia pyörimishitausmomentteja riippuen sen sijainnista suhteessa pyörimisakseliin, jolloin syntyy erilaisia kaavoja hitausmomentin laskemiseksi.
Edellä sanotun jälkeen on selvää, että hitausmomentin löytämiseksi on olemassa niin monta kaavaa kuin mahdollista olemassa olevien esineiden ja pyörimisakseleiden muotoja. On kuitenkin joitakin erityistapauksia säännöllisistä geometrisista muodoista, jotka pyörivät akseleiden ympäri, jotka syntyvät käytännössä luonnostaan. Seuraavissa osissa näemme tärkeimmät kaavat näiden kappaleiden pyörimishitausmomentin määrittämiseksi.
Pistehiukkasen hitausmomentin kaava
Pistehiukkasen hitausmomentti vastaa tämän fyysisen suuren alkuperäistä määritelmää. Tämä lauseke tulee pyörimiskineettisen energian lausekkeesta, kun se kirjoitetaan kulmanopeudella w.
Oletetaan, että meillä on hiukkanen, jonka massa on m , joka pyörii seuraavan keskiakselin ympäri:
Tämän hiukkasen kineettinen energia, kuten minkä tahansa muun liikkuvan hiukkasen, määräytyy sen massan ja nopeuden (sen nopeuden suuruuden) tulon puolesta neliöön nostettuna, eli 1/2 mv 2 . Kuitenkin, jos ainoa liike, jota tämä hiukkanen kuvaa, on pyöriminen akselin ympäri (käännöstä ei ole), voimme ilmaista hiukkasen lineaarinopeuden sen kulmanopeuden funktiona kirjoittamalla v = rω. Näin toimimalla kineettinen energia, joka tässä tapauksessa on yksinomaan pyörimiskineettistä energiaa, ilmaistaan seuraavasti:
Kun hiukkasen hitausmomentti I määritellään seuraavasti:
Tässä lausekkeessa m on pistehiukkasen massa ja r on pyörimissäde tai, mikä on sama, etäisyys pyörimisakselista hiukkaseen.
Pistehiukkasten joukon hitausmomentin kaava
Oletetaan nyt, että meillä ei ole yhtäkään hiukkasta, joka pyörii akselin ympäri, vaan että meillä on järjestelmä, joka koostuu n:stä hiukkasesta, joista jokaisella on tietty massa, m i , ja jokainen pyörii etäisyydellä r i pyörimisakselista , kuten alla näkyvä kolmen hiukkasen järjestelmä.
Jos haluaisimme laskea tämän järjestelmän kokonaiskineettisen energian, meidän pitäisi vain laskea yhteen kunkin kolmen hiukkasen kineettiset energiat. Jos laajennetaan tämä idea n hiukkasen yleiseen tapaukseen ja oletetaan, että ne kaikki liikkuvat samalla kulmanopeudella (koska ne pyörivät yhdessä), niin järjestelmän pyörimiskineettinen kokonaisenergia saadaan:
Mistä seuraa, että n:n hiukkasen järjestelmän kokonaishitausmomentti , jotka pyörivät yhdessä saman akselin ympäri, kullakin omalla massallaan ja pyörimissätellään, saadaan seuraavasti:
Tämä kaava toimii sekä pistehiukkasille että minkä tahansa kokoisille pallomaisille hiukkasille, kunhan pyörimisakseli on pallon ulkopuolella. Jos tämä ehto täyttyy, säde vastaa etäisyyttä pallon akselin ja keskipisteen välillä ja massa vastaa pallon kokonaismassaa.
Jäykkien kappaleiden hitausmomentin integraalikaava
Yllä oleva hitausmomentin kaava pätee piste- ja erillishiukkasten muodostamiin järjestelmiin. Se voidaan kuitenkin laajentaa jäykille kappaleille, joilla on jatkuva massajakauma, aivan kuten se tapahtuu suunnilleen makroskooppisten kappaleiden kanssa.
Näissä tapauksissa hitausmomentin laskeminen koostuu kappaleen jakamisesta pieniksi massaelementeiksi (Δm i ), joista jokainen sijaitsee etäisyydellä r i pyörimisakselista, ja soveltamalla sitten edellistä yhtälöä. Jos kuitenkin siirrämme massaelementin koon rajalle, jossa siitä tulee äärettömän pieni alkio tai massadifferentiaali (dm), niin summauksesta tulee integraali, kuten alla on esitetty:
Tämä on yleinen ilmaus minkä tahansa jäykän kappaleen hitausmomentin löytämiseksi sen muodosta tai massajakaumasta riippumatta. Useimmissa tapauksissa integroinnin suorittamiseksi massaelementti dm korvataan kappaleen tiheyden tulolla tilavuuserolla, dV . Tämä mahdollistaa integroinnin suorittamisen jäykän kappaleen koko tilavuudelle, vaikka massajakauma ei olisi tasainen (kunhan tiedetään, miten se vaihtelee asennosta riippuen).
Tässä tapauksessa hitausmomentin kokonaislauseke tulee:
Seuraavaksi esittelemme tuloksen edellisen lausekkeen integroimisesta erilaisille jäykille kappaleille säännöllisillä muodoilla, kuten renkailla, sylintereillä ja palloilla. Kaikissa alla kuvatuissa tapauksissa tarkasteltujen kappaleiden mitat ja massat on esitetty isoilla kirjaimilla, jotta ne voidaan erottaa integrointimuuttujista.
Kaava ohuen yhtenäisen renkaan hitausmomentille sen keskiakselin ympärillä, jonka säde on R
Yksi yksinkertaisimmista tapauksista edellisen yhtälön integroinnissa on tasainen rengas, joka pyörii symmetriakeskipisteensä ympäri. Seuraava kuva esittää tämän tapauksen.
Siinä erityistapauksessa, jossa renkaan paksuus on mitätön verrattuna sen säteeseen, voimme pitää sitä massana, joka on jakautunut kehälle ilman paksuutta, niin että kaikki massaelementit ovat olennaisesti samalla säteellä, tässä tapauksessa R. Näillä ehdoilla säde jättää integraalin jättäen vain differentiaalimassan integraalin dm, joka on yksinkertaisesti renkaan massa M. Tulos on:
Tässä lausekkeessa CM osoittaa, että se on hitausmomentti sen massakeskuksen suhteen.
Kaava keskipisteensä ympäri kiertävän kiinteän pallon, jonka säde on R, hitausmomentti
Kun kyseessä on kiinteä pallo, jonka säde ja tiheys on tasainen ja joka pyörii minkä tahansa halkaisijansa (keskipisteensä läpi kulkevan akselin) ympäri, kuten alla olevassa kuvassa, edellinen integraali voidaan ratkaista eri tavoin, mukaan lukien käyttämällä pallomaista koordinaattijärjestelmää.
Integroinnin tulos tässä tapauksessa on:
Kaava hitausmomentille pallonmuotoiselle kuorelle, jonka sisäsäde on R 1 ja ulkoinen säde R 2 sen keskustan ympärillä
Jos kiinteän pallon sijaan se on ontto pallo tai pallomainen kuori, jolla on paksut seinät, on otettava huomioon kaksi sädettä, ulkoinen ja sisäinen. Nämä on esitetty seuraavassa kuvassa.
Tässä tapauksessa ratkaisuna on ajatella pallomaista kuorta säteittäisenä R2 pallona, jonka keskeltä on poistettu samaa materiaalia oleva pallo, jonka säde on R1. Sen jälkeen kun on määritetty massa, joka suurella pallolla olisi ollut, ja sen pienen pallon massa, joka vedettiin takaisin alkuperäisen kuoren tiheyden kautta, molempien pallojen inertiat vähennetään, jolloin saadaan:
Kaava ohuen pallomaisen kuoren hitausmomentille sen keskustan ympärillä, jonka säde on R
Siinä tapauksessa, että pallomaisen kuoren paksuus on mitätön verrattuna sen säteeseen tai, mikä on sama, että R 1 on käytännössä yhtä suuri kuin R 2 , voimme laskea hitausmomentin ikään kuin se olisi massan pintajakauma, kaikki se sijaitsee etäisyydellä R keskustasta.
Tässä tapauksessa meillä on kaksi vaihtoehtoa. Ensimmäinen on ratkaista integraali tyhjästä. Toinen on ottaa edellinen tulos, paksun pallomaisen kuoren tulos, ja saada raja, kun R1 pyrkii R2:een. Tulos on seuraava:
Kaava L-pituisen ohuen tangon hitausmomentille sen massakeskipisteen läpi kulkevan kohtisuoran akselin ympäri
Kun meillä on ohut tanko, voimme pohjimmiltaan ajatella sitä lineaarisena massajakaumana riippumatta sen profiilin muodosta (eli riippumatta siitä, onko se lieriömäinen, neliömäinen vai minkä tahansa muun muotoinen tanko). Näissä tapauksissa ainoa asia, jolla on merkitystä, on, että taikina jakautuu tasaisesti tangon pituudelle.
Tässä tapauksessa hitausmomentti ilmaistaan seuraavasti:
Kaava ohuen L-pituisen sauvan hitausmomentille kohtisuoran akselin ympäri yhden pään läpi
Tämä on sama tapaus kuin edellä, mutta koko tanko pyörii yhdestä päästä kohtisuoran akselin ympäri:
Koska tangon massa on keskimäärin suuremmalla etäisyydellä pyörimisakselista, hitausmomentti on suurempi. Itse asiassa se on neljä kertaa suurempi kuin edellinen tapaus, kuten seuraava lauseke osoittaa:
Huomaa, että tässä tapauksessa akseli ei kulje massakeskuksen läpi, joten hitausmomentin symbolin CM-alaindeksi on jätetty pois.
Kaava kiinteän lieriömäisen tangon hitausmomentille, jonka säde on R sen keskiakselin ympäri
Tämä tapaus on ratkaistu hyvin yksinkertaisella tavalla käyttämällä sylinterimäistä koordinaattijärjestelmää ja ajatellen sylinteriä ikään kuin sen muodostavat samanpituiset, mutta eri säteet omaavat samankeskiset lieriömäiset kuoret. Sitten säde integroidaan arvosta r = 0 arvoon r = R.
Tämän prosessin tulos on sylinterimäisen tangon hitauskaava, joka on:
On huomattava, että koska tämä tulos ei riipu sylinterin pituudesta, samaa lauseketta voidaan käyttää pyöreän kiekon tapauksessa.
Kaava onton sylinterin, jonka sisäsäde on R 1 ja ulkosäde R 2 , hitausmomentti sen keskiakselin ympäri
Tämä kotelo on samanlainen kuin paksu pallomainen kuori. Sitä käytetään, kun kuoren paksuus tai sen ulko- ja sisäsäteiden välinen ero on samaa suuruusluokkaa kuin säteet itse, joten emme voi katsoa, että massa on keskittynyt johonkin pintaan. Päinvastoin, meidän on otettava huomioon, että se on kolmiulotteinen massan jakautuminen kuoren paksuudella.
Kuten paksun pallomaisen kuoren tapauksessa, onton sylinterin, jonka sisäsäde on R1 ja ulkosäde R2 , hitausmomentti voidaan löytää suoralla integroinnilla tai vähentämällä hitausmomentti sylinteri, joka vedettiin pois keskireikää avattaessa, sellaisen kiinteän sylinterin hitausmomentista, jonka tiheys on sama kuin vaipan, käyttäen edellisen osan kaavaa kummallekin näistä kahdesta inertiasta.
Jommankumman näistä kahdesta strategiasta tulos on sama, ja se esitetään alla:
Kuten edellisessä tapauksessa, koska tämä tulos ei riipu sylinterin pituudesta, voimme sen avulla laskea pyöreän kiekon hitausmomentin, jonka keskellä on reikä, kuten esimerkiksi aluslevy tai Blu-ray-levy.
Kaava ohuen lieriömäisen kuoren hitausmomentille, jonka säde on R sen keskiakselin ympäri
Mikäli meillä on seuraavan kuvan kaltainen ontto sylinteri, jossa lieriömäisen vaipan paksuus on hyvin pieni verrattuna sylinterin säteeseen, voidaan olettaa, että massa jakautuu vain säteen R pinnalle. .
Kuten muissakin tapauksissa, voimme suorittaa suoran integroinnin käyttämällä pinta-alamassatiheyttä tai voimme arvioida paksun lieriömäisen kuoren tuloksen rajassa, jossa R1 pyrkii R2:een. Tulos on:
Huomaamme jälleen, että tämä tulos on pituudesta riippumaton. Tämä tarkoittaa, että se koskee yhtä lailla ohutta vannetta. Itse asiassa voimme varmistaa, että se on sama tulos, joka saatiin ohutta rengasta vastaavassa osassa.
Kaava säännöllisen suorakaiteen muotoisen levyn hitausmomentille sen keskipisteen läpi kulkevan kohtisuoran akselin ympäri
Harkitse lopuksi tapausta, jossa suorakaiteen muotoinen levy pyörii akselin ympäri, joka on kohtisuorassa sen pintaan nähden ja kulkee sen massakeskipisteen läpi, kuten alla on esitetty.
Suoran integroinnin tulos on:
Kuten aikaisemmissa tapauksissa, tämä tulos on riippumaton levyn korkeudesta tai paksuudesta, joten se koskee yhtä lailla paperiarkkia kuin kiinteää sementtilohkoa.
Viitteet
Khan Akatemia. (nd). Pyörimishitaus (artikkeli) . https://en.khanacademy.org/science/physics/torque-angular-momentum/torque-tutorial/a/rotational-inertia
OneClass. (2020, 6. lokakuuta). OneClass: Alkaen kaavasta hitausmomentin sauvan . https://oneclass.com/homework-help/physics/6942744-moment-of-inertia-bar.en.html
Serway, RA, Beichner, RJ ja Jewett, JW (1999). Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics: 2: Vol. Volume I (viides painos). McGraw Hill.
Snapsolve. (nd). Onton paksun pallomaisen kuoren hitausmomentti . https://www.snapsolve.com/solutions/Themoment-of-inertia-of-a-hollow-thick-spherical-shell-of-mass-M-and-its-inner-r-1681132593667073
