Todennäköisyyden aksioomat

Artículo revisado y aprobado por nuestro equipo editorial, siguiendo los criterios de redacción y edición de YuBrain.


Aksioomit ovat joukko väitteitä, jotka hyväksytään todeksi ilman todisteiden tarvetta ja joihin kaikki tieteen teoriat ja teoreemat perustuvat. Siksi todennäköisyysaksioomit ovat niitä peruslauseita, joihin todennäköisyysteoria perustuu . Ne edustavat lopullista viitekehystä, johon kaikkien olemassa olevien todennäköisyysteorian lauseiden tulisi loogisesti viitata. Venäläinen matemaatikko Andrei Nikolajevitš Kolmogorov väitti ne vuonna 1933, ja ne ovat peräisin yksinomaan terveestä järjestä.

Todennäköisyysaksioomien tarkoitus on formalisoida matemaattinen todennäköisyyskäsite sen varmistamiseksi, että numeeriset arvot, jotka annamme jonkin tapahtuman todennäköisyydelle, ovat yhdenmukaisia ​​intuitiivisen todennäköisyyskäsitystemme kanssa.

Alustavat määritelmät

Todennäköisyysteoria perustuu vain kolmeen aksioomiin , mutta ennen kuin mennään yksityiskohtiin, on tarpeen luoda joitain perusmääritelmiä sekä joitain yleissopimuksia todennäköisyyksien symboliikasta:

  • Koe. Se on mikä tahansa toimenpide tai prosessi, joka tuottaa tuloksen tai havainnon. Esimerkiksi kolikon heittäminen on kokeilu (prosessi tai toiminta), joka voi johtaa päihin tai hännoihin.
  • Näytetila ( S ). Viittaa kokeen kaikkien mahdollisten tulosten joukkoon ja on merkitty symbolilla S. Yllä olevassa kolikonheittoesimerkissä näytetila koostuu vain kahden tuloksen joukosta: S ={heads, tails}.
  • Tapahtuma ( E ). Tapahtuma on näyteavaruuden osajoukko, toisin sanoen mikä tahansa määrä kokeen mahdollisia tuloksia. Tapahtumat tunnistetaan yleensä isoilla kirjaimilla ja alaindeksillä (kuten E 1 , E 2 , E 3 jne.) tai eri kirjaimilla (A, B, C,…). Esimerkiksi kolikon heittämisen yhteydessä nouseminen on tapahtuma. Tails tulossa on eri tapahtuma.
  • Todennäköisyys ( P ): Se on numeerinen arvo, joka on annettu tapahtumalle ja joka ilmaisee varmuuden asteen, joka ihmisellä on sen tapahtumisesta. Yleissääntönä on, että mitä varmempi olet tapahtuman (esimerkiksi E 1 ) tapahtumisesta, sitä suuremman todennäköisyysarvon annat tapahtumalle.

sarjat

Näiden määritelmien lisäksi on hyvä muistaa myös joitain joukkoihin liittyviä operaatioita. Kahden joukon leikkauspiste saa aikaan uuden joukon molemmille yhteisillä elementeillä, se merkitään symbolilla ja lukee ”ja”. Toisaalta kahden joukon välinen liitto on uusi joukko, jossa on molempien kaikki yhteiset ja epäyhteiset elementit, sitä edustaa symboli ja se luetaan ”tai”.

Esimerkki:

  • Lauseke P(E 1 E 2 ) luetaan ”Todennäköisyys, että tapahtuma E 1 ja tapahtuma E 2 tapahtuvat samanaikaisesti”
  • Lauseke P(E 1E 2 ) luetaan ”Tapahtuman E 1 tai tapahtuman E 2 esiintymistodennäköisyys ” .

Todennäköisyyden aksiooma 1

Ensimmäinen todennäköisyysaksiooma sanoo, että kokeessa minkä tahansa tapahtuman todennäköisyyden (E) on oltava ei-negatiivinen reaaliluku. Tämä ilmaistaan ​​virallisesti seuraavasti:

ensimmäinen todennäköisyysaksiooma

Aksiooma 1 edustaa intuitiivista käsitystä siitä, että on turhaa puhua negatiivisesta todennäköisyydestä . Se myös määrittää nollatodennäköisyyden alarajaksi, joka on määritetty mahdottomalle tapahtumalle. Jälkimmäinen määritellään muodollisesti mille tahansa tulokseksi (tai tulosjoukoksi), joka ei sisälly kokeen näytetilaan.

Esimerkki:

Kun noppaa heitetään vain kerran, näyteavaruuden muodostaa vain joukko S={1, 2, 3, 4, 5, 6}. Ensimmäinen aksiooma väittää, että minkä tahansa tuloksen (esimerkiksi 4) saamisen todennäköisyyden on oltava nollaa suurempi luku ( P(4)>0 ). Toisaalta todennäköisyys, että tulos on 7, joka ei ole osa näyteavaruutta, on nolla ( P(7)=0 ).

Huomaa, että ensimmäinen aksiooma ei ilmoita mahdollisten tapahtumien todennäköisyyden suuruutta, eli se ei kerro, minkä todennäköisyyden täytyy olla, että noppaa heittämällä saadaan esimerkiksi 4. Se täsmentää vain, että sen on oltava joku positiivinen luku..

Todennäköisyyden aksiooma 2

Toinen todennäköisyysaksiooma sanoo, että jokaisessa kokeessa näyteavaruuden todennäköisyys on 1 tai muodollisesti:

toinen todennäköisyysaksiooma

Yksinkertainen tapa ymmärtää aksiooma 2 on se, että todennäköisyys sille, että jokin tulos, oli se mikä tahansa, saadaan kokeessa, on 1.

Esimerkki:

Kuten edellä mainittiin, kolikkoa heitettäessä on vain kaksi mahdollista lopputulosta: pää tai häntä, joten todennäköisyys, että se nousee päätä tai häntää, on Aksiooman 2 mukaan 1.

Jos ensimmäinen aksiooma asettaa todennäköisyyden alarajan nollaan, toinen aksiooma asettaa ylärajakseen 1. Tämä johtuu siitä, että näyteavaruus on tietty tapahtuma ja sen todennäköisyyden on siksi oltava suurin mahdollinen todennäköisyys.

Todennäköisyyden aksiooma 3

Jos tapahtumilla E 1 , E 2 , …, E n ei ole yhteisiä lopputuloksia (niiden leikkauspiste on tyhjä joukko), niiden sanotaan olevan toisensa poissulkevia, koska yhden esiintyminen sulkee pois toisen esiintymisen. Kolmas aksiooma väittää, että toisensa poissulkevien tapahtumien yhdistämistodennäköisyys on yhtä suuri kuin kunkin yksittäisen tapahtuman todennäköisyyksien summa . Toisin sanoen:

kolmas todennäköisyysaksiooma

Yksinkertaisimmassa tapauksessa, jossa on vain kaksi toisensa poissulkevaa tapahtumaa (kuten kolikonheiton tapauksessa), Aksiooma 3 on muotoiltu seuraavasti:

kolmas todennäköisyysaksiooma yksinkertaistettu

Tämä aksiooma muotoilee ajatuksen, että mitä enemmän mahdollisia tuloksia tapahtumalla on, sitä todennäköisempi se on. Tämä seuraa siitä tosiasiasta, että kahden toisensa poissulkevan tapahtuman liiton on määritelmän mukaan sisällettävä molempien tapahtumien kaikkien tulosten summa.

Aksioomien soveltaminen

Edellä mainittujen esimerkkien lisäksi kolmea aksioomaa voidaan käyttää hyödyllisten lauseiden rakentamiseen ja todistamiseen todennäköisyysteoriassa. Yksinkertainen esimerkki on määrittää minkä tahansa tapahtuman todennäköisyyksien ja sen komplementin välinen suhde.

Jos E on mikä tahansa tapahtuma, niin sen komplementti (jota edustaa E c ) määritellään tapahtumaksi, jossa tapahtuu jotain muuta paitsi E tai, mikä tulee samaan asiaan, että E ei tapahdu . Tällä määritelmällä on kaksi seurausta:

  • E ja E c ovat toisensa poissulkevia.
  • E :n ja Ec :n välinen liitto johtaa näyteavaruuteen S ( EE c = S ).

Koska ne ovat toisensa poissulkevia, kolmannen aksiooman perusteella , meillä on se

kolmannen todennäköisyysaksiooman soveltaminen

Mutta koska tämän liiton tuloksena on S , niin

kolmannen todennäköisyysaksiooman soveltaminen

Nyt, soveltamalla toista aksioomaa , tästä tulee

toisen todennäköisyysaksiooman soveltaminen

joka on järjestetty uudelleen muotoon

johtopäätös todennäköisyysaksioomien soveltamisesta

Lopuksi, koska tiedämme ensimmäisestä aksioomasta , että P(E c ) on ei-negatiivinen suure, päätämme, että minkä tahansa tapahtuman todennäköisyys on aina yhtä suuri kuin 1 miinus todennäköisyys, että tapahtumaa ei tapahdu, ja että millä tahansa kahdesta todennäköisyydestä on oltava arvo välillä [0, 1].

Lähteet

Devone, JL (1998). Probability and Statistics for Engineering and Sciences (4. painos). International Thomson Publishers.

-Mainos-

mm
Israel Parada (Licentiate,Professor ULA)
(Licenciado en Química) - AUTOR. Profesor universitario de Química. Divulgador científico.

Artículos relacionados