Mitkä ovat todelliset luvut?

Artículo revisado y aprobado por nuestro equipo editorial, siguiendo los criterios de redacción y edición de YuBrain.


Numeroilla on erilaisia ​​ominaisuuksia ja ne voidaan luokitella eri ryhmiin. Yksi näistä ryhmistä, jolla on laajat sovellukset matematiikan eri aloilla, ovat todelliset luvut. Ymmärtääksemme niitä paremmin, katsotaanpa ensin, mitä erityyppiset numerot ovat.

Numerot

Ensimmäinen asia, jonka opimme numeroista , on kuinka käyttää niitä laskemiseen; Aloitamme yhdistämällä ne sormillamme yksinkertaisten toimintojen suorittamiseksi. Siten kymmenen sormemme ovat desimaalijärjestelmän kanta. Sieltä laskemme niin suuria määriä kuin pystymme ja huomaamme, että luvut ovat äärettömiä. Ja niin, lisäämällä nolla (0), kun meillä ei ole mitään laskettavaa, muodostuu luonnolliset luvut.

Luonnollisilla luvuilla teemme aritmeettisia operaatioita ja kun vähennämme luvusta toisen luvun, meidän on esitettävä negatiiviset luvut. Joten lisäämällä negatiiviset luvut luonnollisiin, saadaan kokonaislukujen joukko.

Yksi aritmeettisista operaatioista, joita suoritamme numeroilla, on jako. Ja huomaamme, että on tapauksia, joissa jaettaessa yksi luku toisella, tulos ei ole kokonaisluku; Monissa tapauksissa tämä jakotulos voidaan esittää tarkasti vain itse jakolausekkeella, toisin sanoen murto-osalla. Näin muodostetaan rationaalilukujen joukko, jossa kaikki luvut kirjoitetaan murtolukuna ja kokonaislukujen nimittäjänä on luku 1.

Muinaiset sivilisaatiot havaitsivat, että oli lukuja, joita ei voitu esittää murtolukuina. Geometristen kuvioiden kanssa työskennellessään he löysivät luvun pi, ympyrän säteen ja pituuden välisen suhteen, luvun, jota ei voida ilmaista kahden kokonaisluvun osamääränä. Sama koskee myös luvun 2 neliöjuurta (eli itsellään kerrottu luku antaisi tuloksena luvun 2). Ja on monia lukuja, jotka nousevat esiin eri tiedonhaaroissa, jotka eivät ole osa rationaalisten lukujen joukkoa. Näitä lukuja, joita ei voida esittää tarkasti kahden kokonaisluvun osamääränä, kutsutaan irrationaalisiksi luvuiksi. Rationali- ja irrationaalilukujen joukko muodostaa siis reaalilukujen joukon.

Reaaliluvut ovat osa vielä suurempaa lukujoukkoa: kompleksilukuja. Tämä reaalilukujoukon laajennus syntyy, kun haluamme laskea negatiivisen luvun neliöjuuren; Koska kahden negatiivisen luvun tulo on aina positiivinen, ei ole olemassa reaalilukua, joka kerrottuna itsellään olisi negatiivinen. Sitten määritellään imaginaariluku i , joka edustaa -1:n neliöjuurta, ja syntyy kompleksilukujen joukko.

desimaaliesitys

Kaikki luvut voidaan ilmaista desimaalimuodossa; Esimerkiksi rationaaliluku 1/2 voidaan ilmaista desimaalimuodossa muodossa 0,5. Toisin kuin rationaaliluku 1/2, joka voidaan esittää täsmälleen yhdellä desimaalilla, muissa rationaalisissa luvuissa on ääretön määrä desimaalilukuja eivätkä neNe voidaan ilmaista tarkasti desimaalimuodossa. Tämä koskee lukua 1/3; Sen desimaaliesitys on 0,33333…, äärettömällä määrällä desimaalipaikkoja. Näitä rationaalilukuja kutsutaan jaksollisiksi desimaaliluvuiksi, koska kaikissa tapauksissa on olemassa lukusarja, joka toistetaan äärettömän monta kertaa. Numeron 1/3 tapauksessa tämä sarja on 3; luvun 1/7 tapauksessa sen desimaalimuoto on 0,1428571428571… ja loputtomasti toistuva sekvenssi on 142857. Irrationaaliset luvut eivät ole jaksollisia desimaalilukuja; ei ole sekvenssiä, joka toistuisi äärettömän monta kertaa desimaalimuodossaan.

Visuaalinen esitys

Reaaliluvut voidaan visualisoida liittämällä jokainen niistä yhteen äärettömän monista pisteistä suoraa pitkin, kuten kuvassa. Tässä graafisessa esityksessä on luku pi, jonka arvo on noin 3,1416, luku e , joka on noin 2,7183, ja luvun 2 neliöjuuri, noin 1,4142. Numerosta 0 oikealle positiiviset reaaliluvut sijaitsevat kasvavassa muodossa ja vasemmalla negatiiviset lisäävät itseisarvoaan siihen suuntaan.

Reaalilukujen visuaalinen esitys.
Reaalilukujen visuaalinen esitys.

Joitakin reaalilukujen ominaisuuksia

Reaaliluvut käyttäytyvät kokonaislukuina tai rationaalilukuina, jotka ovat meille tutumpia. Voimme lisätä, vähentää, kertoa ja jakaa ne samalla tavalla; Ainoa poikkeus on jako luvulla 0, mikä ei ole mahdollista. Yhteen- ja kertolaskujen järjestyksellä ei ole merkitystä, koska kommutatiivinen ominaisuus on edelleen voimassa ja distributiivinen ominaisuus pätee samalla tavalla. Samalla tavalla kaksi reaalilukua x ja y on järjestetty ainutlaatuisella tavalla, ja vain yksi seuraavista suhteista on oikea:

x = y , x < y tai x > y

Reaaliluvut ovat äärettömiä, aivan kuten kokonaisluvut ja rationaaliluvut. Periaatteessa tämä on ilmeistä, koska sekä kokonaisluvut että rationaaliset ovat reaalilukujen osajoukkoja. Mutta siinä on ero: kokonaislukujen ja rationaalilukujen tapauksessa sanotaan, että ne ovat laskettavasti äärettömiä lukuja; sen sijaan todelliset luvut ovat äärettömiä lukemattomia.

Joukon sanotaan olevan laskettava tai laskettava, kun jokainen sen komponenteista voidaan liittää luonnolliseen lukuun. Assosiaatio on ilmeinen kokonaislukujen tapauksessa; rationaalisten lukujen tapauksessa se voidaan nähdä assosiaationa luonnollisten lukujen, osoittajan ja nimittäjän parin kanssa. Mutta tämä assosiaatio ei ole mahdollinen reaalilukujen tapauksessa.

Lähteet

  • Arias Cabezas, Jose Maria, Maza Saez, Ildefonso. Aritmetiikka ja algebra . Julkaisussa Carmona Rodríguez, Manuel, Díaz Fernández, Francisco Javier, toim. Matematiikka 1. Bruño Editorial Group, Limited Company, Madrid, 2008.
  • Carlos Ivorra. Logiikka ja joukkoteoria . 2011.
-Mainos-

mm
Sergio Ribeiro Guevara (Ph.D.)
(Doctor en Ingeniería) - COLABORADOR. Divulgador científico. Ingeniero físico nuclear.

Artículos relacionados