Vapausasteet tilastoissa ja matematiikassa

Artículo revisado y aprobado por nuestro equipo editorial, siguiendo los criterios de redacción y edición de YuBrain.


Vapausasteiden käsite nousee usein esiin sekä matematiikassa että tilastotieteessä. Konsepti vaihtelee huomattavasti kyseessä olevasta alueesta riippuen.

Vapausasteiden intuitiivinen käsite

Intuitiivisesti vapausasteiden lukumäärä viittaa vapaiden valintojen määrään, jonka voimme tehdä tietyssä tilanteessa . Oletetaan esimerkiksi, että viiden hengen ryhmän on valittava viidestä eri hedelmästä. Ensimmäinen henkilö voi vapaasti valita minkä tahansa hedelmän. Seuraava, voit vapaasti valita jäljellä olevista neljästä hedelmästä ja niin edelleen. Saavuttuaan viimeisen henkilön, koska alussa oli vain 5 hedelmää, tämä henkilö pakotetaan valitsemaan viimeinen hedelmä, mikä tarkoittaa, että todellisuudessa viimeisellä henkilöllä ei ollut valinnanvapautta, kun taas muilla Joo.

Tässä tapauksessa sanomme, että vapausasteita oli neljä, koska neljän ensimmäisen hedelmän valinnan jälkeen viidennen henkilön hedelmä määritettiin automaattisesti.

On syytä huomata, että syy siihen, miksi viidellä ihmisellä ei ollut mahdollisuutta valita hedelmänsä vapaasti, johtuu siitä, että hedelmiä oli aluksi vain viisi. Jos olisimme kehottaneet viittä henkilöä valitsemaan hedelmät, joista he pitävät eniten, ilman että olisimme eritelleet mitään vaihtoehtoa, kaikilla viidellä henkilöllä olisi ollut valinnanvapaus. Tämä osoittaa, että se tosiasia, että hedelmiä oli vain viisi, oli rajoitus, joka vähensi valinnanvapausasteita.

vapausasteita matematiikassa

Matemaattisesti vapausasteet määritellään satunnaisvektorin toimialueen ulottuvuuksien lukumääränä . Tämä tarkoittaa, että ne ovat satunnaisvektorin komponenttien lukumäärä, joiden arvot meidän on määritettävä, jotta voimme tuntea vektorin kokonaan.

Ymmärtääksemme tätä käsitettä paremmin, analysoidaan sitä geometrisesta näkökulmasta. Voimme määritellä satunnaisvektorin sellaisena, joka muodostuu joukosta skalaarisia satunnaismuuttujia . Jokainen näistä satunnaismuuttujista edustaa yhtä vektorin komponenteista yhdessä ulottuvuudessa. Toisin sanoen tällaisten muuttujien tai komponenttien lukumäärä ( n ) määrittelee n-ulotteisen avaruuden, jossa satunnaisvektori voi liikkua vapaasti, joten sanotaan, että vektorilla on n vapausastetta.

Esimerkiksi, jos vektori koostuu yhdestä satunnaismuuttujasta, tämä vektori voi vaihdella vapaasti vain yhtä ulottuvuutta pitkin. Tämän seurauksena tietyn vektorin määrittelemiseksi tarvitsee vain valita kyseisen yksittäisen satunnaismuuttujan arvo, joten sanomme, että vapausaste on vain yksi.

Toisaalta, jos vektori muodostuu kahdesta komponentista, se voidaan esittää kaksiulotteisessa avaruudessa eli tasossa. Sanomme, että tämä vektori voi liikkua vapaasti kahta ulottuvuutta pitkin riippuen tietyistä arvoista, jotka nämä kaksi satunnaismuuttujaa olettavat, joten sanomme, että sillä on kaksi vapausastetta.

Sama päättely toimii satunnaisvektorille, jossa on 3, 4 tai useampia komponentteja.

Tyypillinen esimerkki tilastoissa usein käytetystä satunnaisvektorista on n-kokoinen näyte. Tässä tapauksessa jokainen näytteen n elementistä on satunnaismuuttuja, ja kaikki n arvot muodostavat näytettä vastaavan satunnaisvektorin. Joka kerta kun valitsemme uuden näytteen, voimme saada uuden vektorin, eikä mikään estä meitä valitsemasta vapaasti ja itsenäisesti jokaista otoksen muodostavaa dataa.

Vapausasteiden rajoitukset

Edellisissä kappaleissa selitetyn perusteella voidaan päätellä, että millä tahansa n-ulotteisella satunnaisvektorilla (eli n itsenäisen komponentin muodostamalla) on n vapausastetta, koska millä tahansa n:stä komponentista voi olla mikä tahansa arvo, ts. , mikään ei rajoita jokaisen n satunnaismuuttujan valintaa.

Jos muuttujat eivät kuitenkaan ole toisistaan ​​riippumattomia, vaan ne liittyvät johonkin matemaattiseen yhtälöön, niin vapausasteiden määrä pienenee, koska on muuttujia, joiden arvo on täysin määritetty, kun arvot on valittu tai määritelty. muut muuttujat.

Nämä vektorin muodostavien satunnaismuuttujien väliset suhteet ovat mitä tunnemme rajoituksina tai ehtoina, ja ne ovat matemaattinen vastine vapausasteiden intuitiivisen selityksen ehtolle ”on vain viisi hedelmää”.

Esimerkki:

Oletetaan, että meillä on satunnaisvektori, joka koostuu kolmesta satunnaismuuttujasta x , y ja z . Aluksi tällä järjestelmällä on kolme vapausastetta, koska meidän on valittava kolmen muuttujan arvot tietyn vektorin määrittämiseksi täysin.

Oletetaan nyt kuitenkin, että näiden muuttujien on jostain syystä täytettävä ehto, että niiden summa on yhtä suuri kuin 5. Tämä ehto rajoittaa jokaisen muuttujan tiettyjen arvojen valintaa, koska kun olemme valinneet vapaasti kaksi ensimmäistä ( x ja y , x y z tai y y z ) kolmas määräytyy yhtälöllä x + y + z = 5

Jos esimerkiksi valitaan x = 10 ja y = 5 , muuttuja z ei voi saada mitään arvoa, vaan sen täytyy olla arvoltaan –10, jotta se täyttää edellä mainitun ehdon.

Jos sisällytämme enemmän rajoituksia tai enemmän riippumattomia suhteita muuttujien välille, voimme edelleen vähentää vapausasteiden määrää jopa nollaan.

tilastojen vapausasteita

Kun matematiikan vapausasteita tarkastellaan selkeämmin, on paljon helpompi ymmärtää vapausasteita tilastoalalla, jossa niistä on eniten hyötyä.

Vapausasteita käytetään tilastojen laskemiseen sekä todennäköisyysjakaumien, kuten t -student- jakauman tai khin neliöjakauman, määrittelyyn.

Näissä yhteyksissä vapausasteet koostuvat niiden muuttujien lukumäärästä, jotka meidän on määritettävä jonkin tilastollisen muuttujan arvon määrittämiseksi, kuten otoksen keskiarvo, varianssi, otoksen keskihajonna jne.

Esimerkiksi laskettaessa otoksen keskiarvoa koon n otokselle meidän on tiedettävä kaikki näytteen n kohteen arvot. Keskiarvo lasketaan seuraavan lausekkeen avulla:

Mitä ovat vapausasteet

Kuitenkin, kun otoskeskiarvo, joka laskee perusjoukon keskiarvon, on laskettu, sitä voidaan käyttää muiden tilastomuuttujien, kuten otosvarianssin ja keskihajonnan, laskemiseen. Näissä tapauksissa, kun otetaan huomioon, että näytealkioiden keskiarvo ja yksittäiset arvot liittyvät toisiinsa edellisen yhtälön avulla, joka edustaa rajoitusta, on totta, että millä tahansa keskiarvosta lasketulla suurella on n-1 vapausastetta. :

Mitä ovat vapausasteet

Viitteet

De la Cruz-Oré, JL (2013). Mitä vapausasteet tarkoittavat? Peruvian Journal of Epidemiology , 17 (2), 1–6. https://www.redalyc.org/pdf/2031/203129458002.pdf

DeVore, J. (2002). Probability and Statistics for Engineering and Sciences (5. painos). Thomson International.

Vapauden asteet . (2012, 18. marraskuuta). Financial Encyclopedia. http://www.enciclopediafinanciera.com/definicion-grados-de-libertad.html

Minitab-blogieditori. (2019, 18. huhtikuuta). Mitä ovat tilastojen vapausasteet? Minitab blogi. https://blog.minitab.com/en/what-are-degrees-of-freedom-in-statistics

Pacheco, J. (2019, 15. lokakuuta). Tilastojen vapausasteet ( mitä ne ovat ja miten niitä sovelletaan ) | 2021 . Verkko ja yritykset. https://www.webyempresas.com/grados-de-libertad-en-estadistica/

-Mainos-

mm
Israel Parada (Licentiate,Professor ULA)
(Licenciado en Química) - AUTOR. Profesor universitario de Química. Divulgador científico.

Artículos relacionados