Mitkä ovat mahdolliset seuraukset kolmen noppaa heittämisestä samanaikaisesti?

Artículo revisado y aprobado por nuestro equipo editorial, siguiendo los criterios de redacción y edición de YuBrain.


Kolikoiden ja noppien heittäminen tai pallojen sokea poistaminen laatikosta ovat yksinkertaisimpia kokeita, joita voimme tehdä testataksemme ymmärrystämme erilaisista tilastoihin liittyvistä käsitteistä. Ne ovat helposti suoritettavia kokeita, joita kuka tahansa voi tehdä kotona, ne antavat selkeät ja yksiselitteiset tulokset ja ne voidaan helposti muuntaa numeerisiksi tiedoiksi.

Nopanheiton yhteydessä on myös selvä suhde onnenpelien välillä, mikä tekee tilastojen soveltamisesta konkreettisempaa jossain, joka on osa monien ihmisten jokapäiväistä elämää tai ainakin jossain, jossa lähes kaikki meistä on tavannut ainakin kerran elämässään.

Kolmen nopan heittäminen samanaikaisesti voi tuottaa erilaisia ​​tuloksia, joita voimme tulkita eri tavoin. Voimme olla kiinnostuneita yksittäisistä tuloksista itse, tai voimme olla kiinnostuneita summan arvosta tai nopan välissä olevien parillisten tai parittomien tulosten määrästä jne. Näistä kolmesta yleisintä on olla kiinnostunut kolmen nopan arvojen summan tuloksesta. Seuraavissa osissa tutkitaan, kuinka lasketaan kunkin summan esiintymistodennäköisyys heitettäessä kolmea noppaa samanaikaisesti.

Näytetila kolmen nopan heittämiseen

Yhden kuution nopan heittäminen on yksinkertainen kokeilu, jolla on vain kuusi mahdollista tulosta. Eli kyseessä on koe, jonka näyteavaruus muodostuu tuloksista S 1 annettu = {1; 2; 3; 4; 5; 6}.

Kun heitetään kahta noppaa samanaikaisesti, voidaan olettaa, että kummankin nopan tulos on toisistaan ​​riippumaton, joten kumpikin voi johtaa mihin tahansa kuudesta edellisestä tuloksesta. Tästä seuraa, että voidaan antaa 6 2 = 36 mahdollista tulosta , jotka vastaavat kaikkia mahdollisia yhdistelmiä yhden muotin 6 arvon ja toisen 6 arvon välillä.

Tässä tapauksessa meillä on näyteavaruus S 2 annettu = {11; 12; 13; 14; viisitoista; 16; kaksikymmentäyksi; 22; 23; 24; 25; 26; …; 61; 62; 63; 64; 65; 66}. Näistä 36 tuloksesta yksilöllisten yhdistelmien lukumäärä (järjestystä huomioimatta) voidaan laskea kombinatoriikassa toistolla, jossa otetaan ryhmät n = 2 (kaksi heitettä noppaa) m = 6 mahdollisella tuloksella. :

Mitkä ovat kolmen nopan heittämisen todennäköiset tulokset?

Nämä 21 tulosta vastaavat {11; 12; 13; 14; viisitoista; 16; 22; 23; 24; 25; 26; 33; 3. 4; 35; 36; 44; Neljä viisi; 46; 55; 56; 66}. Jokaisen tuloksen todennäköisyys vastaa 1/36 kerrottuna erilaisten permutaatioiden määrällä, jotka voidaan luoda kunkin luvun numeroilla (1, jos luku toistetaan, kuten 11, 22 jne., ja 2, jos numero ei toistu, koska meillä voi olla 12 tai 21, 13 tai 31 jne.)

Jos heitetään 3 noppaa, mahdollisten tulosten kokonaismäärä näytetilassa on 6 3 = 216. Nämä tulokset ovat S 3 noppaa = {111; 112; 113; 114; 115; 116; 121; …; 126; 131; …; 136; …; 166; 211; 212; …; 656; 666}. Tässä tapauksessa yksittäisen tuloksen todennäköisyyden on oltava 1/216.

Yksittäisten tulosten todennäköisyys heitettäessä kolmea noppaa

Nyt kun olemme määrittäneet hyvin kaikkien mahdollisten kolmen nopan heiton tulosten näyteavaruuden, katsotaanpa, kuinka lasketaan kunkin eri tulosten todennäköisyys, joka voidaan saada.

Jos heitetään kolme noppaa, koska tulosten järjestyksellä ei ole merkitystä, monet 216 tuloksesta itse asiassa toistuvat. Yksilöllisten tulosten kokonaismäärä voidaan laskea uudelleen kolmen ryhmän yhdistelmänä, joissa kussakin on 6 vaihtoehtoa ja joissa on mahdollisuus toistoon, eli:

Mitkä ovat kolmen nopan heittämisen todennäköiset tulokset?

Näistä 56 tuloksesta kolmesta yhtä suuresta luvusta koostuvat (kutsutaanko niitä AAA:ksi) esiintyy vain kerran. Toisaalta ne, joissa on kaksi identtistä lukua ja yksi erilainen (AAB), toistetaan kukin 3 kertaa (vastaten permutaatioita AAB, ABA ja BAA). Lopuksi ne, joilla on kolme erilaista hahmoa (ABC), näkyvät 3! = 6 kertaa (ABC, ACB, BAC, BCA, CAB ja CBA).

Näistä tiedoista ja mahdollisten tulosten kokonaismäärästä (216) voimme laskea kunkin tuloksen todennäköisyyden muodossa

Mitkä ovat kolmen nopan heittämisen todennäköiset tulokset?

Tuloksesta riippuen siinä on 1, 2 tai 3 erilaista hahmoa. 56 mahdollista tulosta ja niiden todennäköisyydet on esitetty seuraavassa taulukossa:

Tulos Todennäköisyys Tulos Todennäköisyys Tulos Todennäköisyys Tulos Todennäköisyys
111 1/216 136 1/36 235 1/36 346 1/36
112 1/72 144 1/72 236 1/36 355 1/72
113 1/72 145 1/36 244 1/72 356 1/36
114 1/72 146 1/36 245 1/36 366 1/72
115 1/72 155 1/72 246 1/36 444 1/216
116 1/72 156 1/36 255 1/72 445 1/72
122 1/72 166 1/72 256 1/36 446 1/72
123 1/36 222 1/216 266 1/72 455 1/72
124 1/36 223 1/72 333 1/216 456 1/36
125 1/36 224 1/72 334 1/72 466 1/72
126 1/36 225 1/72 335 1/72 555 1/216
133 1/72 226 1/72 336 1/72 556 1/72
134 1/36 233 1/72 344 1/72 566 1/72
135 1/36 2. 3. 4 1/36 3. 4. 5 1/36 666 1/216

Summan todennäköisyys heitettäessä kolme noppaa

Kuten aiemmin mainittiin, noppaa heittäessä tärkeämpi tulos kuin kunkin pään määrä on noppien summa. Kokeessa, jossa heitetään kolme noppaa ja saadaan summa, näytetila muodostuu kaikista mahdollisista summista kolmen luvun välillä 1-6.

Pienin arvo, joka tästä summasta voi saada, on arvo, joka saadaan, kun kolme noppaa laskeutuvat 1:lle, jolloin saadaan summa 1+1+1 = 3, kun taas suurin arvo vastaa 6+6+6 = 18, mahdollisuudella minkä tahansa välisumman saamisesta. Siksi tämän kokeen näytetila vastaa:

S = {3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; yksitoista; 12; 13; 14; viisitoista; 16; 17; 18}

kolmen nopan summa Yksilöllisten tulosten määrä Erityisen ainutlaatuisia tuloksia Mahdollisten tulosten kokonaismäärä
3 1 111 1
4 1 112 3
5 2 113; 122 6
6 3 114; 123; 222 10
7 4 115; 124; 133; 223 viisitoista
8 5 116; 125; 134; 224; 233 kaksikymmentäyksi
9 6 126; 135; 144; 225; 2. 3. 4; 333 25
10 6 136; 145; 226; 235; 244; 334 27
yksitoista 6 146; 155; 236; 245; 335; 344 27
12 6 156; 246; 255; 336; 3. 4. 5; 444 25
13 5 166; 256; 346; 355; 445 kaksikymmentäyksi
14 4 266; 356; 446; 455 viisitoista
viisitoista 3 366; 456; 555 10
16 2 466; 556 6
17 1 566 3
18 1 666 1

Taulukon viimeinen sarake näyttää kunkin summan antamien tulosten kokonaismäärän, mukaan lukien vastaavat tulokset (kunkin yksilöllisen yhdistelmän kaikista permutaatioista). Esimerkiksi summalla 15 nopan heiton tulee olla 366, 356 tai 555. Mutta on olemassa 3 permutaatiota 366 (366, 636 ja 663) ja 6 permutaatiota 356 (356, 365, 536, 563, 635 ja 653) ja yksi 555:stä, joten mahdollisten tulosten kokonaismäärä, joka vastaa 15, on 10.

Edellisen taulukon avulla voimme harjoitella kunkin summan todennäköisyyden laskemista kolmen nopan heitolle kahdella eri tavalla. Nämä on kuvattu yksityiskohtaisesti alla.

Strategia 1: Kunkin ainutlaatuisen tuloksen todennäköisyyden käyttäminen

Ensimmäinen strategia on lisätä kaikkien yksittäisten tulosten todennäköisyys, jonka kukin summa voi antaa. Tämä edellyttää kolmannen sarakkeen yksilöllisten tulosten ja kunkin edellä esitetyn tuloksen vastaavan todennäköisyyden käyttämistä.

Esimerkki

Oletetaan, että haluamme laskea todennäköisyyden, että kolmen nopan summa on 11 (eli P(11)). Tässä tapauksessa on 6 ainutlaatuista yhdistelmää (järjestyksestä riippumatta), joiden summa on 11. Nämä tulokset ovat (yllä olevan taulukon kolmannen sarakkeen mukaan): {146; 155; 236; 245; 335; 344}.

Kunkin tuloksen todennäköisyys määritetään kussakin tapauksessa mahdollisten permutaatioiden kokonaismäärän perusteella, kuten edellisessä osiossa selitettiin. Tässä tapauksessa:

Mitkä ovat kolmen nopan heittämisen todennäköiset tulokset?

Mitkä ovat kolmen nopan heittämisen todennäköiset tulokset?

Siksi todennäköisyys, että summan tulos on 11, on:

Mitkä ovat kolmen nopan heittämisen todennäköiset tulokset?

Mitkä ovat kolmen nopan heittämisen todennäköiset tulokset?

Vastaavasti, jos haluttaisiin todennäköisyys, että summa on 16, tulos olisi todennäköisyyksien 466 ja 556 summa, jotka molemmat ovat yhtä suuria kuin 1/72, joten todennäköisyys olisi:

Mitkä ovat kolmen nopan heittämisen todennäköiset tulokset?

Strategia 2: Käyttäen kutakin summaa vastaavien tulosten kokonaismäärää

Tässä tapauksessa käytetään yksinkertaisempaa polkua, kunhan on luettelo kaikista mahdollisista tuloksista kullekin summalle, mukaan lukien permutaatiot. Tällöin kunkin summan todennäköisyys on yksinkertaisesti summan tulosten kokonaismäärä jaettuna mahdollisten tulosten kokonaismäärällä (216).

Esimerkki

Jos summa = 11, mahdollisten tulosten kokonaismäärä, jotka antavat mainitun summan, on 27 (katso edellisen taulukon kolmas sarake), joten todennäköisyys, että summa 11 on:

Mitkä ovat kolmen nopan heittämisen todennäköiset tulokset?

Kuten näette, tulos on sama kuin ennen ja se on hyvin yksinkertaista, jos meillä on edellisen kaltainen pöytä jo rakennettu. Kuitenkin monimutkaisemmissa tapauksissa, joissa on enemmän mahdollisia tuloksia (kuten 4, 5 tai 4 nopan heittäminen), tämä strategia voi olla vähemmän kätevä ja edellinen käytännöllisempi.

Viitteet

Graffe, S. (2021, 21. syyskuuta). Millä todennäköisyydellä, kun heittää kolme noppaa, saat summan 7? Quora. https://en.quora.com/What%C3%A9-probabilidad-hay-que-al-lanzar-tres-dados-salga-una-sumatoria-de-7

Montagud Rubio, N. (2022, 17. maaliskuuta). Laskentatekniikat: tyypit, niiden käyttö ja esimerkit . Psykologia ja mieli. https://psicologiaymente.com/miscelanea/tecnicas-de-conteo

Päiväunet. (2017, 16. marraskuuta). Laskentatekniikat todennäköisyys- ja tilastotiedoissa . Naps Tekniikka ja koulutus. https://naps.com.mx/blog/tecnicas-de-conteo-en-probabilidad-y-estadistica/

Valdés Gómez, J. (2016, 23. marraskuuta). Yhdistelmät toiston kanssa . Youtube. https://www.youtube.com/watch?v=WqHZx64RW-Q

-Mainos-

mm
Israel Parada (Licentiate,Professor ULA)
(Licenciado en Química) - AUTOR. Profesor universitario de Química. Divulgador científico.

Artículos relacionados