Kahden populaatiosuhteen eron luottamusvälit

Luottamusväliä (CI) käytetään päättelytilastoissa työkaluna populaatioparametrin arvon arvioimiseen. Ne tarjoavat suuremman määrän tietoa parametrin todellisesta arvosta kuin pisteestimaattorit, koska ne edustavat rajallisen leveyden arvojen väliä, jonka sisällä meillä on tietty luottamus siihen, että parametrin todellinen arvo on. Jälkimmäinen on jotain, jota pisteestimaattorit eivät tarjoa.

Kahden populaation luottamusvälit

Kun olemme kiinnostuneita vertailemaan kahta eri populaatiota, olemme usein kiinnostuneita tietämään, onko jokin niistä suurempi, pienempi tai yhtä suuri kuin toisen vastaava parametri. Esimerkiksi kun vertaamme kahden sähkömoottorin suorituskykyä, saatamme olla kiinnostuneita määrittämään, onko moottorin A vääntömomentti suurempi kuin moottorin B. Tässä tapauksessa vertaamme kahta perusjoukon keskiarvoa.

Usein olemme kuitenkin kiinnostuneita vertailemaan, ei parametrin keskiarvoja, vaan sen väestön osuutta , joka täyttää tai ei täytä tietyn ehdon. Tässä tapauksessa halutaan muodostaa luottamusväli kahden populaatiosuhteen välisen eron arvon arvioimiseksi.

Päätelmät kahden populaatiosuhteen P ₁ -P _{2 erosta}

On monia erilaisia ​​tilanteita, joissa saatamme olla kiinnostuneita kahden väestöosuuden erosta. Kuten aiemmin mainitsimme, tämä ero antaa meille mahdollisuuden verrata vastaavia suhteita kahdessa eri populaatiossa. Alla on esimerkkejä tutkimusongelmista, jotka edellyttävät luottamusvälin määrittämistä kahden väestöosuuden väliselle erolle :

• Uutta lääkehoitoa koskevissa kliinisissä tutkimuksissa on erityisen tärkeää verrata niiden henkilöiden osuutta, joiden terveydentila on parantunut hoitoa saaneesta väestöstä, samaan osuuteen vain lumelääkettä saaneiden henkilöiden ryhmässä.
• Kun haluamme verrata naisten ja miesten osuutta, jotka ovat samaa mieltä tai eri mieltä tietystä hallituksen toimenpiteestä.
• Liiketoiminnassa olemme usein kiinnostuneita kahden eri tuotantolinjan valmistusprosessin laadun vertailusta. Tässä tapauksessa voidaan verrata molemmilla tuotantolinjoilla tietyn ajanjakson aikana tuottamien viallisten tai vaatimustenvastaisten tuotteiden suhteita.
• Mikrobiologian alalla saatamme olla kiinnostuneita vertailemaan eri kemiallisilla desinfiointiaineilla käsiteltyjen bakteeripesäkkeiden osuutta.
• Markkinoijat tekevät usein A/B-testejä määrittääkseen, mikä verkkosivun sisältö on tehokkainta muuttamaan mahdolliset asiakkaat ostajiksi. Tätä varten puolet verkkosivustoa käyttävistä ihmisistä näyttää sisältöä (A) ja toiselle puolelle vaihtoehtoista sisältöä (B), jotta voidaan sitten verrata ehdotetun tuotteen tai palvelun ostaneiden kävijöiden osuutta.

_{P 1} ja P ₂ vertailusta eroon P ₁ – P ₂

On monia muita esimerkkejä tilanteista, joissa saatamme olla kiinnostuneita vertaamaan kahden eri populaation suhteita. Tämä vertailu voidaan tehdä eri tavoin. Saatamme esimerkiksi haluta tietää, jos:

• Molemmat suhteet ovat yhtä suuret (P ₁ = P ₂ )
• Osuus 1 on suurempi kuin osuus 2 (P ₁ > P ₂ )
• Osuus 1 on pienempi kuin osuus 2 (P ₁ < P ₂ )

Kaikissa näissä tapauksissa nämä lausunnot voidaan kirjoittaa uudelleen suhteiden välisen eron suhteen:

• Jos olemme kiinnostuneita saamaan selville, onko P ₁ = P ₂ , tämä vastaa sen määrittämistä, onko P ₁ – P ₂ = 0
• Jos haluamme selvittää, onko P ₁ > P ₂ , tämä vastaa sen määrittämistä, onko P ₁ – P ₂ > 0
• Jos haluamme selvittää, onko P ₁ < P ₂ , tämä vastaa määrittämistä, jos P ₁ – P ₂ < 0

Siksi mikä tahansa väestöosuuksien vertailu voidaan ratkaista etsimällä luottamusväli väestöosuuksien väliselle erolle ja suorittamalla sitten asianmukainen analyysi tuloksesta.

Mutta miten nämä luottamusvälit määritetään?

Tämä saavutetaan analysoimalla otoksia kustakin populaatiosta ja käyttämällä päättelytilastojen työkaluja. Tämä menettely riippuu siitä, työskentelemmekö suurten vai pienten näytteiden kanssa.

Luottamusväli Arvio kahden populaation osuuden erosta suurista otoksista (n ≥ 30)

Populaatioosuuksien eron luottamusväli voidaan ratkaista populaation binomiaalisen osuuden luottamusvälin jatkeena. Kun kyseessä ovat binomiaaliset suhteet (eli kokeen tai havainnon tulos on onnistunut tai epäonnistunut ja P edustaa onnistumisen todennäköisyyttä), osuuden jakauma suuressa otoksessa ( p ) noudattaa suunnilleen normaalijakaumaa keskiarvolla . P (populaatioosuus) ja varianssi P(1 – P)/n, kunhan onnistumisen todennäköisyys ei ole liian suuri tai liian pieni (eli ei liian lähellä 1:tä tai 0:aa).

_{Kahden populaatiosuhteen P 1} – P ₂ välisen eron tapauksessa voidaan määrittää luottamusvälin rajat kahdesta riippumattomasta otoksesta suhteilla p ₁ ja p ₂ . Jos nämä näytteet täyttävät samat ehdot kuin edellä (näytteet n ₁ ja n ₂ ovat suuria ja suhteet p ₁ ja p ₂ kaukana 1:stä ja 0:sta) ja noudattavat siksi normaalijakaumia, ero seuraa myös normaalijakaumaa, jonka keskiarvo on P ₁ – P ₂ ja varianssi p ₁ (1 – p ₁ )/n ₁ + p ₂(1 – p ₂ )/n ₂ .

Kun otetaan huomioon nämä tulokset, suurista näytteistä saadun kahden populaation osuuden eron luottamusväli, jonka luottamustaso on 100(1 – α)%, jossa α edustaa merkitsevyystasoa, saadaan seuraavasti:

Yllä olevassa kaavassa Z _α/2 vastaa Z:n arvoa normaalissa normaalijakaumassa, joka jättää alueen α/2 sen oikealle puolelle.

Kahden populaation osuuden eron luotettavuusväli pienistä otoksista (n < 30)

Jos jompikumpi otoskoko on alle 30 tai jos jompikumpi osuus on hyvin lähellä 0:ta tai 1:tä, jakaumanne ei voi likimääräistä normaalijakaumaa riittävästi. Tässä tapauksessa näiden kahden osuuden ero ei myöskään seuraa normaalijakaumaa, minkä vuoksi yllä oleva luottamusvälin kaava ei päde.

Päätelmä väestöosuuksien eroista pienten otosten perusteella on huomattavan monimutkainen, eikä se kuulu tämän artikkelin soveltamisalaan.

Kahden populaatiosuhteen eron luottamusvälin tulkinta

Kun kahden populaatiosuhteen eron luottamusväli on laskettu, saatu tulos on tulkittava. Voidaan antaa kolme eri tavalla tulkittua tulosta.

Tarkastellaan mitä tahansa tapausta, jossa luottamusväli saadaan luotettavuustasolla 100(1 – α)% tai yksinkertaisesti merkitsevyystasolla α, jonka ala- ja ylärajat ovat vastaavasti LI ja LS. Tarkoittaen:

Saatujen rajojen merkistä riippuen voimme tehdä erilaisia ​​johtopäätöksiä molempien väestöosuuksien erosta:

• Jos sekä ala- että yläraja ovat negatiivisia, voimme sanoa 100(1 – α)%:n luottamustasolla, että osuus väestöstä 2 on suurempi kuin vastaava osuus väestöstä 1. Eli voimme sanoa. että P1 _< P2 _tai että _P2 > _P1 .
• Jos alaraja on negatiivinen ja yläraja on positiivinen, ja siksi luottamusväli sisältää nollan, voimme sanoa 100(1 – α)%:n luottamustasolla, että näiden kahden väestöosuuden välillä ei ole eroa. . Toisin sanoen päätellään, että _P1 = _P2 .
• Lopuksi, jos sekä ala- että yläraja ovat positiivisia, voimme sanoa 100(1 – α)%:n luottamustasolla, että populaation 1 osuus on suurempi kuin vastaava väestön 2 osuus. P ₁ > P ₂ .

Esimerkki luottamusvälin laskemisesta kahdelle populaatiosuhteelle

lausunto

Oletetaan, että kysely tehtiin 250 meksikolaisen insinööriopiskelijan satunnaisotoksella selvittääkseen, mikä osa heistä hallitsee luottamusvälien käsitteen. Kyselyn tulokset osoittivat, että 64,8 % heistä ei hallitse sitä, kun taas loput hallitsevat sitä. Toisaalta sama kysely tehtiin 180 espanjalaisen insinööriopiskelijan otokselle, johon 54 opiskelijaa vastasi hallitsevansa luottamusvälien käsitteen.

Onko eroa niiden espanjalaisten ja meksikolaisten opiskelijoiden osuuksissa, jotka hallitsevat luottamusvälien käsitteen merkitsevyystasolla 0,05?

Ratkaisu

Kuten kysymyksestä nähdään, haluamme määrittää, onko kahden eri populaation suhteissa eroa vai ei. Kiinnostuksen osuus muodostuu niiden opiskelijoiden osuudesta, jotka hallitsevat luottamusvälien käsitteen, joten tässä tapauksessa myöntävä vastaus kyselyyn edustaa menestystä binomikokeen näkökulmasta.

Meksikon opiskelijoiden populaatiossa otos oli 250 opiskelijaa, ja heidän mukaansa opiskelijoiden osuus, jotka eivät hallitse kyseistä ainetta, on 64,8 %. Mutta tämä ei ole se osuus, jonka haluamme, koska aiheen hallitsematta jättäminen on epäonnistumista. Siksi tämä suhde vastaa komplementtia q . Tämän huomioon ottaen onnistuneiden osuus, p, meksikolaisten opiskelijoiden otoksessa on:

Toisaalta espanjalaisten opiskelijoiden otoksessa meillä on onnistuneiden lukumäärä ja otoksen kokonaiskoko, joten onnistuneiden osuus on:

Nämä tulokset on koottu seuraavassa taulukossa.

Kuten näemme, molemmat otoskoot ovat huomattavasti suurempia kuin 30, joten niitä pidetään suurina näytteinä. Lisäksi Meksikon opiskelijoiden ja espanjalaisten opiskelijoiden osuus ei ole merkittävästi lähellä 0:ta tai 1:tä. Lopuksi, vaikka väite ei täsmennä sitä, voidaan olettaa, että molemmat otokset ovat toisistaan ​​riippumattomia.

Näissä olosuhteissa voidaan sanoa, että sekä molempien populaatioiden otososuudet että ero otossuhteissa noudattavat normaalijakaumaa. Siksi voimme käyttää edellistä yhtälöä määrittämään luottamusvälin, joka on:

Huomaa, että luottamusvälin määrittämiseksi tarvitsemme Z:n arvon puolelle annetusta merkitsevyystasosta, joka tässä tapauksessa on α = 0,05. Toisin sanoen meidän on löydettävä Z _α/2 = Z _0,05/2 = Z _0,025 . Tämä arvo löytyy tavallisesta normaalijakaumataulukosta, mobiilitilastosovelluksesta tai laskentataulukosta, kuten Excel for Windows tai Numbers for MacOS.

Tässä tapauksessa Z _0,025 = 1,959964. Joten luottamusväli on:

Kuten näemme, tällä tavalla laskettu luottamusväli sisältää nollan, minkä vuoksi päätellään 95 %:n luottamustasolla, ettei välikäsitteen hallitsevien meksikolaisten ja espanjalaisten opiskelijoiden osuuksissa ole merkittävää eroa. luotettu.

Viitteet

Cetinkaya-Rundel, M. (2012, 13. maaliskuuta). Luento 14: Suuren ja pienen otoksen päättely mittasuhteille . Tilastotieteen laitos Duken yliopistossa. https://www2.stat.duke.edu/courses/Spring12/sta101.1/lec/lec14S.pdf

del Rio, AQ (2019, 1. syyskuuta). 7.8 Suhteellisen eron luottamusväli. | Makeutetut perustilastot . Varaa alas. https://bookdown.org/aquintela/EBE/ luottamus-interval-for-the-difference-of-proportions-.html

Holmes, A., Illowsky, B. ja Dean, S. (2017, 29. marraskuuta). 10.4 Kahden itsenäisen väestöosuuden vertaaminen – Johdanto yritystilastot . OpenStax. https://openstax.org/books/introductory-business-statistics/pages/10-4-comparing-two-independent-population-proportions

Icedo Félix, M. (2020, 7. toukokuuta). RPubs – kahden populaatiosuhteen eron luottamusvälit . RPubs. https://rpubs.com/Melanie_Icedo/Asignacion-6_Intervalo-confianza-proportion-poblacional

Statologit. (nd). Suhteiden eron luottamusväli . https://statologos.com/diferencia-de-intervalo-de-fianza-en-proportiones/