Tabla de Contenidos
On monia tilanteita, joissa olemme kiinnostuneita löytämään todennäköisyyden, että kaksi tapahtumaa tapahtuu samanaikaisesti. Jotkut niistä ovat:
- Laske todennäköisyys heittää tuplakuutta, kun heitetään kahta noppaa samanaikaisesti tai peräkkäin.
- Laske todennäköisyys, että ryhmästä satunnaisesti valittu henkilö on sekä nainen että tummaihoinen.
- Todennäköisyys valita vastakkaista sukupuolta oleva oppilaspari koulun osastosta.
- Todennäköisyys, että kaksi redundanttia ohjausjärjestelmää epäonnistuu samanaikaisesti avaruusraketin laukaisussa.
Tämä ongelmaluokka voidaan ratkaista yleisellä todennäköisyyksien kertolaskusäännöllä. Tämä sääntö määrittää, että kahdelle tapahtumalle A ja B todennäköisyys, että ne tapahtuvat samanaikaisesti, eli leikkauksen todennäköisyys, saadaan kaavalla:
Tässä yhtälössä P(A|B) on ehdollinen todennäköisyys, että tapahtuma A tapahtuu B:n kohdalla. Yllä oleva on yleinen kertolaskosääntö ja pätee kaikkiin tapahtumapareihin. Joissakin tapauksissa ehdollinen todennäköisyys on tuntematon tai vaikea määrittää; kuitenkin riippumattomien tapahtumien tapauksessa tätä todennäköisyyttä yksinkertaistetaan niin, että riippumattomille tapahtumille syntyy kertolasääntö.
Kertolasääntö itsenäisille tapahtumille
Mitä ovat itsenäiset tapahtumat?
Kaksi tapahtumaa A ja B ovat toisistaan riippumattomia, jos toisen tapahtuminen ei vaikuta toisen toteutumisen todennäköisyyteen. Matemaattisesti tämä tarkoittaa, että jommankumman tapahtuman ehdollinen todennäköisyys, kun tiedämme toisen tapahtuneen, on yhtä suuri kuin ensimmäisen tapahtuman yksinkertainen todennäköisyys. Toisin sanoen kaksi tapahtumaa ovat riippumattomia vain, jos:
Yllä olevan tulkinta on, että A:n todennäköisyys, kun B on tapahtunut, on yhtä suuri kuin A:n esiintyminen. Tämä tarkoittaa, että B:n esiintyminen ei vaikuttanut A:n esiintymistodennäköisyyteen, joten molemmat tapahtumat tapahtuvat itsenäisesti tapa.
Mikä tahansa tapahtumapari, joka ei täytä yllä olevaa ehtoa, on riippuvainen tapahtuma.
Miten kertolasääntö vaikuttaa tässä tapauksessa?
Kuten näemme, riippumattomuusehdon ensimmäistä lauseketta voidaan käyttää yleisen kertolaskusäännön yksinkertaistamiseen, koska ensimmäinen tekijä voidaan korvata yksinkertaisella A:n todennäköisyydellä, jolloin saadaan seuraava lauseke:
Yllä oleva lauseke tunnetaan riippumattomien tapahtumien todennäköisyyksien kertolaskusäännönä . Se tarkoittaa, että jos tiedämme, että kaksi tapahtumaa ovat toisistaan riippumattomia ja tiedämme niiden esiintymistodennäköisyydet, niin voimme löytää todennäköisyyden, että ne molemmat tapahtuvat samanaikaisesti yksinkertaisesti kertomalla nämä todennäköisyydet.
Esimerkkejä itsenäisistä tapahtumista
Tietojen puute voi vaikeuttaa kahden tapahtuman riippumattomuuden tunnistamista. Voisimme esimerkiksi ajatella, että ruskeilla hiuksilla ei ole mitään tekemistä rintasyövän esiintymisen kanssa, mutta ihmiskehon fysiologia on niin monimutkainen, ettei kukaan lääkäri uskaltaisi sanoa sitä.
On kuitenkin olemassa monia yksinkertaisia kokeita, joissa voimme helposti tunnistaa, ovatko kaksi tapahtumaa riippumattomia vai eivät.
- Heitä kaksi noppaa samanaikaisesti. Kun heitetään kahta noppaa, toisen tulos ei vaikuta millään tavalla tulokseen, joka saattaa näkyä toisella, joten tapahtuma, että yksi noppaa osuu tiettyyn numeroon, on riippumaton siitä, että toinen noppa osuu toiseen numeroon. sama, jopa.
- Saman meistin heittämisen tulokset kahdesti peräkkäin ovat myös toisistaan riippumattomia samoista syistä.
- Heitä kolikko kahdesti. Se, että se osuu päätä tai häntää ensimmäistä kertaa, ei vaikuta seuraavan heiton lopputulokseen.
- Jääkaappitehtaassa, jossa on kaksi erillistä tuotantolinjaa erillisiä raaka-aineita ja työvoimaa käyttäville komponenteille, on hyväksyttävää olettaa, että todennäköisyys, että toinen komponenteista epäonnistuu, on riippumaton todennäköisyydestä, että toinen vikaantuu.
- Kortin tai pakan satunnainen nostaminen pakasta, sen vaihtaminen ja sitten toisen kortin satunnainen nostaminen pakkasta ovat erillisiä tapahtumia, koska alkuperäisen kortin vaihtaminen pakassa nollaa mahdollisuudet nostaa mikä tahansa alkuperäisistä korteista.
Esimerkkejä tapahtumista, jotka eivät ole riippumattomia
- Kortin tai pakan satunnainen vetäminen pakasta ja sitten toisen kortin vetäminen samasta pakasta korvaamatta ensimmäistä eivät ole itsenäisiä tapahtumia, koska ensimmäisen vetäminen vähentää pakassa olevien korttien kokonaismäärää, mikä vaikuttaa minkä tahansa kortin todennäköisyyteen. toinen kortti tulossa. Lisäksi, jos emme vaihda ensimmäistä korttia, todennäköisyys, että kortti tulee ulos toisella kerralla, on nolla.
- Käynnissä olevassa autossa auton moottorin ylikuumenemisen todennäköisyys ja todennäköisyys, että moottoria jäähdyttävä vesipumppu pettää, eivät ole itsenäisiä tapahtumia, koska jos vesipumppu epäonnistuu, se on paljon todennäköisempää. moottori ylikuumenee.
- Vielä helpommin ymmärrettävä esimerkki on, että hyvien arvosanojen saaminen tilastoissa ei ole riippumatonta opiskelusta , sillä jos opiskelemme, saamme todennäköisemmin hyviä arvosanoja.
Esimerkkejä todennäköisyyslaskelmista riippumattomien tapahtumien kertolaskusäännöllä
Esimerkki 1: kolikon heittäminen kahdesti
Oletetaan, että haluamme laskea todennäköisyyden, että kun heitetään kolikkoa kahdesti, tuloksena on päitä molemmilla heitoilla.
Jos kutsumme tapahtumaa A:ksi tapahtumaksi, jossa ensimmäinen heitto osuu päähän ja B:ksi tapahtumaksi, jossa toinen heitto osuu, niin todennäköisyys, joka meitä pyydetään laskemaan, on A:n ja B:n leikkaustodennäköisyys, koska haluamme, että molemmat tapahtumat tapahtuvat. . Eli tuntematon on P(A∩B).
Koska kullakin heitolla on vain kaksi mahdollista lopputulosta, kummankin tapahtuman todennäköisyys on sama:
Nyt, koska tiedämme, että tapahtumat ovat riippumattomia, voimme käyttää kertolasääntöä määrittääksesi leikkaustodennäköisyyden:
Esimerkki 2: Kahden nopan heittäminen
Lasketaan todennäköisyys, että kun heitetään kahta yhteistä kuusisivuista noppaa, toinen niistä osuu ykköselle ja toinen parilliseen numeroon.
Kutsutaan seuraavia tapahtumia A ja B:
A = yksi nopista laskeutuu 1:lle.
B = yksi nopista osuu parilliseen numeroon.
Haluamme laskea jälleen P(A∩B).
Koska kunkin nostan tulos on riippumaton numerosta, joka johtaa toiseen, voimme laskea P(A∩B) riippumattomien tapahtumien kertolaskusäännön avulla. Mutta ensin tarvitsemme A:n ja B:n todennäköisyydet.
Nopassa on 6 pintaa numeroilla 1-6, jotka eivät toistu. Siksi on vain yksi 1 ja parillisia lukuja on kolme, nimittäin 2, 4 ja 6. Siksi erillisten tapahtumien todennäköisyydet ovat:
Näitä todennäköisyyksiä ja kertolaskua käyttämällä saadaan haluttu todennäköisyys:
Esimerkki 3: Vioittuvat osat
Tietokonelaitteita valmistava tehdas käyttää muun muassa kahta erilaista sirua tai integroitua piiriä kahdelta eri valmistajalta. Ensimmäisen sirun valmistajan mukaan sen epäonnistumisen todennäköisyys normaaleissa käyttöolosuhteissa on 0,00133. Toinen valmistaja puolestaan ylpeilee, että vain kaksi sen sirua epäonnistuu jokaista 5 000 asennettua yksikköä kohti. Tehtaan omistaja haluaa selvittää todennäköisyyden, että molemmat komponentit vioittuvat samanaikaisesti. Kunkin sirumerkin epäonnistumista voidaan pitää toisistaan riippumattomana.
Tässä tapauksessa lause itse määrittää, että nämä kaksi tapahtumaa ovat riippumattomia, joten voimme käyttää yllä olevaa kertolaskua. Lisäksi annetaan myös ensimmäisen sirun vian todennäköisyys, jota kutsumme tapahtumaksi A. Toisen sirun epäonnistumisen todennäköisyys (tapahtuma B) voidaan laskea valmistajan antamista tiedoista:
Joten todennäköisyys, että molemmat komponentit epäonnistuvat samanaikaisesti, on:
Viitteet
Ehdollinen todennäköisyys ja riippumattomuus . (nd). Floridan yliopiston terveys. https://bolt.mph.ufl.edu/6050-6052/unit-3/module-7/
Devore, JL (1998). TODENNÄKÖISTEN JA TIETEIDEN TODENNÄKÖISYYS JA TILASTOTIEDOT . International Thomson Publishers, SA
Frost, J. (2021, 10. toukokuuta). Todennäköisyyksien laskemisen kertolasääntö . Tilastot kirjoittanut Jim. https://statisticsbyjim.com/probability/multiplication-rule-calculating-probabilities/
Kertolasääntö, ratkaistut tehtävät . (2021, 1. tammikuuta). MateMobile. https://matemovil.com/regla-de-la-multiplicacion-o-producto-de-probabilidades/
Todennäköisyyskertolasääntö . (nd). Yliopiston opettajat. https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/multiplication-rule-of-probability
Kertolasääntö (todennäköisyys) [Esimerkkejä] . (nd). Fhybea. https://www.fhybea.com/multiplication-rule.html
Yleinen kertolasääntö . (nd). Khan Akatemia. https://www.khanacademy.org/math/ap-statistics/probability-ap/probability-multiplication-rule/a/general-multiplication-rule