Τι συμβαίνει όταν η τυπική απόκλιση είναι ίση με μηδέν;

Artículo revisado y aprobado por nuestro equipo editorial, siguiendo los criterios de redacción y edición de YuBrain.


Η τυπική απόκλιση ενός συνόλου δεδομένων ή ενός δείγματος από έναν συγκεκριμένο πληθυσμό είναι μια περιγραφική στατιστική παράμετρος που μετρά την εξάπλωση των τιμών σε αυτό το σύνολο. Εάν υπολογιστεί ο μέσος όρος ενός συνόλου τιμών, η τυπική απόκλιση αξιολογεί τη διαφορά των τιμών στο σύνολο από τον μέσο όρο.

Η τυπική απόκλιση είναι ένας μη αρνητικός πραγματικός αριθμός. Δεδομένου ότι το μηδέν είναι ένας μη αρνητικός πραγματικός αριθμός, αξίζει να ρωτήσουμε πότε η τυπική απόκλιση θα είναι ίση με μηδέν και τι σημαίνει. Αυτό συμβαίνει μόνο σε μια πολύ συγκεκριμένη περίπτωση, δηλαδή όταν όλες οι τιμές στο σύνολο δεδομένων είναι ακριβώς οι ίδιες.

τυπική απόκλιση

Όταν έχετε ένα σύνολο δεδομένων, είτε πρόκειται για δείγμα από έναν συγκεκριμένο πληθυσμό είτε για ένα σύνολο τιμών που παράγονται από ένα συγκεκριμένο σύστημα, προκύπτουν αμέσως δύο ερωτήματα: με ποια καθορισμένη τιμή μπορούμε να συσχετίσουμε το σύνολο δεδομένων που έχουμε και ποια είναι η διασπορά του συνόλου δεδομένων; σύνολο δεδομένων που αναλύουμε.

Στη λεγόμενη περιγραφική στατιστική υπάρχουν διαφορετικές παράμετροι που επιδιώκουν να απαντήσουν σε αυτά τα δύο ερωτήματα. Για να αξιολογήσουμε την τιμή στην οποία μπορούμε να συσχετίσουμε το σύνολο δεδομένων, μπορούμε να υπολογίσουμε τον μέσο όρο ή τον αριθμητικό μέσο όρο, τον γεωμετρικό μέσο όρο, τον αρμονικό μέσο όρο, τον τρόπο λειτουργίας, το μέσο εύρος ή τη διάμεσο. Σε αυτήν την περίπτωση θα χρησιμοποιήσουμε τον μέσο όρο ή τον αριθμητικό μέσο όρο: ο μέσος όρος ενός συνόλου n τιμών είναι το άθροισμα όλων αυτών διαιρούμενο με τον αριθμό των τιμών n .

Η εξάπλωση των τιμών σε ένα σύνολο μπορεί να εκτιμηθεί με τον υπολογισμό της τυπικής απόκλισης, του εύρους ή του διατεταρτημορίου. Το παρακάτω σχήμα δείχνει τον γενικό τύπο που χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό της τυπικής απόκλισης σ . Εκφράζεται με λέξεις: αφαιρούμε από κάθε τιμή του συνόλου που αναλύουμε, που σημειώνουμε με τον δείκτη i , τον μέσο όρο όλων των τιμών. τετραγωνίζουμε καθεμία από αυτές τις διαφορές και τις προσθέτουμε. Διαιρούμε το αποτέλεσμα με τον αριθμό των τιμών στο σύνολο μείον 1 και υπολογίζουμε την τετραγωνική ρίζα αυτής της τιμής.

Τυπική απόκλιση σ δείγματος.
Τυπική απόκλιση σ δείγματος.

Η τυπική απόκλιση έχει δύο διαφορετικούς ορισμούς, ανάλογα με τον τύπο των δεδομένων που αναλύουμε. Αυτή η διαφορά συνεπάγεται έναν ελαφρώς διαφορετικό υπολογισμό. Η τυπική απόκλιση μπορεί να υπολογιστεί σε έναν πληθυσμό ή σε ένα δείγμα.

Εάν συλλέγονται δεδομένα από όλα τα μέλη ενός πληθυσμού ή ενός συνόλου, πρέπει να χρησιμοποιείται η τυπική απόκλιση ενός πληθυσμού. Εάν αναλύετε δεδομένα που αντιπροσωπεύουν δείγμα από μεγαλύτερο πληθυσμό, πρέπει να χρησιμοποιήσετε την τυπική απόκλιση ενός δείγματος. Η διαφορά στον υπολογισμό είναι ότι στην περίπτωση της τυπικής απόκλισης ενός δείγματος, η διαφορά μεταξύ κάθε τιμής και του τετραγωνικού μέσου όρου διαιρείται με τον αριθμό των τιμών μείον 1 (n – 1), όπως φαίνεται στο σχήμα . Για την τυπική απόκλιση ενός πληθυσμού, διαιρέστε με n .

Η τυπική απόκλιση ισούται με μηδέν.

Η τυπική απόκλιση σ που υπολογίζεται με αυτόν τον τρόπο αξιολογεί την εξάπλωση των τιμών στο σύνολο: όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή της, τόσο μεγαλύτερη είναι η διαφορά. Το Y είναι πάντα ένας θετικός αριθμός, αφού είναι το άθροισμα των τετραγωνικών τιμών που, επομένως, θα είναι όλα θετικά. Έτσι, διαισθητικά, εάν η τιμή της τυπικής απόκλισης είναι μηδέν, το spread θα πρέπει να είναι μηδέν. Και αυτό συμβαίνει όταν όλες οι τιμές στο σύνολο συμπίπτουν: δεν υπάρχει διασπορά.

Με τη σειρά του, εάν όλες οι τιμές στο σετ ταιριάζουν, ο μέσος όρος ταιριάζει επίσης με αυτήν την τιμή. Σύμφωνα με τον προηγούμενο ορισμό του μέσου όρου, εάν οι n τιμές του συνόλου είναι ίσες, το άθροισμα των n τιμών μεταφράζεται σε πολλαπλασιασμό αυτής της τιμής επί n . όταν το διαιρούμε με το n για τον υπολογισμό του μέσου όρου, εξαλείφονται και οι δύο τιμές του n και τότε έχουμε ότι ο μέσος όρος είναι ίσος με τη μοναδική τιμή του συνόλου. Αναπτύσσοντας αυτήν την περιγραφή σε μια εξίσωση, εάν υπάρχουν n ίσες τιμές, εκφρασμένες ως x , ο μέσος όρος υπολογίζεται ως

( x + x + x + x + x +…+ x )/ n = nx / n = x

Ας δούμε τι συμβαίνει με τον υπολογισμό της τυπικής απόκλισης με τον τύπο που περιγράφηκε προηγουμένως. Σε αυτόν τον τύπο, κάθε τιμή x i είναι ίση με x και με τη σειρά της είναι ίση με τον μέσο όρο. Επομένως, όταν ο μέσος όρος αφαιρεθεί από κάθε τιμή x i , το αποτέλεσμα είναι μηδέν. Έχοντας ένα άθροισμα με όλες τις προσθήκες του ίσο με μηδέν, το αποτέλεσμα θα είναι επίσης μηδέν. Και τότε το τελικό αποτέλεσμα της τυπικής απόκλισης θα είναι μηδέν.

Είδαμε ήδη τότε ότι όταν όλες οι τιμές σε ένα σύνολο είναι ίσες, ο μέσος όρος είναι ίσος με αυτήν την τιμή και η τυπική απόκλιση είναι μηδέν. Εξετάστε την αντίστροφη κατάσταση: η τυπική απόκλιση είναι μηδέν μόνο εάν όλες οι τιμές στο σύνολο είναι ίσες;

Για να το ελέγξουμε αυτό, ας δούμε τι θα συμβεί εάν μόνο μία τιμή ήταν διαφορετική. Αυτό θα σήμαινε ότι ο μέσος όρος δεν είναι πλέον ίσος με όλες τις τιμές του συνόλου και τότε τουλάχιστον ένα από τα πρόσθετα του υπολογισμού της τυπικής απόκλισης θα ήταν μη μηδενικό: επομένως, η τυπική απόκλιση δεν θα ήταν μηδέν. Εφόσον αυτή η άθροιση αναπτύσσεται σε τιμές που ανεβαίνουν στο τετράγωνο, όλες οι προσθήκες είναι θετικές και δεν είναι δυνατό να αντισταθμιστούν με αφαίρεση. Ο μόνος τρόπος για το άθροισμα των θετικών αριθμών να είναι μηδέν είναι όλες οι προσθήκες να είναι μηδέν. Επομένως, ο μόνος τρόπος για να είναι μηδενική η τυπική απόκλιση είναι όλες οι τιμές στην ομάδα να είναι ίσες με τη μέση τιμή και επομένως ίσες μεταξύ τους.

Και τα δύο ορίσματα αποτελούν μια απαραίτητη και επαρκή συνθήκη: η τυπική απόκλιση ενός συνόλου τιμών είναι μηδέν μόνο εάν όλες οι τιμές στο σύνολο είναι ίσες.

Κρήνη

Yadolah Dodge. Η Συνοπτική Εγκυκλοπαίδεια της Στατιστικής . Νέα Υόρκη: Springer, 2010.

-Διαφήμιση-

mm
Sergio Ribeiro Guevara (Ph.D.)
(Doctor en Ingeniería) - COLABORADOR. Divulgador científico. Ingeniero físico nuclear.

Artículos relacionados