Ποιοι είναι οι πραγματικοί αριθμοί;

Οι αριθμοί έχουν διαφορετικές ιδιότητες και μπορούν να ταξινομηθούν σε διάφορες ομάδες. Μία από αυτές τις ομάδες, με ευρείες εφαρμογές σε διάφορους κλάδους των μαθηματικών, είναι οι πραγματικοί αριθμοί. Για να τους κατανοήσουμε καλύτερα, ας δούμε πρώτα ποιοι είναι οι διαφορετικοί τύποι αριθμών.

Οι αριθμοί

Το πρώτο πράγμα που μαθαίνουμε για τους αριθμούς είναι πώς να τους χρησιμοποιούμε για να μετράμε. ξεκινάμε με το να τα ταιριάζουμε με τα δάχτυλά μας για να κάνουμε απλές πράξεις. Έτσι, τα δέκα δάχτυλά μας είναι η βάση του δεκαδικού συστήματος. Από εκεί μετράμε ποσότητες όσο μεγαλύτερες μπορούμε και σημειώνουμε ότι οι αριθμοί είναι άπειροι. Και έτσι, προσθέτοντας μηδέν (0) όταν δεν έχουμε τίποτα να μετρήσουμε, σχηματίζονται οι φυσικοί αριθμοί.

Με τους φυσικούς αριθμούς κάνουμε αριθμητικές πράξεις και όταν αφαιρούμε έναν άλλο αριθμό από έναν αριθμό, πρέπει να εισάγουμε τους αρνητικούς αριθμούς. Έτσι, προσθέτοντας τους αρνητικούς αριθμούς στους φυσικούς, παίρνουμε το σύνολο των ακεραίων.

Μεταξύ των αριθμητικών πράξεων που εκτελούμε με τους αριθμούς είναι η διαίρεση. Και διαπιστώνουμε ότι υπάρχουν περιπτώσεις στις οποίες όταν διαιρούμε έναν αριθμό με έναν άλλο, το αποτέλεσμα δεν είναι ακέραιος. Σε πολλές περιπτώσεις, αυτό το αποτέλεσμα διαίρεσης μπορεί να αναπαρασταθεί με ακρίβεια μόνο από την ίδια την έκφραση διαίρεσης, δηλαδή ένα κλάσμα. Έτσι κατασκευάζεται το σύνολο των ρητών αριθμών, στο οποίο όλοι οι αριθμοί γράφονται ως κλάσμα και οι ακέραιοι έχουν ως παρονομαστή τον αριθμό 1.

Ήταν οι αρχαίοι πολιτισμοί που παρατήρησαν ότι υπήρχαν αριθμοί που δεν μπορούσαν να αναπαρασταθούν ως κλάσματα. Όταν εργάζονταν με γεωμετρικά σχήματα, βρήκαν τον αριθμό pi, τη σχέση μεταξύ της ακτίνας και του μήκους ενός κύκλου, έναν αριθμό που δεν μπορεί να εκφραστεί ως το πηλίκο μεταξύ δύο ακεραίων. Είναι επίσης η περίπτωση της τετραγωνικής ρίζας του αριθμού 2 (δηλαδή, ο αριθμός που πολλαπλασιαζόταν μόνος του θα έδινε τον αριθμό 2 ως αποτέλεσμα). Και υπάρχουν πολλοί αριθμοί που προκύπτουν σε διάφορους κλάδους γνώσης που δεν αποτελούν μέρος του συνόλου των ρητών αριθμών. Αυτοί οι αριθμοί, που δεν μπορούν να αναπαρασταθούν ακριβώς ως το πηλίκο δύο ακέραιων αριθμών, ονομάζονται παράλογοι αριθμοί. Το σύνολο των ρητών και των παράλογων αριθμών αποτελεί, λοιπόν, το σύνολο των πραγματικών αριθμών.

Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούν μέρος ενός ακόμη μεγαλύτερου συνόλου αριθμών: των μιγαδικών αριθμών. Αυτή η επέκταση του συνόλου των πραγματικών αριθμών προκύπτει όταν θέλουμε να υπολογίσουμε την τετραγωνική ρίζα ενός αρνητικού αριθμού. Εφόσον το γινόμενο δύο αρνητικών αριθμών είναι πάντα θετικό, δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός που πολλαπλασιαζόμενος από τον εαυτό του να είναι αρνητικός. Στη συνέχεια ορίζεται ο φανταστικός αριθμός i , ο οποίος αντιπροσωπεύει την τετραγωνική ρίζα του -1, και προκύπτει το σύνολο των μιγαδικών αριθμών.

δεκαδική παράσταση

Όλοι οι αριθμοί μπορούν να εκφραστούν σε δεκαδική μορφή. Για παράδειγμα, ο ορθολογικός αριθμός 1/2 μπορεί να εκφραστεί σε δεκαδική μορφή ως 0,5. Σε αντίθεση με τον ορθολογικό αριθμό 1/2, ο οποίος μπορεί να αναπαρασταθεί ακριβώς με ένα μόνο δεκαδικό ψηφίο, άλλοι ορθολογικοί αριθμοί έχουν άπειρο αριθμό δεκαδικών ψηφίων και δενΜπορούν να εκφραστούν ακριβώς με τη δεκαδική παράσταση. Αυτή είναι η περίπτωση του αριθμού 1/3. Η δεκαδική του αναπαράσταση είναι 0,33333…, με άπειρο αριθμό δεκαδικών ψηφίων. Αυτοί οι ορθολογικοί αριθμοί ονομάζονται περιοδικοί δεκαδικοί αριθμοί, αφού σε όλες τις περιπτώσεις υπάρχει μια ακολουθία αριθμών που επαναλαμβάνεται άπειρες φορές. Στην περίπτωση του αριθμού 1/3 αυτή η ακολουθία είναι 3. Στην περίπτωση του αριθμού 1/7, η δεκαδική του μορφή είναι 0,1428571428571…, και η ακολουθία που επαναλαμβάνεται άπειρα είναι 142857. Οι παράλογοι αριθμοί δεν είναι περιοδικοί δεκαδικοί αριθμοί. δεν υπάρχει ακολουθία που να επαναλαμβάνεται άπειρες φορές στη δεκαδική της παράσταση.

Οπτική αναπαράσταση

Οι πραγματικοί αριθμοί μπορούν να οπτικοποιηθούν συνδέοντας τον καθένα από αυτούς σε ένα από τα άπειρα σημεία κατά μήκος μιας ευθείας γραμμής, όπως φαίνεται στο σχήμα. Σε αυτή τη γραφική παράσταση βρίσκεται ο αριθμός pi, του οποίου η τιμή είναι περίπου 3,1416, ο αριθμός e , που είναι περίπου 2,7183, και η τετραγωνική ρίζα του αριθμού 2, περίπου 1,4142. Από τον αριθμό 0 προς τα δεξιά, οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί βρίσκονται σε αύξουσα μορφή και προς τα αριστερά οι αρνητικοί αυξάνοντας την απόλυτη τιμή τους προς αυτή την κατεύθυνση.

Μερικές ιδιότητες πραγματικών αριθμών

Οι πραγματικοί αριθμοί συμπεριφέρονται σαν ακέραιοι ή ρητά αριθμοί, με τους οποίους είμαστε περισσότερο εξοικειωμένοι. Μπορούμε να τα προσθέσουμε, να αφαιρέσουμε, να τα πολλαπλασιάσουμε και να τα διαιρέσουμε με τον ίδιο τρόπο. η μόνη εξαίρεση είναι η διαίρεση με τον αριθμό 0, μια πράξη που δεν είναι δυνατή. Η σειρά των προσθηκών και των πολλαπλασιασμών δεν είναι σημαντική, αφού η ανταλλάξιμη ιδιότητα εξακολουθεί να ισχύει και η διανεμητική ιδιότητα ισχύει με τον ίδιο τρόπο. Με τον ίδιο τρόπο, δύο πραγματικοί αριθμοί x και y ταξινομούνται με μοναδικό τρόπο και μόνο μία από τις παρακάτω σχέσεις είναι σωστή:

x = y , x < y ή x > y

Οι πραγματικοί αριθμοί είναι άπειροι, όπως και οι ακέραιοι και οι ρητοί αριθμοί. Κατ’ αρχήν αυτό είναι προφανές αφού τόσο οι ακέραιοι όσο και οι ορθολογικοί είναι υποσύνολα των πραγματικών αριθμών. Αλλά υπάρχει μια διαφορά: στην περίπτωση των ακεραίων και των ρητών αριθμών λέγεται ότι είναι μετρήσιμα άπειροι αριθμοί. Αντίθετα, οι πραγματικοί αριθμοί είναι άπειροι αμέτρητοι.

Ένα σύνολο λέγεται ότι είναι μετρήσιμο ή μετρήσιμο όταν κάθε ένα από τα συστατικά του μπορεί να συσχετιστεί με έναν φυσικό αριθμό. Ο συσχετισμός είναι προφανής στην περίπτωση των ακεραίων. Στην περίπτωση των ρητών αριθμών μπορεί να θεωρηθεί ως η συσχέτιση με ένα ζεύγος φυσικών αριθμών, τον αριθμητή και τον παρονομαστή. Αλλά αυτή η συσχέτιση δεν είναι δυνατή στην περίπτωση των πραγματικών αριθμών.

Πηγές

• Arias Cabezas, Jose Maria, Maza Saez, Ildefonso. Αριθμητική και Άλγεβρα . Στο Carmona Rodríguez, Manuel, Díaz Fernández, Francisco Javier, eds. Μαθηματικά 1. Bruño Editorial Group, Limited Company, Μαδρίτη, 2008.
• Κάρλος Ιβόρα. Λογική και Θεωρία Συνόλων . 2011.