Tabla de Contenidos
Η έννοια των βαθμών ελευθερίας εμφανίζεται συχνά τόσο στα μαθηματικά όσο και στα στατιστικά. Ανάλογα με την εν λόγω περιοχή, η έννοια ποικίλλει σημαντικά.
Η διαισθητική έννοια των βαθμών ελευθερίας
Διαισθητικά, ο αριθμός των βαθμών ελευθερίας αναφέρεται στον αριθμό των ελεύθερων επιλογών που μπορούμε να κάνουμε σε μια δεδομένη κατάσταση . Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι μια ομάδα πέντε ατόμων πρέπει να επιλέξει ανάμεσα σε 5 διαφορετικά φρούτα. Το πρώτο άτομο είναι ελεύθερο να επιλέξει οποιοδήποτε από τα φρούτα. Το επόμενο, μπορείτε να επιλέξετε ελεύθερα από τα υπόλοιπα τέσσερα φρούτα κ.ο.κ. Μόλις φτάσει στο τελευταίο άτομο, αφού υπήρχαν μόνο 5 φρούτα στην αρχή, αυτό το άτομο αναγκάζεται να επιλέξει τον τελευταίο καρπό, πράγμα που σημαίνει ότι, στην πραγματικότητα, το τελευταίο άτομο δεν είχε ελευθερία επιλογής, ενώ οι άλλοι Ναι.
Σε αυτή την περίπτωση λέμε ότι υπήρχαν τέσσερις βαθμοί ελευθερίας, αφού μετά την επιλογή των τεσσάρων πρώτων φρούτων προσδιοριζόταν αυτόματα ο καρπός του πέμπτου.
Σημειωτέον ότι ο λόγος που τα πέντε άτομα δεν είχαν τη δυνατότητα να επιλέξουν ελεύθερα τα φρούτα τους είναι επειδή αρχικά υπήρχαν μόνο πέντε φρούτα. Αν είχαμε πει στα πέντε άτομα να διαλέξουν ο καθένας το φρούτο που του άρεσε περισσότερο, χωρίς να προσδιορίσουμε καμία επιλογή, τότε και τα πέντε άτομα θα είχαν την ελευθερία επιλογής. Αυτό δείχνει ότι το γεγονός ότι υπήρχαν μόνο πέντε φρούτα αντιπροσώπευε έναν περιορισμό που μείωσε τους βαθμούς ελευθερίας επιλογής.
βαθμούς ελευθερίας στα μαθηματικά
Μαθηματικά, οι βαθμοί ελευθερίας ορίζονται ως ο αριθμός των διαστάσεων τομέα ενός τυχαίου διανύσματος . Αυτό σημαίνει ότι είναι ο αριθμός των συστατικών ενός τυχαίου διανύσματος των οποίων τις τιμές πρέπει να καθορίσουμε για να γνωρίζουμε πλήρως το διάνυσμα.
Για να κατανοήσουμε καλύτερα αυτήν την έννοια, ας την αναλύσουμε από γεωμετρική άποψη. Μπορούμε να ορίσουμε ένα τυχαίο διάνυσμα ως αυτό που σχηματίζεται από ένα σύνολο βαθμωτών τυχαίων μεταβλητών . Κάθε μία από αυτές τις τυχαίες μεταβλητές αντιπροσωπεύει μία από τις συνιστώσες του διανύσματος σε μία διάσταση. Δηλαδή, ο αριθμός τέτοιων μεταβλητών ή συστατικών ( n ) ορίζει έναν n-διάστατο χώρο μέσα στον οποίο το τυχαίο διάνυσμα μπορεί να κινείται ελεύθερα, οπότε λέμε ότι το διάνυσμα έχει n βαθμούς ελευθερίας.
Για παράδειγμα, εάν το διάνυσμα αποτελείται από μια ενιαία τυχαία μεταβλητή, τότε αυτό το διάνυσμα μπορεί να μεταβάλλεται ελεύθερα μόνο κατά μήκος μιας μεμονωμένης διάστασης. Ως συνέπεια αυτού, για να ορίσουμε ένα συγκεκριμένο διάνυσμα, είναι απαραίτητο μόνο να επιλέξετε την τιμή αυτής της μοναδικής τυχαίας μεταβλητής, οπότε λέμε ότι υπάρχει μόνο ένας βαθμός ελευθερίας.
Από την άλλη πλευρά, εάν ένα διάνυσμα σχηματίζεται από δύο συστατικά, μπορεί να αναπαρασταθεί σε ένα δισδιάστατο χώρο, δηλαδή σε ένα επίπεδο. Λέμε ότι αυτό το διάνυσμα μπορεί να κινηθεί ελεύθερα κατά μήκος δύο διαστάσεων ανάλογα με τις συγκεκριμένες τιμές που λαμβάνουν αυτές οι δύο τυχαίες μεταβλητές, οπότε λέμε ότι έχει δύο βαθμούς ελευθερίας.
Ο ίδιος συλλογισμός λειτουργεί για ένα τυχαίο διάνυσμα με 3, 4 ή περισσότερα συστατικά.
Ένα τυπικό παράδειγμα ενός τυχαίου διανύσματος που χρησιμοποιείται συχνά στις στατιστικές είναι ένα δείγμα μεγέθους n. Σε αυτήν την περίπτωση, καθένα από τα n στοιχεία του δείγματος είναι μια τυχαία μεταβλητή και όλες οι τιμές n αποτελούν το τυχαίο διάνυσμα που αντιστοιχεί στο δείγμα. Κάθε φορά που επιλέγουμε ένα νέο δείγμα, μπορούμε να αποκτήσουμε ένα νέο διάνυσμα και δεν υπάρχει τίποτα που να μας απαγορεύει να επιλέγουμε ελεύθερα και ανεξάρτητα καθένα από τα δεδομένα που αποτελούν το δείγμα.
Περιορισμοί βαθμών ελευθερίας
Από όσα εξηγήθηκαν στις προηγούμενες παραγράφους μπορεί να συναχθεί ότι οποιοδήποτε τυχαίο διάνυσμα n διαστάσεων (δηλαδή σχηματίζεται από n ανεξάρτητες συνιστώσες) θα έχει n βαθμούς ελευθερίας, αφού οποιοδήποτε από τα n συστατικά μπορεί να έχει οποιαδήποτε τιμή, δηλαδή , δεν υπάρχει τίποτα που να περιορίζει την επιλογή καθεμιάς από τις n τυχαίες μεταβλητές.
Ωστόσο, εάν οι μεταβλητές δεν είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους, αλλά σχετίζονται με κάποια μαθηματική εξίσωση, τότε ο αριθμός των βαθμών ελευθερίας μειώνεται, αφού θα υπάρξουν μεταβλητές των οποίων η τιμή καθορίζεται πλήρως μόλις επιλεγούν ή καθοριστούν οι τιμές. τις άλλες μεταβλητές.
Αυτές οι σχέσεις μεταξύ των τυχαίων μεταβλητών που συνθέτουν το διάνυσμα είναι αυτό που γνωρίζουμε ως περιορισμοί ή συνθήκες και είναι το μαθηματικό ισοδύναμο της συνθήκης «υπάρχουν μόνο πέντε καρποί» της διαισθητικής εξήγησης των βαθμών ελευθερίας.
Παράδειγμα:
Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα τυχαίο διάνυσμα που αποτελείται από τις τρεις τυχαίες μεταβλητές x , y και z . Αρχικά, αυτό το σύστημα έχει τρεις βαθμούς ελευθερίας, αφού πρέπει να επιλέξουμε τις τιμές των τριών μεταβλητών για να καθορίσουμε πλήρως ένα συγκεκριμένο διάνυσμα.
Ωστόσο, υποθέστε τώρα ότι, για κάποιο λόγο, αυτές οι μεταβλητές πρέπει να πληρούν την προϋπόθεση ότι το άθροισμά τους είναι ίσο με 5. Αυτή η συνθήκη περιορίζει την επιλογή μας για τις συγκεκριμένες τιμές κάθε μεταβλητής, αφού, αφού επιλέξουμε ελεύθερα τις δύο πρώτες ( x και y , x y z ή y y z ) το τρίτο καθορίζεται από την εξίσωση x + y + z = 5
Για παράδειγμα, εάν επιλέξουμε x = 10 και y = 5 , η μεταβλητή z δεν μπορεί να λάβει καμία τιμή, αλλά πρέπει απαραίτητα να έχει τιμή –10 για να συμμορφωθεί με την προαναφερθείσα συνθήκη.
Εάν συμπεριλάβουμε περισσότερους περιορισμούς ή περισσότερες ανεξάρτητες σχέσεις μεταξύ των μεταβλητών, μπορούμε να μειώσουμε περαιτέρω τον αριθμό των βαθμών ελευθερίας, ακόμη και στο μηδέν.
βαθμοί ελευθερίας στη στατιστική
Με τον σαφέστερο τρόπο εξέτασης των βαθμών ελευθερίας στα μαθηματικά, θα είναι πολύ πιο εύκολο να κατανοήσουμε τους βαθμούς ελευθερίας στον τομέα της στατιστικής, όπου βρίσκουν το μεγαλύτερο μέρος της χρησιμότητάς τους.
Οι βαθμοί ελευθερίας χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό των στατιστικών, καθώς και για τον καθορισμό κατανομών πιθανοτήτων, όπως η κατανομή t-student ή η κατανομή χ-τετράγωνο.
Σε αυτά τα πλαίσια, οι βαθμοί ελευθερίας αποτελούνται από τον αριθμό των μεταβλητών που πρέπει να καθορίσουμε για να προσδιορίσουμε την τιμή κάποιας στατιστικής μεταβλητής όπως ο μέσος όρος του δείγματος, η διακύμανση, η τυπική απόκλιση δείγματος κ.λπ.
Για παράδειγμα, στον υπολογισμό του μέσου όρου του δείγματος για ένα δείγμα μεγέθους n, πρέπει να γνωρίζουμε όλες τις τιμές των n στοιχείων στο δείγμα. Ο μέσος όρος υπολογίζεται με την ακόλουθη έκφραση:
Ωστόσο, μόλις υπολογιστεί ο μέσος όρος του δείγματος, ο οποίος υπολογίζει τον μέσο όρο του πληθυσμού, μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό άλλων στατιστικών μεταβλητών, όπως η διακύμανση του δείγματος και η τυπική απόκλιση. Σε αυτές τις περιπτώσεις, δεδομένου ότι ο μέσος όρος και οι μεμονωμένες τιμές των στοιχείων του δείγματος συσχετίζονται μέσω της προηγούμενης εξίσωσης, η οποία αντιπροσωπεύει έναν περιορισμό, είναι αλήθεια ότι οποιαδήποτε ποσότητα υπολογίζεται από τη μέση τιμή θα έχει n-1 βαθμούς ελευθερίας :
βιβλιογραφικές αναφορές
De la Cruz-Oré, JL (2013). Τι σημαίνουν βαθμοί ελευθερίας; Peruvian Journal of Epidemiology , 17 (2), 1–6. https://www.redalyc.org/pdf/2031/203129458002.pdf
DeVore, J. (2002). Probability and Statistics for Engineering and Sciences (5η έκδ.). Thomson International.
Βαθμοί ελευθερίας . (2012, 18 Νοεμβρίου). Χρηματοοικονομική Εγκυκλοπαίδεια. http://www.enciclopediafinanciera.com/definicion-grados-de-libertad.html
Επεξεργαστής ιστολογίου Minitab. (2019, 18 Απριλίου). Τι είναι τα Πτυχία Ελευθερίας στη Στατιστική; Ιστολόγιο Minitab. https://blog.minitab.com/en/what-are-degrees-of-freedom-in-statistics
Pacheco, J. (2019, 15 Οκτωβρίου). ▷ Βαθμοί ελευθερίας στα στατιστικά στοιχεία ( Τι είναι και πώς εφαρμόζονται ) | 2021 . Ιστός και εταιρείες. https://www.webyempresas.com/grados-de-libertad-en-estadistica/
