Tabla de Contenidos
Η λογική είναι κλάδος των μαθηματικών και μέρος της είναι η θεωρία συνόλων. Οι νόμοι του De Morgan είναι δύο αξιώματα σχετικά με την αλληλεπίδραση μεταξύ των συνόλων. Αυτοί οι νόμοι καταγράφουν τα προηγούμενα στον Αριστοτέλη και τον Γουλιέλμο του Όκαμ. Ο Augustus De Morgan έζησε μεταξύ 1806 και 1871 και ήταν ο πρώτος που συμπεριέλαβε τους νόμους που υποστήριξε στην επίσημη δομή της μαθηματικής λογικής.
Τελεστές στη θεωρία συνόλων
Πριν προχωρήσουμε στα αξιώματα του De Morgan, ας δούμε μερικούς ορισμούς της θεωρίας συνόλων.
Εάν υπάρχουν οποιαδήποτε δύο σύνολα στοιχείων, τα οποία θα ονομάσουμε Α και Β, η τομή αυτών των δύο συνόλων είναι το σύνολο στοιχείων που είναι κοινά και στα δύο σύνολα. Η τομή δύο συνόλων συμβολίζεται με το σύμβολο ∩, και είναι ένα άλλο σύνολο που μπορούμε να ονομάσουμε C. C = A∩B, και C είναι το σύνολο των στοιχείων που εμφανίζονται και στην ομάδα Α και στην ομάδα Β. Ομοίως, η ένωση δύο συνόλων Α και Β είναι ένα νέο σύνολο που περιέχει όλα τα στοιχεία των Α και Β, και σημειώνεται με το σύμβολο U. Το σύνολο C, ένωση A και B, C = AUB, είναι ένα σύνολο που είναι ενσωματωμένο με όλα τα στοιχεία του A και B. Ο τρίτος ορισμός που πρέπει να θυμόμαστε είναι το συμπλήρωμα ενός συνόλου: αν έχουμε ένα ορισμένο σύμπαν στοιχείων και ένα σύνολο Α αυτού του σύμπαντος, το συμπλήρωμα του Α είναι το σύνολο των στοιχείων αυτού του σύμπαντος που δεν ανήκουν στο σύνολο Α. Το συμπληρωματικό σύνολο του Α συμβολίζεται ως Α Γ .
Αυτοί οι τρεις τελεστές μεταξύ των συνόλων μπορούν να γενικευθούν στη λειτουργία μεταξύ πολλών συνόλων, δηλαδή στην τομή, την ένωση και το συμπλήρωμα πολλών συνόλων. Ας δούμε ένα απλό παράδειγμα. Το παρακάτω σχήμα δείχνει το διάγραμμα Venn τριών σετ: τα πουλιά, που αντιπροσωπεύονται από τον παπαγάλο, τη στρουθοκάμηλο, την πάπια και τον πιγκουίνο. τα έμβια όντα που πετούν, που αντιπροσωπεύονται από τον παπαγάλο, την πάπια, την πεταλούδα και το ιπτάμενο ψάρι, και τα ζωντανά όντα που κολυμπούν, που αντιπροσωπεύονται από την πάπια, τον πιγκουίνο, το ιπτάμενο ψάρι και τη φάλαινα. Η πάπια είναι το σύνολο τομής των τριών συνόλων: η ένωση πουλιών και ζωντανών όντων που πετούν αποτελείται από τη στρουθοκάμηλο, τον παπαγάλο, την πεταλούδα, την πάπια, τον πιγκουίνο και το ιπτάμενο ψάρι. Και το συμπλήρωμα των ζωντανών όντων που πετούν και αυτών που κολυμπούν είναι το σύνολο που περιέχει τη στρουθοκάμηλο.
Νόμοι του Ντε Μόργκαν
Τώρα μπορούμε να δούμε τα αξιώματα των νόμων του De Morgan. Το πρώτο αξίωμα λέει ότι το συμπλήρωμα της τομής συνόλου δύο συνόλων Α και Β είναι ίσο με την ένωση συνόλου του συμπληρώματος του Α και του συμπληρώματος του Β. Χρησιμοποιώντας τους τελεστές που ορίστηκαν στην προηγούμενη παράγραφο, μπορεί να γραφεί ο πρώτος νόμος του De Morgan ως εξής:
(A∩B) C = A C UB C
Ο δεύτερος νόμος του De Morgan υποστηρίζει ότι το συμπλήρωμα του συνόλου της ένωσης των Α και Β είναι ίσο με την τομή του συμπληρωματικού συνόλου του Α με το συμπληρωματικό σύνολο του Β, και σημειώνεται ως εξής:
(AUB) C = A C ∩ B C
Ας δούμε ένα παράδειγμα. Θεωρήστε το σύνολο των ακεραίων από το 0 έως το 5. Αυτό συμβολίζεται ως [0,1,2,3,4,5]. Σε αυτό το σύμπαν ορίζουμε δύο σύνολα Α και Β. Το Α είναι το σύνολο των αριθμών 1, 2 και 3. A = [1,2,3]. YB είναι το σύνολο των αριθμών 2, 3 και 4. Β = [2,3,4]. Ο πρώτος νόμος του De Morgan θα ίσχυε ως εξής.
A = [1,2,3]; B = [2,3,4]
Ο πρώτος νόμος του De Morgan: (A∩B) C = A C UB C
(A∩B) Γ
A∩B = [1,2,3]∩[2,3,4] = [2,3]
(A∩B) C = [2,3] C = [0,1,4,5]
A C UB C
A C = [1,2,3] C = [0,4,5]
B C = [2,3,4] C = [0,1,5]
A C UB C = [0,4,5]U[0,1,5] = [0,1,4,5]
Το αποτέλεσμα της εφαρμογής των τελεστών και στις δύο πλευρές της ισότητας δείχνει ότι ο πρώτος νόμος του De Morgan επαληθεύεται. Ας δούμε την εφαρμογή του παραδείγματος στο δεύτερο αξίωμα.
Δεύτερος νόμος του De Morgan: (AUB) C = A C ∩ B C
(AUB) Γ
AUB = [1,2,3]U[2,3,4] = [1,2,3,4]
(AUB) C = [1,2,3,4] C = [0,5]
A C ∩ B C
A C = [1,2,3] C = [0,4,5]
B C = [2,3,4] C = [0,1,5]
A C ∩ B C = [0,4,5]∩[0,1,5] = [0,5]
Όπως και με το πρώτο αξίωμα, στο συγκεκριμένο παράδειγμα ισχύει και ο δεύτερος νόμος του De Morgan.
Πηγές
AG Hamilton. Λογική για Μαθηματικούς. Editorial Paraninfo, Μαδρίτη, 1981.
Κάρλος Ιβόρα Καστίγιο. Λογική και θεωρία συνόλων . Πρόσβαση τον Νοέμβριο του 2021
