Tabla de Contenidos
Οι ροπές στους υπολογισμούς στις στατιστικές σχετίζονται με τον προσδιορισμό παραμέτρων όπως ο μέσος όρος, η διακύμανση ή η λοξότητα μιας κατανομής πιθανοτήτων. Ο όρος ροπή προέρχεται από τη φυσική, από τον υπολογισμό του κέντρου βάρους ενός συνόλου σωμάτων διαφορετικών μαζών.
ορισμός της στιγμής
Εάν υπάρχει ένα σύνολο n διακριτών δεδομένων x 1 , x 2 , x 3 , … x n , η στιγμή της τάξης s ορίζεται ως:
( x 1 s + x 2 s + x 3 s +…+ x n s )/ n
Η σειρά με την οποία γίνεται ο υπολογισμός είναι σημαντική. Πρώτα πρέπει να κάνετε την ανύψωση στη δύναμη s , μετά να κάνετε την πρόσθεση και τέλος τη διαίρεση με το n .
Εφαρμόζοντας αυτόν τον ορισμό, έχουμε τη στιγμή πρώτης τάξης όταν s = 1 και ο προηγούμενος τύπος παίρνει τη μορφή:
( x 1 + x 2 + x 3 +…+ x n )/ n
Αυτή είναι η έκφραση του τύπου για το μέσο όρο ενός συνόλου τιμών.
Εάν το σύνολο που αναλύουμε αποτελείται από τους 4 αριθμούς 1, 3, 6, 10, η πρώτη στιγμή σειράς αυτού του συνόλου είναι:
(1 + 3 + 6 + 10)/4 = 5
Σε αυτό το παράδειγμα παρατηρείται ότι η στιγμή πρώτης τάξης είναι ο μέσος όρος του συνόλου των τιμών που μελετώνται.
Η ροπή δεύτερης τάξης αντιστοιχεί σε s = 2, και ο ορισμός γίνεται ως εξής:
( x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 +…+ x n 2 )/ n
Αν το εφαρμόσουμε στο προηγούμενο παράδειγμα, παίρνουμε:
(1 2 + 3 2 + 6 2 + 10 2 )/4 = (1 + 9 + 36 + 100)/4 = 36,5
Ομοίως, η ροπή τρίτης τάξης αντιστοιχεί σε s = 3 και ο τύπος έχει τη μορφή:
( x 1 3 + x 2 3 + x 3 3 +…+ x n 3 )/ n
Και ο υπολογισμός στο παράδειγμα που εξετάζουμε έχει την έκφραση:
(1 3 + 3 3 + 6 3 + 10 3 )/4 = (1 + 27 + 216 + 1000)/4 = 311
Οι στιγμές του μέσου όρου ενός συνόλου τιμών
Μια άλλη εφαρμογή της έννοιας της ροπής είναι ο υπολογισμός του μέσου όρου ενός συνόλου τιμών. Δηλαδή στις τιμές που προκύπτουν από τη διαφορά κάθε τιμής ενός συνόλου ως προς τον μέσο όρο. Για να γίνει αυτό, πρέπει πρώτα να υπολογίσετε τη μέση τιμή του συνόλου, στη συνέχεια να ορίσετε τη μεταβλητή στην οποία θα υπολογιστούν οι ροπές ως η διαφορά μεταξύ του μέσου όρου και κάθε τιμής του συνόλου και, τέλος, να εφαρμόσετε τον προηγούμενο τύπο σε αυτήν τη νέα μεταβλητή.
Τότε, αν m είναι ο μέσος όρος του συνόλου τιμών x 1 , x 2 , x 3 , … x n , οι στιγμές γύρω από το μέσο m s ενός συνόλου τιμών θα έχουν τη μορφή:
m s = [( x 1 – m ) s + ( x 2 – m ) s + ( x 3 – m ) s +…+ ( x n – m ) s ]/ n
Σύμφωνα με αυτόν τον υπολογισμό, η ροπή πρώτης τάξης του μέσου όρου είναι 0. Ας δούμε πώς προκύπτει αυτό το αποτέλεσμα:
m 1 = [( x 1 – m )+ ( x 2 – m ) + ( x 3 – m ) +…+ ( x n – m )]/ n
m 1 = [ x 1 + x 2 + x 3 +…+ x n – n . m )]/ n
m 1 = [ x 1 + x 2 + x 3 +…+ x n ]/ n – [ n . m ]/ n
m 1 = m – m = 0
Η ροπή δεύτερης τάξης του μέσου όρου έχει την ακόλουθη έκφραση:
m 2 = [( x 1 – m ) 2 + ( x 2 – m ) 2 + ( x 3 – m ) 2 +…+ ( x n – m ) 2 ]/ n
Αυτός είναι ο τύπος για τη διακύμανση ενός συνόλου τιμών.
Αν εφαρμόσουμε αυτόν τον τύπο στο προηγούμενο παράδειγμα, έχουμε ότι ο μέσος όρος που έχουμε ήδη υπολογίσει είναι 5, οπότε ο τύπος γίνεται
m 2 = [(1 – 5) 2 + (3 – 5) 2 + (6 – 5) 2 + (10 – 5) 2 ]/4 = 11,5
Έτσι βλέπουμε ότι η πρώτη στιγμή της τάξης ενός συνόλου τιμών είναι ο μέσος όρος και η στιγμή δεύτερης τάξης για τον μέσο όρο είναι η διακύμανση αυτού του συνόλου. Η ροπή τρίτης τάξης του μέσου όρου χρησιμοποιήθηκε από τον Karl Pearson για τον υπολογισμό της λοξότητας του συνόλου των τιμών, ενώ η ροπή τέταρτης τάξης του μέσου όρου χρησιμοποιείται στον υπολογισμό της στατιστικής κύρτωσης.
Πηγές
Alexander Mood, Franklin A. Graybill, Duane C. Boes, Εισαγωγή στη Θεωρία της Στατιστικής . Τρίτη έκδοση, McGraw-Hill, 1974.
Peter H. Westfall, Understanding Advanced Statistical Methods . Boca Raton, FL: CRC Press, 2013.
