Tabla de Contenidos
Στα στατιστικά, είναι πολύ συνηθισμένο να αντιμετωπίζετε καταστάσεις στις οποίες θέλετε να υπολογίσετε την πιθανότητα ένωσης πολλών διαφορετικών γεγονότων. Για παράδειγμα, ο ιδιοκτήτης ενός ζαχαροπλαστείου μπορεί να ενδιαφέρεται να προσδιορίσει ποια είναι η πιθανότητα το επόμενο παιδί που θα μπει στο κατάστημά του να αγοράσει μια λευκή σοκολάτα ή μια σοκολάτα γάλακτος. Σε αυτή την περίπτωση, θέλουμε να προσδιορίσουμε την πιθανότητα να συμβεί ένα από τα δύο πιθανά γεγονότα, η οποία, σύμφωνα με τη θεωρία συνόλων, είναι η πιθανότητα ένωσης και των δύο γεγονότων, ή P(AUB).
Στην περίπτωση που περιγράφεται, ο υπολογισμός αυτής της πιθανότητας αποτελείται απλώς από το άθροισμα των επιμέρους πιθανοτήτων, μείον την πιθανότητα τομής μεταξύ των δύο γεγονότων, δηλαδή:
Ο λόγος που πρέπει να αφαιρεθεί η πιθανότητα τομής είναι ότι προσθέτοντας τις πιθανότητες και των δύο γεγονότων, οποιαδήποτε τομή μετράται δύο φορές. Αυτή είναι μια σχετικά απλή διαδικασία στην κατανόηση. Ωστόσο, μπορεί επίσης να συμβεί να θέλουμε να προσδιορίσουμε την πιθανότητα ένωσης όχι δύο, αλλά τριών ή περισσότερων γεγονότων. Τι πρέπει να γίνει σε τέτοιες περιπτώσεις; Στην επόμενη ενότητα θα εξετάσουμε έναν απλό τρόπο προσδιορισμού του τύπου που θα εφαρμοστεί στις περιπτώσεις τριών γεγονότων και τεσσάρων γεγονότων και στη συνέχεια θα χρησιμοποιήσουμε αυτά τα αποτελέσματα, μαζί με τον παραπάνω τύπο, για να γενικεύσουμε τον προσδιορισμό της πιθανότητας ένωσης για οποιονδήποτε αριθμό εκδηλώσεων.
Αναθεώρηση βασικών
Για να κατανοήσουμε τη διαδικασία υπολογισμού των πιθανοτήτων ένωσης, είναι απαραίτητο να υπενθυμίσουμε εν συντομία ορισμένους σημαντικούς όρους που θα χρησιμοποιηθούν αργότερα:
πείραμα . Κατά πάσα πιθανότητα, πείραμα είναι κάθε διαδικασία που μπορεί να επαναληφθεί πολλές φορές και πάντα παράγει ένα αποτέλεσμα. Κάθε πείραμα συνδέεται με ένα συγκεκριμένο σύνολο πιθανών αποτελεσμάτων που θα είναι πάντα τα ίδια.
Αποτέλεσμα . Θα ονομάσουμε τη συνέπεια ενός πειράματος αποτέλεσμα, όπως το συγκεκριμένο πρόσωπο που βγαίνει όταν ρίχνουμε ένα ζάρι.
Χώρος δειγμάτων (S) . Το σύνολο όλων των πιθανών αποτελεσμάτων ενός πειράματος.
εκδήλωση . Οποιοδήποτε σύνολο πιθανών αποτελεσμάτων.
Διάγραμμα Venn . Γραφική αναπαράσταση που δείχνει τις σχέσεις μεταξύ συνόλων γεγονότων και μεταξύ της πιθανότητας γεγονότων σε ένα πείραμα.
Η πιθανότητα ένωσης τριών γεγονότων
Ας υποθέσουμε ότι διεξάγουμε ένα πείραμα και θέλουμε να προσδιορίσουμε την πιθανότητα να συμβεί ένα από τα 3**3 τρία διαφορετικά γεγονότα, τα οποία μπορεί να συμβούν ή να μην συμβούν ταυτόχρονα. Θα ονομάσουμε αυτά τα τρία γεγονότα Α, Β και Γ.
Σε αυτές τις περιπτώσεις, μπορεί να προκύψουν πολλές διαφορετικές καταστάσεις. Για παράδειγμα, μπορεί να συμβεί κανένα από τα γεγονότα να μην μοιράζεται αποτελέσματα με κανένα άλλο, οπότε λέμε ότι τα γεγονότα είναι αμοιβαία αποκλειόμενα, κάτι που επεξηγείται στο ακόλουθο διάγραμμα Venn:
Οι κύκλοι Α, Β και Γ αντιπροσωπεύουν τα τρία συμβάντα και περικλείουν ένα σύνολο αποτελεσμάτων μέσα στο χώρο του δείγματος, το οποίο είναι το γκρι ορθογώνιο που προσδιορίζεται με το γράμμα S. Σε αυτές τις περιπτώσεις, η πιθανότητα ένωσης δίνεται απλά από το άθροισμα των πιθανοτήτων του καθενός ξεχωριστή εκδήλωση:
Από την άλλη πλευρά, ένα από τα συμβάντα μπορεί επίσης να μοιράζεται αποτελέσματα με ένα από τα άλλα δύο συμβάντα ή ακόμα και με τα δύο. Αυτό απεικονίζεται σε ένα διάγραμμα Venn ως περιοχές που τέμνονται μεταξύ τους.
Σε αυτές τις περιπτώσεις, το άθροισμα των πιθανοτήτων λαμβάνει υπόψη ορισμένα αποτελέσματα περισσότερες από μία φορές, επομένως είναι απαραίτητο να αφαιρεθούν αυτές οι πιθανότητες που έχουν υπερμετρηθεί. Δηλαδή, πρέπει να αφαιρέσουμε την πιθανότητα της τομής μεταξύ κάθε ζεύγους γεγονότων. Ωστόσο, σε περιπτώσεις όπου υπάρχουν αποτελέσματα και στα τρία συμβάντα (όπως αυτά στο κέντρο του παραπάνω διαγράμματος Venn), η αφαίρεση των τομών των ζευγών αφαιρεί τη συμβολή της κεντρικής περιοχής στην οποία τέμνονται τα ζεύγη. Για το λόγο αυτό, πρέπει να προσθέσουμε ξανά αυτό το μικρό εμβαδόν που αντιστοιχεί στην πιθανότητα τομής των Α, Β και Γ.
Τέλος, η πιθανότητα ένωσης των τριών γεγονότων είναι:
ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Αν και αυτή η έκφραση δηλώθηκε για τη συγκεκριμένη περίπτωση όπου τα τρία συμβάντα τέμνονται μεταξύ τους, αυτή είναι η πιο γενική μορφή της περίπτωσης των τριών γεγονότων, καθώς μπορεί να μετατραπεί στην πιθανότητα ένωσης οποιουδήποτε συνόλου τριών γεγονότων, είτε τέμνονται ή όχι. Για παράδειγμα, στην περίπτωση γεγονότων που αποκλείονται αμοιβαία, όλες οι πιθανότητες τομής είναι μηδέν, επομένως η έκφραση μειώνεται στο άθροισμα των επιμέρους πιθανοτήτων που εμφανίζονται στην αρχή αυτής της ενότητας.
Η πιθανότητα ένωσης τεσσάρων γεγονότων
Ας υποθέσουμε τώρα ότι πραγματοποιούμε ένα νέο πείραμα και μας ενδιαφέρει η πιθανότητα ένωσης μεταξύ τεσσάρων γεγονότων: A, B, C και D. Η πιο γενική περίπτωση είναι ότι μπορούν όλα να τέμνονται μεταξύ τους, όπως φαίνεται στο παρακάτω διάγραμμα:
Σε αυτήν την περίπτωση, το άθροισμα των τεσσάρων απλών πιθανοτήτων μετρά τέσσερις φορές την πιθανότητα των αποτελεσμάτων που περιέχονται στην περιοχή I, τριπλάσια εκείνων των περιοχών II, III, IV και V και διπλάσια από εκείνες των περιοχών VI, VII, VIII, και IX. Για να το διορθώσουμε αυτό, πρέπει πρώτα να αφαιρέσουμε τις πιθανότητες τομής όλων των ζευγών (Α και Β, Α και Γ, Α και Δ, Β και Γ, Β και Δ, και Γ και Δ). Αυτό, με τη σειρά του, αφαιρεί τις περιοχές τομής κάθε ομάδας τριών (ABC, ABD, ACD και BCD) πάρα πολλές φορές, επομένως αυτές οι περιοχές πρέπει να προστεθούν ξανά και ούτω καθεξής μέχρι να μετρηθούν όλες οι περιοχές μία φορά.
Το αποτέλεσμα για την περίπτωση τεσσάρων γεγονότων, είτε αλληλοαποκλείονται είτε όχι, είναι:
Πιθανότητα ένωσης για περισσότερα από τέσσερα γεγονότα
Μέχρι αυτό το σημείο μπορούμε ήδη να ανιχνεύσουμε ένα μοτίβο μεταξύ των τύπων για τις πιθανότητες ένωσης δύο, τριών και τεσσάρων γεγονότων. Όλα ξεκινούν με το άθροισμα των απλών πιθανοτήτων, στη συνέχεια αφαιρούν τις πιθανότητες τομής μεταξύ όλων των πιθανών ζευγών γεγονότων, στη συνέχεια προσθέτουν τις πιθανότητες τομής κάθε πιθανής ομάδας τριών γεγονότων και ούτω καθεξής, προσθέτοντας και αφαιρώντας εναλλάξ τις τομές μεταξύ περισσότερων και περισσότερα συμβάντα μέχρι να φτάσουμε στη διασταύρωση όλων των γεγονότων. Για ζυγό αριθμό γεγονότων, αυτή η τελευταία τομή είναι πάντα αρνητική (αφαιρείται) ενώ, για μονό αριθμό γεγονότων, είναι πάντα θετική (προστίθεται).
βιβλιογραφικές αναφορές
- Arrizabalaga R., M. (2015, Σεπτέμβριος). ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ . ΑΥΤΟΝΟΜΟ ΚΡΑΤΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΕΞΙΚΟΥ. https://core.ac.uk/download/pdf/55528069.pdf
- DeVore, J. (2002). Probability and Statistics for Engineering and Sciences (5η έκδ.). Thomson International.
- Manuel, M. (2020, 1 Ιουλίου). Πιθανότητα Ένωσης Γεγονότων . Εύκολα μαθηματικά. https://lasmatesfaciles.com/2020/06/29/probabilidad-de-la-union-de-sucesos/
- Marta, M. (2021, 27 Μαρτίου). Ένωση γεγονότων ή περιστατικών . Υπερκαθ. https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/probabilidades/combinatoria/union-de-sucesos.html
