Ποια είναι τα πιθανά αποτελέσματα της ρίψης τριών ζαριών ταυτόχρονα;

Η ρίψη νομισμάτων και ζαριών ή η τυφλή αφαίρεση μπάλων από ένα κουτί είναι μερικά από τα απλούστερα πειράματα που μπορούμε να πραγματοποιήσουμε για να ελέγξουμε την κατανόησή μας για τις διάφορες έννοιες που σχετίζονται με τη στατιστική. Είναι πειράματα εύκολα στην εκτέλεση, που μπορεί να κάνει ο καθένας στο σπίτι, δίνουν σαφή και ξεκάθαρα αποτελέσματα και μπορούν εύκολα να μετατραπούν σε αριθμητικά δεδομένα.

Στην περίπτωση της ρίψης ζαριών, υπάρχει επίσης μια σαφής σχέση μεταξύ τους και των τυχερών παιχνιδιών, γεγονός που κάνει την εφαρμογή στατιστικών στοιχείων πιο απτή σε κάτι που είναι μέρος της καθημερινότητας πολλών ανθρώπων ή, τουλάχιστον, κάτι με αυτό που σχεδόν όλοι από εμάς έχουν συναντήσει τουλάχιστον μία φορά στη ζωή τους.

Η ρίψη τριών ζαριών ταυτόχρονα μπορεί να παράγει διαφορετικούς τύπους αποτελεσμάτων που μπορούμε να ερμηνεύσουμε με διαφορετικούς τρόπους. Μπορεί να μας ενδιαφέρουν τα ίδια τα μεμονωμένα αποτελέσματα ή μπορεί να μας ενδιαφέρει η αξία του αθροίσματος ή ο αριθμός των ζυγών ή περιττών αποτελεσμάτων που προκύπτουν μεταξύ των ζαριών κ.λπ. Από τα τρία, το πιο συνηθισμένο είναι να ενδιαφέρεστε για το αποτέλεσμα του αθροίσματος των τιμών των τριών ζαριών. Στις επόμενες ενότητες, θα διερευνήσουμε πώς να υπολογίσουμε την πιθανότητα εμφάνισης καθενός από τα αθροίσματα όταν ρίχνουμε τρία ζάρια ταυτόχρονα.

Ο χώρος δείγματος για τη ρίψη τριών ζαριών

Η κύλιση ενός μεμονωμένου κυβικού καλουπιού είναι ένα απλό πείραμα που έχει μόνο έξι πιθανά αποτελέσματα. Δηλαδή, είναι ένα πείραμα του οποίου ο χώρος δείγματος σχηματίζεται από τα αποτελέσματα S _{1 που δίνονται} = {1; 2; 3; 4; 5; 6}.

Όταν ρίχνουμε δύο ζάρια ταυτόχρονα, μπορούμε να υποθέσουμε ότι το αποτέλεσμα κάθε ζαριού είναι ανεξάρτητο από το άλλο, έτσι ώστε το καθένα να έχει ως αποτέλεσμα οποιοδήποτε από τα έξι προηγούμενα αποτελέσματα. Αυτό έχει ως συνέπεια ότι μπορούν να δοθούν 6 ² = 36 πιθανά αποτελέσματα που αντιστοιχούν σε όλους τους πιθανούς συνδυασμούς μεταξύ των 6 τιμών του ενός καλουπιού και των 6 τιμών του άλλου.

Σε αυτήν την περίπτωση, θα έχουμε ένα δείγμα χώρου S ₂ = {11; 12; 13; 14; δεκαπέντε; 16; είκοσι ένα; 22; 23; 24; 25; 26; …; 61; 62; 63; 64; 65; 66}. Από αυτά τα 36 αποτελέσματα, ο αριθμός των μοναδικών συνδυασμών (χωρίς να λαμβάνεται υπόψη η σειρά) μπορεί να υπολογιστεί μέσω συνδυαστικής επανάληψης στην οποία λαμβάνονται ομάδες των n = 2 (τα δύο ζάρια που ρίχνονται) με m = 6 πιθανά αποτελέσματα. :

Αυτά τα 21 αποτελέσματα αντιστοιχούν σε {11; 12; 13; 14; δεκαπέντε; 16; 22; 23; 24; 25; 26; 33; 3. 4; 35; 36; 44; Τέσσερα πέντε; 46; 55; 56; 66}. Η πιθανότητα καθενός από αυτά τα αποτελέσματα αντιστοιχεί στο 1/36 πολλαπλασιαζόμενο με τον αριθμό των διαφορετικών μεταθέσεων που μπορούν να δημιουργηθούν με τα ψηφία κάθε αριθμού (1 εάν ο αριθμός επαναλαμβάνεται, όπως στα 11, 22 κ.λπ., και 2 εάν ο αριθμός δεν επαναλαμβάνεται, αφού μπορούμε να έχουμε 12 ή 21, 13 ή 31 κ.λπ.)

Στην περίπτωση της ρίψης 3 ζαριών, ο συνολικός αριθμός των πιθανών αποτελεσμάτων στο χώρο του δείγματος δίνεται από 6 ³ = 216. Αυτά τα αποτελέσματα είναι S _{3 ζάρια} = {111; 112; 113; 114; 115; 116; 121; …; 126; 131; …; 136; …; 166; 211; 212; …; 656; 666}. Σε αυτήν την περίπτωση, η πιθανότητα οποιουδήποτε μεμονωμένου αποτελέσματος πρέπει να είναι 1/216.

Πιθανότητα μεμονωμένων αποτελεσμάτων κατά τη ρίψη τριών ζαριών

Τώρα που έχουμε ορίσει καλά τον χώρο δείγματος όλων των πιθανών αποτελεσμάτων της ρίψης 3 ζαριών, ας δούμε πώς να υπολογίσουμε την πιθανότητα καθενός από τα διαφορετικά αποτελέσματα που μπορούν να ληφθούν.

Στην περίπτωση της ρίψης τριών ζαριών, δεδομένου ότι η σειρά με την οποία εμφανίζονται τα αποτελέσματα είναι άσχετη, πολλά από τα 216 αποτελέσματα θα επαναληφθούν στην πραγματικότητα. Ο συνολικός αριθμός των μοναδικών αποτελεσμάτων μπορεί να υπολογιστεί ξανά ως συνδυασμός ομάδων των 3 με 6 επιλογές η καθεμία και με δυνατότητα επαναλήψεων, δηλαδή:

Μεταξύ αυτών των 56 αποτελεσμάτων, αυτά που αποτελούνται από τρεις ίσους αριθμούς (ας τα ονομάσουμε ΑΑΑ) εμφανίζονται μόνο μία φορά. Από την άλλη, αυτά με δύο όμοια σχήματα και ένα διαφορετικό (ΑΑΒ) επαναλαμβάνονται 3 φορές το καθένα (αντιστοιχούν στις μεταθέσεις ΑΑΒ, ΑΒΑ και ΒΑΑ). Τέλος, όσοι έχουν τρεις διαφορετικές φιγούρες (ABC) θα εμφανίζονται 3! = 6 φορές (ABC, ACB, BAC, BCA, CAB και CBA).

Από αυτές τις πληροφορίες και τον συνολικό αριθμό των πιθανών αποτελεσμάτων (216), μπορούμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα κάθε αποτελέσματος ως

Ανάλογα με το αποτέλεσμα, έχει 1, 2 ή 3 διαφορετικές φιγούρες. Τα 56 πιθανά αποτελέσματα και οι πιθανότητες τους φαίνονται στον παρακάτω πίνακα:

Πιθανότητα του αθροίσματος κατά τη ρίψη τριών ζαριών

Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, όταν ρίχνετε τα ζάρια, ένα πιο σημαντικό αποτέλεσμα από τον συγκεκριμένο αριθμό στον οποίο προσγειώνεται κάθε κεφάλι είναι το άθροισμα των ζαριών. Στο πείραμα στο οποίο ρίχνονται τρία ζάρια και προκύπτει το άθροισμα, ο χώρος του δείγματος αποτελείται από όλα τα πιθανά αθροίσματα μεταξύ τριών αριθμών από το 1 έως το 6.

Η μικρότερη τιμή που μπορεί να προκύψει από αυτό το άθροισμα είναι αυτή που προκύπτει όταν τα τρία ζάρια προσγειωθούν στο 1, λαμβάνοντας άθροισμα 1+1+1 = 3, ενώ η μέγιστη τιμή αντιστοιχεί σε 6+6+6 = 18, με δυνατότητα απόκτηση οποιουδήποτε από τα ενδιάμεσα ποσά. Επομένως, ο χώρος δείγματος αυτού του πειράματος αντιστοιχεί σε:

S = {3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; έντεκα; 12; 13; 14; δεκαπέντε; 16; 17; 18}

Η τελευταία στήλη του πίνακα δείχνει τον συνολικό αριθμό των αποτελεσμάτων που δίνει κάθε άθροισμα, συμπεριλαμβανομένων των ισοδύναμων αποτελεσμάτων (από όλες τις μεταθέσεις κάθε μοναδικού συνδυασμού). Για παράδειγμα, για το άθροισμα του 15, η ρίψη των ζαριών πρέπει να είναι 366, 356 ή 555. Υπάρχουν όμως 3 μεταθέσεις των 366 (366, 636 και 663) και 6 μεταθέσεις των 356 (356, 365, 536, 563, 635 και 653) και ένα μόνο από τα 555, οπότε ο συνολικός αριθμός των πιθανών αποτελεσμάτων που ισούται με 15 είναι 10.

Με τον προηγούμενο πίνακα μπορούμε να εξασκηθούμε στον υπολογισμό της πιθανότητας κάθε αθροίσματος για τη ρίψη τριών ζαριών με δύο διαφορετικούς τρόπους. Αυτά αναφέρονται αναλυτικά παρακάτω.

Στρατηγική 1: Χρήση της πιθανότητας για κάθε μοναδικό αποτέλεσμα

Η πρώτη στρατηγική είναι να προσθέσετε την πιθανότητα όλων των μοναδικών αποτελεσμάτων που μπορεί να δώσει κάθε άθροισμα. Αυτό περιλαμβάνει τη χρήση των μοναδικών αποτελεσμάτων από την τρίτη στήλη και την αντίστοιχη πιθανότητα κάθε αποτελέσματος που παρουσιάζεται παραπάνω.

Παράδειγμα

Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα το άθροισμα των τριών ζαριών να είναι 11 (δηλαδή P(11)). Σε αυτήν την περίπτωση, υπάρχουν 6 μοναδικοί συνδυασμοί (ανεξαρτήτως σειράς) που δίνουν άθροισμα 11. Αυτά τα αποτελέσματα είναι (σύμφωνα με την τρίτη στήλη του παραπάνω πίνακα): {146; 155; 236; 245; 335; 344}.

Η πιθανότητα κάθε αποτελέσματος προσδιορίζεται με βάση τον συνολικό αριθμό των πιθανών μεταθέσεων σε κάθε περίπτωση, όπως εξηγήθηκε στην προηγούμενη ενότητα. Σε αυτήν την περίπτωση:

Επομένως, η πιθανότητα το αποτέλεσμα του αθροίσματος να είναι 11 θα είναι:

Ομοίως, αν θέλαμε την πιθανότητα ότι το άθροισμα είναι 16, το αποτέλεσμα θα ήταν το άθροισμα των πιθανοτήτων του 466 και του 556, που είναι και οι δύο ίσες με 1/72, οπότε η πιθανότητα θα ήταν:

Στρατηγική 2: Χρήση του συνολικού αριθμού αποτελεσμάτων που αντιστοιχεί σε κάθε άθροισμα

Σε αυτή την περίπτωση, ακολουθείται μια απλούστερη διαδρομή, αρκεί να υπάρχει μια λίστα με όλα τα πιθανά αποτελέσματα για κάθε άθροιση, συμπεριλαμβανομένων των μεταθέσεων. Τότε η πιθανότητα κάθε αθροίσματος είναι απλώς ο συνολικός αριθμός των αποτελεσμάτων για το άθροισμα διαιρεμένος με τον συνολικό αριθμό των πιθανών αποτελεσμάτων (216).

Παράδειγμα

Στην περίπτωση του αθροίσματος = 11, ο συνολικός αριθμός των πιθανών αποτελεσμάτων που δίνουν το εν λόγω άθροισμα είναι 27 (δείτε την τρίτη στήλη του προηγούμενου πίνακα), οπότε η πιθανότητα το άθροισμα του 11 να είναι:

Όπως μπορείτε να δείτε, το αποτέλεσμα είναι το ίδιο με πριν και είναι πολύ απλό αν έχουμε ήδη χτισμένο έναν πίνακα σαν τον προηγούμενο. Ωστόσο, για πιο περίπλοκες περιπτώσεις όπου υπάρχουν περισσότερα πιθανά αποτελέσματα (όπως η ρίψη 4, 5 ή 4 ζαριών), αυτή η στρατηγική μπορεί να είναι λιγότερο βολική και η πρώτη πιο πρακτική.

βιβλιογραφικές αναφορές

Graffe, S. (2021, 21 Σεπτεμβρίου). Ποια είναι η πιθανότητα όταν ρίχνετε τρία ζάρια, να πάρετε ένα άθροισμα 7; Quora. https://en.quora.com/What%C3%A9-probabilidad-hay-que-al-lanzar-tres-dados-salga-una-sumatoria-de-7

Montagud Rubio, N. (2022, 17 Μαρτίου). Τεχνικές μέτρησης: τύποι, τρόπος χρήσης και παραδείγματα . Ψυχολογία και Νους. https://psicologiaymente.com/miscelanea/tecnicas-de-conteo

Υπνάκος. (2017, 16 Νοεμβρίου). Τεχνικές Καταμέτρησης Πιθανοτήτων και Στατιστικής . Naps Τεχνολογία και εκπαίδευση. https://naps.com.mx/blog/tecnicas-de-conteo-en-probabilidad-y-estadistica/

Valdés Gómez, J. (2016, 23 Νοεμβρίου). Συνδυασμοί με επανάληψη . Youtube. https://www.youtube.com/watch?v=WqHZx64RW-Q