Ο κανόνας του συμπληρώματος στη στατιστική

Στις στατιστικές και τις πιθανότητες, ο κανόνας του συμπληρώματος ορίζει ότι η πιθανότητα να συμβεί οποιοδήποτε γεγονός Α θα είναι πάντα ίση με τη μονάδα μείον την πιθανότητα να συμβεί το αντίθετο ή συμπληρωματικό γεγονός του Α . Με άλλα λόγια, είναι ένας κανόνας που υποδεικνύει ότι οι πιθανότητες ενός γεγονότος και του συμπληρώματός του συνδέονται μέσω της ακόλουθης έκφρασης:

Αυτός ο κανόνας είναι μια από τις βασικές ιδιότητες της πιθανότητας και μας λέει ότι μπορούμε πάντα να υπολογίσουμε την πιθανότητα οποιουδήποτε γεγονότος αν γνωρίζουμε την πιθανότητα του συμπληρώματός του και το αντίστροφο. Αυτό είναι ιδιαίτερα σημαντικό, καθώς σε πολλές πραγματικές καταστάσεις όπου πρέπει να υπολογίσουμε την πιθανότητα ενός γεγονότος είναι πολύ πιο εύκολο να υπολογίσουμε την πιθανότητα του συμπληρώματός του απευθείας. Στη συνέχεια, αφού υπολογιστεί αυτό, χρησιμοποιούμε τον κανόνα του συμπληρώματος για να προσδιορίσουμε την πιθανότητα που θέλαμε αρχικά.

Μερικά απλά παραδείγματα εφαρμογής αυτού του κανόνα είναι:

• Εάν η πιθανότητα η Ρεάλ Μαδρίτης να κερδίσει έναν αγώνα ποδοσφαίρου Champions League είναι 34/57 ή 0,5965, η πιθανότητα να μην κερδίσει έναν αγώνα Champions League είναι 1-34/57 = 23/57 ή 0,4035.
• Η πιθανότητα μια κοινή μήτρα 6 πλευρών να προσγειωθεί σε ζυγό αριθμό μικρότερο από το 6 είναι 1/3, επομένως η πιθανότητα η μήτρα να μην προσγειωθεί σε ζυγό αριθμό μικρότερο από το 6 είναι 2/3.

Απόδειξη του κανόνα του συμπληρώματος

Ο κανόνας του συμπληρώματος μπορεί να αποδειχθεί με πολλούς διαφορετικούς τρόπους, οποιοσδήποτε από τους οποίους θα διευκολύνει τον αναγνώστη να θυμάται. Για να κάνουμε αυτή την επίδειξη, πρέπει να ξεκινήσουμε ορίζοντας κάποιους βασικούς όρους όπως τι είναι ένα γεγονός και ποιο είναι το συμπλήρωμά του. Επιπλέον, πρέπει να αναφέρουμε μερικά από τα κύρια αξιώματα στα οποία βασίζεται η πιθανότητα.

Πειράματα, αποτελέσματα, δειγματοληπτικός χώρος και γεγονότα

Στα στατιστικά και πιθανότητες μιλάμε για τη διεξαγωγή πειραμάτων , όπως το ρίξιμο νομισμάτων, η ρίψη ενός ζαριού, η επιλογή κάρτας ή τράπουλας από μια τυχαία ανακατεμένη τράπουλα κ.λπ. Κάθε φορά που πραγματοποιούμε ένα πείραμα, παίρνουμε ένα αποτέλεσμα , όπως την επιλογή των 2 συλλόγων από την τράπουλα των Ισπανικών τραπουλόχαρτων.

Το συνολικό σύνολο όλων των πιθανών διαφορετικών αποτελεσμάτων που μπορεί να δώσει ένα πείραμα ονομάζεται χώρος δείγματος και συνήθως αντιπροσωπεύεται από το γράμμα S.

Από την άλλη πλευρά, ένα συγκεκριμένο αποτέλεσμα ή σύνολο αποτελεσμάτων του πειράματος είναι γνωστό ως γεγονός . Τα συμβάντα μπορεί να είναι μεμονωμένα αποτελέσματα, οπότε ονομάζονται απλά γεγονότα ή μπορεί να είναι σύνθετα γεγονότα που αποτελούνται από περισσότερα από ένα στοιχεία ή αποτελέσματα.

Τι είναι το πρόσθετο ενός συμβάντος;

Το συμπλήρωμα ενός γεγονότος δεν είναι τίποτα άλλο από το σύνολο όλων των άλλων πιθανών αποτελεσμάτων στον χώρο του δείγματος που δεν περιλαμβάνουν τα αποτελέσματα του ίδιου του γεγονότος . Στην περίπτωση του παραδείγματος κύλισης ζαριού, το συμπλήρωμα του γεγονότος στο οποίο το ζάρι προσγειώνεται στις 5, για παράδειγμα, είναι ένα άλλο γεγονός στο οποίο το ζάρι προσγειώνεται στις 1, 2, 3, 4 ή 6, ή οτιδήποτε άλλο. Το ίδιο είναι, δεν πέφτει στο 5.

Τα πρόσθετα συχνά αναπαρίστανται με διαφορετικούς τρόπους. Οι δύο πιο κοινές μορφές είναι:

• Τοποθετώντας μια κάθετο πάνω από το όνομα του συμβάντος (για παράδειγμα, το A̅ αντιπροσωπεύει το συμπλήρωμα του συμβάντος Α).
• Τοποθέτηση ενός C ως εκθέτη (A ^C ).

Και στις δύο περιπτώσεις, διαβάζεται “Α-συμπλήρωμα”, “συμπλήρωμα του Α” ή “Όχι Α”.

Ένας εύκολος τρόπος για να κατανοήσετε τόσο την έννοια της προσθήκης όσο και τον κανόνα της προσθήκης είναι χρησιμοποιώντας τα διαγράμματα Venn . Το παρακάτω σχήμα δείχνει ένα απλό διάγραμμα οποιουδήποτε πειράματος και ενός μεμονωμένου γεγονότος που θα ονομάσουμε Α.

Σε διαγράμματα Venn όπως αυτό, ολόκληρο το ορθογώνιο αντιπροσωπεύει το χώρο του δείγματος του πειράματος, ενώ ολόκληρη η περιοχή του ορθογωνίου (στην περίπτωση αυτή, τόσο η γκρίζα όσο και η μπλε περιοχή) αντιπροσωπεύει την πιθανότητα του δειγματοληπτικού χώρου, η οποία, με ορισμός , ισούται με 1. Αυτό συμβαίνει γιατί, εάν πραγματοποιήσουμε ένα πείραμα, είναι απολύτως βέβαιο ότι θα προκύψει κάποιο αποτέλεσμα που περιέχεται στον χώρο του δείγματος, αφού περιέχει όλα τα πιθανά αποτελέσματα.

Ο μπλε κύκλος περικλείει την περιοχή του χώρου προβολής στην οποία υποτίθεται ότι βρίσκονται όλα τα πιθανά αποτελέσματα του συμβάντος Α. Για παράδειγμα, εάν το συμβάν Α κυλά έναν ζυγό αριθμό, τότε αυτή η μπλε περιοχή πρέπει να περιέχει τα αποτελέσματα 2, 4 και 6 Από την άλλη, όλη η περιοχή που βρίσκεται εκτός του συμβάντος Α (δηλαδή η γκρίζα ζώνη), είναι το συμπλήρωμα του Α αφού περιέχει τα άλλα αποτελέσματα (1, 3 και 5).

Ο κανόνας του συμπληρώματος και τα διαγράμματα Venn

Ένα κλειδί για την κατανόηση του κανόνα του συμπληρώματος χρησιμοποιώντας τα διαγράμματα Venn είναι ότι το εμβαδόν οποιουδήποτε γεγονότος μέσα σε αυτά τα διαγράμματα είναι ανάλογο της πιθανότητάς του. το συνολικό εμβαδόν του ορθογωνίου αντιστοιχεί σε πιθανότητα 1. Όπως μπορούμε να δούμε ξεκάθαρα, το συμβάν Α (μπλε κύκλος) και το συμπλήρωμά του, A̅ (γκρίζα περιοχή) μαζί σχηματίζουν ολόκληρο το ορθογώνιο.

Για το λόγο αυτό, το άθροισμα των εμβαδών τους, που αντιπροσωπεύουν τις αντίστοιχες πιθανότητες τους, πρέπει να είναι ίσο με 1, που είναι το εμβαδόν του δειγματοληπτικού χώρου, S. Αναδιατάσσοντας αυτό, θα λάβαμε:

Αυτός είναι ο κανόνας του συμπληρώματος.

Ο κανόνας του συμπληρώματος από τα αξιώματα της πιθανότητας

Οποιοδήποτε γεγονός και το συμπλήρωμά του σχηματίζουν ένα ζεύγος ασύνδετων ή αμοιβαία αποκλειόμενων γεγονότων, αφού αν συμβεί το ένα, είναι αδύνατο, εξ ορισμού, να συμβεί το άλλο. Υπό αυτές τις συνθήκες, η πιθανότητα ένωσης αυτών των δύο γεγονότων δίνεται απλώς από το άθροισμα των επιμέρους πιθανοτήτων. Δηλαδή:

Επίσης, όπως είπαμε και προηγουμένως, η ένωση των γεγονότων Α και του συμπληρώματός του, A ^C , έχει ως αποτέλεσμα τον χώρο του δείγματος:

Αντικαθιστώντας το P(AUC ^C ) στην παραπάνω εξίσωση και στη συνέχεια αντικαθιστώντας την πιθανότητα του S που εξ ορισμού είναι 1, παίρνουμε:

Αναδιατάσσοντας τα δύο τελευταία μέλη παίρνουμε τον κανόνα του συμπληρώματος.

Παράδειγμα προβλήματος εφαρμογής κανόνα προσθήκης

Το παρακάτω είναι ένα παράδειγμα τυπικού προβλήματος όπου η χρήση του κανόνα της προσθήκης είναι ιδιαίτερα χρήσιμη.

δήλωση

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα κύκλωμα που αποτελείται από 5 πανομοιότυπα τσιπ συνδεδεμένα σε σειρά, δηλαδή το ένα μετά το άλλο. Η πιθανότητα να αποτύχει ένα τσιπ μέσα στο πρώτο έτος της κατασκευής του είναι 0,0002. Εάν κάποια από τις 5 μάρκες αποτύχει, ολόκληρο το σύστημα αποτυγχάνει. Θέλετε να βρείτε την πιθανότητα ότι το σύστημα θα αποτύχει τον πρώτο χρόνο.

Λύση

Ας ονομάσουμε F (για αποτυχία) το αποτέλεσμα στο οποίο αποτυγχάνει ένα στοιχείο ή τσιπ συστήματος και Ε (επιτυχία) για το αποτέλεσμα στο οποίο το στοιχείο δεν αποτυγχάνει ή, το ίδιο, λειτουργεί. Στη συνέχεια, τα στοιχεία που παρέχονται από τη δήλωση είναι:

Το πείραμα στο οποίο προσδιορίζεται εάν ολόκληρο το σύστημα αποτυγχάνει στην πραγματικότητα αντιστοιχεί στη διεξαγωγή 5 ταυτόχρονων πειραμάτων στα οποία καθορίζεται εάν κάποιο από τα στοιχεία αποτυγχάνει. Έτσι, ο χώρος του δείγματος για αυτό το πείραμα αποτελείται από όλους τους συνδυασμούς αποτελεσμάτων επιτυχίας ή αποτυχίας σε καθένα από τα 5 συστατικά. Όντας συνδεδεμένοι σε σειρά, γνωρίζουμε ότι η σειρά έχει σημασία. Επομένως, ο χώρος του δείγματος σχηματίζεται από:

Αυτός ο χώρος δείγματος περιέχει 2 ⁵ = 32 πιθανά αποτελέσματα που αντιστοιχούν σε όλους τους πιθανούς συνδυασμούς των Es και Fs. Εφόσον θέλουμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα να αποτύχει το σύστημα, το γεγονός που μας ενδιαφέρει, το οποίο θα ονομάσουμε συμβάν Α, δίνεται από όλα τα αποτελέσματα στα οποία τουλάχιστον ένα από τα στοιχεία αποτυγχάνει. Με άλλα λόγια, δίνεται από το ακόλουθο σύνολο αποτελεσμάτων:

Στην πραγματικότητα, υπάρχουν 2 ⁵ -1=31 πιθανά αποτελέσματα στα οποία τουλάχιστον ένα από τα πέντε συστατικά αποτυγχάνει. Αν θέλαμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα του Α (δηλαδή του P(A)), θα έπρεπε να υπολογίσουμε την πιθανότητα καθενός από αυτά τα αποτελέσματα. θα ήταν σημαντική δουλειά.

Ωστόσο, ας εξετάσουμε τώρα το συμπληρωματικό γεγονός του Α, δηλαδή το γεγονός στο οποίο λειτουργεί το σύστημα (το οποίο θα ονομάσουμε A ^C ). Όπως μπορούμε να δούμε, ο μόνος τρόπος για να λειτουργήσει ολόκληρο το σύστημα είναι να λειτουργήσουν και τα πέντε στοιχεία του κυκλώματος, δηλαδή:

Ο υπολογισμός αυτής της πιθανότητας είναι πολύ πιο εύκολος από τον υπολογισμό της προηγούμενης. Στη συνέχεια, δεδομένης αυτής της πιθανότητας, χρησιμοποιούμε τον κανόνα του συμπληρώματος για να υπολογίσουμε την πιθανότητα του Α. Δεδομένου ότι τα αποτελέσματα κάθε τσιπ είναι ανεξάρτητα γεγονότα το ένα από το άλλο, η πιθανότητα του A ^C είναι απλώς το γινόμενο της πιθανότητας ότι κάθε τσιπ λειτουργεί, λέμε :

Ποια είναι όμως η πιθανότητα του Ε; Να θυμάστε ότι κάθε τσιπ είτε λειτουργεί είτε δεν λειτουργεί, επομένως το Ε είναι το συμπλήρωμα του F. Επομένως, εάν έχουμε την πιθανότητα του F (η οποία δίνεται στην άσκηση), μπορούμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα του Ε χρησιμοποιώντας τον κανόνα συμπληρώματος :

Τώρα μπορούμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα να λειτουργεί το πλήρες σύστημα:

Και, εφαρμόζοντας πάλι τον κανόνα του συμπληρώματος, υπολογίζουμε την πιθανότητα να αποτύχει το σύστημα:

Απάντηση

Η πιθανότητα να αποτύχει το σύστημα τον πρώτο χρόνο είναι 0,010 ή 1,0%.

βιβλιογραφικές αναφορές

Devore, JL (1998). ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΚΑΙ ΤΙΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ . International Thomson Publishers, SA

Συμπληρωματικός κανόνας . (ν). Fhybea. https://www.fhybea.com/complement-rule.html

Κανόνας του συμπληρώματος στις πιθανότητες . (2021, 1 Ιανουαρίου). MateMobile. https://matemovil.com/regla-del-complemento-en-probabilidades/