Τι είναι ο μέσος όρος στα μαθηματικά;

Στα μαθηματικά, ένας μέσος όρος, που ονομάζεται επίσης μέσος όρος, είναι ένας αριθμός που συνοψίζει την τιμή ενός συνόλου αριθμών ή δεδομένων σε ένα . Είναι γνωστό ως μέτρο κεντρικής τάσης επειδή αντιπροσωπεύει, κατά κάποιο τρόπο, μια τιμή που βρίσκεται στο κέντρο μιας συλλογής δεδομένων.

Σε τι χρησιμεύουν οι μέσοι όροι;

Οι μέσοι όροι είναι πολύ χρήσιμοι, καθώς μας επιτρέπουν να δούμε με ευρείες πινελιές τη συμπεριφορά ενός μεγάλου αριθμού δεδομένων χωρίς να χαθούμε στις λεπτομέρειες καθεμιάς από τις μεμονωμένες τιμές. Για να χρησιμοποιήσουμε μια αναλογία, ο υπολογισμός ενός μέσου όρου μας επιτρέπει να δούμε το δάσος ως σύνολο, αντί να εστιάσουμε στα δέντρα.

Για παράδειγμα, μπορούμε να έχουμε έναν πίνακα στον οποίο είναι οι τιμές του ύψους 100 μαθητών της ίδιας τάξης ενός εκπαιδευτικού ιδρύματος. Πιθανότατα, κανένα από αυτά τα άτομα δεν έχει ακριβώς το ίδιο ύψος, επομένως οι περισσότερες από τις τιμές στον πίνακα θα είναι διαφορετικές.

Τι θα συνέβαινε αν κάποιος μας ρωτούσε πόσο ψηλοί έχουν οι μαθητές αυτής της τάξης σε αυτήν την πανεπιστημιούπολη; Θα ήταν λάθος να δώσουμε το ύψος οποιουδήποτε από αυτά ως απάντηση. Εδώ αρχίζουν να βοηθούν οι μέσοι όροι. Αντί να αναφέρετε 100 διαφορετικά ύψη, ο μέσος όρος σας επιτρέπει να συνοψίσετε όλες αυτές τις πληροφορίες σε έναν μόνο αριθμό. Θα μπορούσαμε, λοιπόν, να πούμε ότι οι φοιτητές στην πανεπιστημιούπολη έχουν, κατά μέσο όρο, ύψος 1,67 μ. (αν ήταν έτσι).

Αυτό δεν σημαίνει ότι δεν έχουν όλοι οι μαθητές το 1,67, ούτε καν ότι κάποιος από αυτούς έχει αυτό το ύψος. Απλώς, ο αριθμός που αντιπροσωπεύει καλύτερα το ύψος των μαθητών αυτής της τάξης σε αυτήν την πανεπιστημιούπολη είναι 1,67 m.

Απώλεια πληροφοριών με τον υπολογισμό των μέσων όρων

Προφανώς, συνοψίζοντας τα δεδομένα σε μέσο όρο, χάνετε πολλές πληροφορίες. Οι πληροφορίες θυσιάζονται για τη σαφήνεια. Ο υπολογισμός των μέσων όρων είναι μέρος αυτού που είναι γνωστό ως περιγραφική στατιστική, που δεν είναι τίποτα άλλο από ένα σύνολο τεχνικών και υπολογισμών που επιτρέπουν τη συμπεριφορά ή τα χαρακτηριστικά μιας μεγάλης συλλογής δεδομένων να περιγράφονται με λίγους αριθμούς.

Οι μέσοι όροι από μόνοι τους συνήθως δεν παρέχουν αρκετές πληροφορίες για πολλές από τις εφαρμογές που τους δίνουμε. Για να ανακτηθούν ορισμένες από τις πληροφορίες που λείπουν, συχνά αναφέρονται μέσοι όροι μαζί με κάποιο μέτρο της διασποράς μεμονωμένων δεδομένων γύρω από τη μέση τιμή, όπως η διακύμανση ή η τυπική απόκλιση.

Τύποι μέσου όρου και οι τύποι τους

Υπάρχουν διάφοροι τρόποι υπολογισμού ενός μέσου όρου από μια συλλογή δεδομένων. Αυτό οδηγεί σε διαφορετικούς τύπους μέσων όρων ή, μάλλον, μέσων.

• Αριθμητικός μέσος όρος (X̅ ή AM)
• Σταθμισμένος αριθμητικός μέσος όρος (WAM)
• Γεωμετρικός μέσος όρος (GM)
• Αρμονική Μέση (HM)
• Μέσο τετράγωνα ρίζας (RMS)

Αριθμητικός μέσος όρος (X̅ ή AM)

Ο αριθμητικός μέσος όρος, ή AM, είναι η πιο συχνά χρησιμοποιούμενη μορφή μέσου όρου στην καθημερινή ζωή. Είναι ένα απλό άθροισμα των στοιχείων που πρέπει να υπολογιστούν κατά μέσο όρο, διαιρούμενο με τον συνολικό αριθμό στοιχείων ή δεδομένων.

Ο αριθμητικός μέσος όρος αντιπροσωπεύεται σε πολλά μαθηματικά περιβάλλοντα από το σύμβολο που αντιπροσωπεύει τη μεταβλητή που υπολογίζεται κατά μέσο όρο με μια γραμμή πάνω από αυτήν. Για παράδειγμα, ο αριθμητικός μέσος όρος της μεταβλητής X αναπαρίσταται ως X̅ (X-bar). Επίσης μερικές φορές αντιπροσωπεύεται από το AM _X. Ο τύπος του δίνεται από:

Σε αυτήν την εξίσωση, το X _i αντιπροσωπεύει το iο μεμονωμένο στοιχείο δεδομένων και n είναι ο συνολικός αριθμός των στοιχείων δεδομένων που υπολογίζονται κατά μέσο όρο.

Αυτός ο μέσος όρος έχει το χαρακτηριστικό ότι βρίσκεται στο κέντρο όλων των δεδομένων, με τέτοιο τρόπο ώστε το άθροισμα των αποκλίσεων όλων των επιμέρους δεδομένων ως προς τον μέσο όρο να είναι πάντα μηδέν.

Ο αριθμητικός μέσος όρος είναι πολύ ευαίσθητος σε ακραίες τιμές ή ακραία δεδομένα. Δηλαδή, όταν υπάρχει μια τιμή σε ένα σύνολο δεδομένων που είναι είτε πολύ μεγαλύτερη από τη συντριπτική πλειονότητα των άλλων δεδομένων είτε πολύ μικρότερη, αυτά τα ακραία δεδομένα τραβούν τον μέσο όρο προς αυτήν, μακριά από την πλειοψηφία των άλλων δεδομένων.

Σταθμισμένος αριθμητικός μέσος όρος (WAM ή W)

Ο αριθμητικός μέσος όρος δίνει την ίδια σημασία ή βάρος σε όλα τα δεδομένα που υπολογίζονται κατά μέσο όρο. Ωστόσο, αυτό δεν είναι πάντα βολικό, καθώς ορισμένα δεδομένα μπορεί να είναι πιο σημαντικά από άλλα. Σε αυτές τις περιπτώσεις, χρησιμοποιείται ο σταθμισμένος αριθμητικός μέσος όρος ή ο σταθμισμένος μέσος όρος, ο οποίος συνήθως αντιπροσωπεύεται από το σύμβολο W (από τα αγγλικά ” weighted average” ).

Στον σταθμισμένο μέσο όρο, η σχετική σημασία κάθε στοιχείου δεδομένων καταχωρείται στον υπολογισμό με τη μορφή ενός συγκεκριμένου συντελεστή στάθμισης ( w _i ) για κάθε στοιχείο δεδομένων ( X _i ). Όσο μεγαλύτερη είναι η σημασία των δεδομένων, τόσο μεγαλύτερος είναι ο συντελεστής στάθμισής τους, αυξάνοντας έτσι την επιρροή τους στον τελικό μέσο όρο. Ο τύπος για τον υπολογισμό του σταθμισμένου μέσου όρου είναι:

Ο συντελεστής στάθμισης μπορεί να επιλεγεί αυθαίρετα και σε ορισμένες περιπτώσεις μπορεί ακόμη και να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας μια κατάλληλη συνάρτηση στάθμισης, όπως κρίνεται απαραίτητο.

Ένα παράδειγμα κατάστασης όπου ο σταθμισμένος μέσος όρος είναι καταλληλότερος από τον απλό μέσο όρο δίνεται στην περίπτωση υπολογισμού του μέσου όρου βαθμολογίας ενός μαθητή. Ο αριθμητικός μέσος όρος ή ο απλός μέσος όρος δεν ενδείκνυται για αυτές τις περιπτώσεις, καθώς υπάρχουν θέματα που απαιτούν πολύ περισσότερη δουλειά και αφοσίωση από άλλα, καθώς και θέματα που είναι πιο σημαντικά από άλλα για το ακαδημαϊκό μέλλον του μαθητή. Για το λόγο αυτό, θα πρέπει να συνεισφέρουν περισσότερο στη ΣΔΣ παρά λιγότερο σημαντικά θέματα.

Σε αυτές τις περιπτώσεις, ως συντελεστής στάθμισης χρησιμοποιείται συνήθως ο αριθμός των πιστωτικών μονάδων του υποκειμένου.

γεωμετρικός μέσος όρος (GM)

Κατά τον υπολογισμό του γεωμετρικού μέσου όρου, αντί να λαμβάνεται το άθροισμα των δεδομένων και να διαιρεθεί με τον αριθμό των δεδομένων, πολλαπλασιάζονται τα n μεμονωμένα δεδομένα και λαμβάνεται η ν η ρίζα του κοινού γινόμενου.

Αυτός ο μέσος όρος έχει την ιδιότητα να είναι μηδέν εάν κάποιο από τα δεδομένα που υπολογίζονται κατά μέσο όρο είναι μηδέν. Επίσης, εάν ο αριθμός των στοιχείων δεδομένων είναι άρτιος, τότε ο γεωμετρικός μέσος όρος δεν ορίζεται για τα αρνητικά δεδομένα, γι’ αυτό και η χρησιμότητά του περιορίζεται σε αυστηρά θετικούς αριθμούς.

Αυτός ο τύπος μέσου όρου χρησιμοποιείται συχνά κατά τον υπολογισμό των μέσων ποσοστών.

Αρμονική Μέση (HM)

Ο αρμονικός μέσος όρος, ή HM, είναι ένας τύπος μέσου όρου που χρησιμοποιείται συχνά για τον μέσο όρο ποσοτήτων που υπολογίζονται ως προϊόντα ή πηλίκα. Μερικά σημαντικά παραδείγματα είναι ο υπολογισμός των μέσων ταχυτήτων σε ταξίδια ίσης διάρκειας, ο λόγος τιμής/κέρδους (PER) των επενδύσεων στο χρηματιστήριο κ.λπ.

Ο τύπος για τον υπολογισμό του αρμονικού μέσου όρου αποτελείται από το αντίστροφο του αριθμητικού μέσου όρου των αντιστρόφων των επιμέρους δεδομένων. Με άλλα λόγια, δίνεται από την ακόλουθη εξίσωση:

Μέσο τετράγωνο ρίζας (RMS)

Γνωστό και ως ρίζα μέσου τετραγώνου, το RMS αντιπροσωπεύει έναν τύπο μέσου όρου κατάλληλου για δεδομένα που έχουν θετικές και αρνητικές τιμές. Αυτό συμβαίνει γιατί αντιστοιχεί στην τετραγωνική ρίζα του αριθμητικού μέσου όρου των τετραγώνων των επιμέρους δεδομένων. Τετραγωνίζοντας κάθε στοιχείο δεδομένων, το αποτέλεσμα που προκύπτει θα είναι πάντα θετικό, επομένως η επιρροή αυτού του σημείου στον υπολογισμό του μέσου όρου εξαλείφεται.

Το RMS δίνεται από:

Η πιο κοινή εφαρμογή του RMS είναι ο υπολογισμός της ενεργού τάσης του εναλλασσόμενου ρεύματος με ημιτονοειδές κύμα. Σε αυτή την περίπτωση, το πιο σημαντικό είναι το μέσο πλάτος του κύματος και όχι η μέση τιμή της τάσης, η οποία είναι μηδέν λόγω συμμετρίας γύρω στα 0 V.

Άλλα μέτρα κεντρικής τάσης: η διάμεσος και ο τρόπος

Εκτός από τα διαφορετικά μέσα που είδαμε πριν, υπάρχουν και άλλα μέτρα κεντρικής τάσης που χρησιμοποιούνται κυρίως στη στατιστική. Αυτά είναι η διάμεσος και ο τρόπος.

Η διάμεσος (X̃)

Σε ένα σύνολο ποσοτικών δεδομένων ταξινομημένων από το μικρότερο στο μεγαλύτερο, η διάμεσος αντιπροσωπεύει τα κεντρικά δεδομένα ή την τιμή της μεταβλητής που χωρίζει τις σειρές δεδομένων σε δύο μισά ή σύνολα με τον ίδιο αριθμό δεδομένων. Με αυτόν τον τρόπο, ο προσδιορισμός της διάμεσης τιμής, η οποία αναπαρίσταται με την τοποθέτηση μιας περισπωμένης ή περισπωμένης πάνω από το σύμβολο της μεταβλητής ενδιαφέροντος (για παράδειγμα, το ṽ θα μπορούσε να αντιπροσωπεύει τη διάμεσο μιας σειράς δεδομένων ταχύτητας), εξαρτάται από τον συνολικό αριθμό διαθέσιμα δεδομένα.

Η διάμεσος δεν υπολογίζεται απαραίτητα, αλλά προσδιορίζεται σε ένα σύνολο δεδομένων. Για να προσδιορίσετε τη διάμεσο, το πρώτο πράγμα που πρέπει να κάνετε είναι να ταξινομήσετε όλα τα δεδομένα από το μικρότερο στο μεγαλύτερο και στη συνέχεια να τα αριθμήσετε με τη σειρά από το 1 και μετά. Το επόμενο βήμα εξαρτάται από το εάν ο συνολικός αριθμός των δεδομένων (n) που υπάρχουν είναι άρτιος ή περιττός:

Αριθμός περιττών δεδομένων: Εάν η σειρά περιέχει περιττό αριθμό δεδομένων, τότε η διάμεσος θα είναι τα δεδομένα που προσδιορίζονται με τον αριθμό (n+1)/2. Για παράδειγμα, εάν υπάρχουν συνολικά 15 σημεία δεδομένων, η διάμεσος θα είναι το σημείο δεδομένων (15+1)2=8, αφού αυτό αφήνει 7 σημεία δεδομένων κάτω και 7 σημεία δεδομένων πάνω από τη διάμεσο.

Αριθμός ζυγών δεδομένων: Στην περίπτωση αυτή δεν υπάρχει κεντρικό στοιχείο που να χωρίζει τη σειρά σε δύο ίσα μισά, επομένως η διάμεσος υπολογίζεται ως ο αριθμητικός μέσος όρος των δύο κεντρικών δεδομένων, δηλαδή του αριθμού δεδομένων n/2 και των δεδομένων (n/2) +1. Για παράδειγμα, εάν μια σειρά δεδομένων περιέχει 24 στοιχεία δεδομένων, τότε η διάμεσος θα είναι ο απλός μέσος όρος μεταξύ του στοιχείου δεδομένων 2/2=12 και του στοιχείου δεδομένων (2/24)+1=13.

Η διάμεσος προσφέρει το πλεονέκτημα ότι είναι λιγότερο ευαίσθητη σε ακραίες τιμές από τη μέση τιμή. Ωστόσο, δεν είναι καλό μέτρο κεντρικής τάσης εάν τα δεδομένα είναι λοξά.

Η λειτουργία (Mo _X )

Η λειτουργία είναι απλώς η πιο συχνά εμφανιζόμενη τιμή ή κατηγορία σε ένα σύνολο δεδομένων. Είναι κάτι σαν την πιο «καυτή» τιμή στη σειρά και αντιπροσωπεύει την υψηλότερη κορυφή όταν τα δεδομένα αναπαρίστανται με τη μορφή ιστογράμματος.

Παράδειγμα υπολογισμού διαφορετικών μέσων όρων

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε την ακόλουθη σειρά δεδομένων που αντιστοιχεί στο ύψος 30 μαθητών σε ένα τμήμα μαθηματικών σε ένα σχολείο της πρωτεύουσας. Όλα τα ύψη είναι σε μέτρα.

Από αυτά τα δεδομένα προσδιορίστε α) τον αριθμητικό μέσο όρο. β) ο γεωμετρικός μέσος όρος. γ) ο αρμονικός μέσος όρος. δ) το RMS, και ε) το διάμεσο.

Λύση

Εφόσον μας ζητείται να προσδιορίσουμε τη διάμεσο και για αυτό πρέπει να έχουμε τα δεδομένα να ταξινομηθούν και να προσδιοριστούν, θα ξεκινήσουμε από εκεί, καθώς αυτό συνήθως διευκολύνει τους άλλους υπολογισμούς:

Τώρα, χρησιμοποιώντας αυτόν τον πίνακα, θα υπολογίσουμε τα μέσα που μας ζητείται να υπολογίσουμε. Και στις δύο περιπτώσεις, είναι απλώς θέμα εφαρμογής των εξισώσεων που φαίνονται παραπάνω:

Αριθμητικός μέσος όρος

Γεωμετρικό μέσο

αρμονική μέση

RMS

Διάμεσος

Καθώς πρόκειται για ζυγό αριθμό δεδομένων, η διάμεσος θα είναι ο αριθμητικός μέσος όρος των δεδομένων 30/2=15 και (30/2)+1=16, δηλαδή θα είναι ο μέσος όρος μεταξύ 1,58 και 1,59:

βιβλιογραφικές αναφορές

Conthe, M. (2017, 21 Ιουλίου). Αριθμητικός μέσος ή γεωμετρικός μέσος όρος; Επέκταση. https://www.expansion.com/blogs/conthe/2017/07/21/un-calculo-poco-armonico.html

Απολαύστε τα Μαθηματικά. (2011). Ορισμός: Μέσος όρος . Enjoythemathematics.com. https://www.disfrutalasmatematicas.com/definiciones/average.html

Larios, R. (2020, 9 Σεπτεμβρίου). Ποιος είναι ο μέσος όρος στα μαθηματικά; Μάθετε στο σπίτι II . Ένωση Χαλίσκο. https://www.unionjalisco.mx/2020/09/09/que-es-el-promedio-en-matematicas-aprende-en-casa-ii/

López, JF (2021, 2 Φεβρουαρίου). γεωμετρικός μέσος όρος . Economipedia. https://economipedia.com/definiciones/media-geometrica.html

Μαθηματικά, Μ. (2020, 25 Ιουνίου). μέσοι όροι? Αριθμητική; γεωμετρική και αρμονική? ιδιότητες; εφαρμογές . Μαθηματικά. https://matematicas.review/promedios-aritmetico-geometrico-y-armonico-propiedades-aplicaciones/

Pérez P., J., & Merino, M. (2011). Ορισμός μέσου όρου . Ορισμός του. https://definicion.de/average/

Το Ανοικτό Πανεπιστήμιο. (2020). Βασική επιστήμη: κατανόηση αριθμών . OpenLearn. Διαθέσιμο στη διεύθυνση https://www.open.edu/openlearn/science-maths-technology/basic-science-understanding-numbers/content-section-overview .