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Die Standardabweichung eines Datensatzes oder einer Stichprobe aus einer bestimmten Grundgesamtheit ist ein beschreibender statistischer Parameter, der die Streuung von Werten in dieser Menge misst. Wird der Durchschnitt einer Wertemenge berechnet, bewertet die Standardabweichung die Differenz der Werte in der Wertemenge zum Durchschnitt.
Die Standardabweichung ist eine nicht negative reelle Zahl. Da Null eine nicht negative reelle Zahl ist, lohnt es sich zu fragen, wann die Standardabweichung gleich Null ist und was das bedeutet. Dies geschieht nur in einem ganz bestimmten Fall, wenn alle Werte im Datensatz genau gleich sind.
Standardabweichung
Wenn Sie einen Datensatz haben, sei es eine Stichprobe aus einer bestimmten Population oder eine Reihe von Werten, die von einem bestimmten System erzeugt werden, stellen sich sofort zwei Fragen: Welchem definierten Wert können wir den vorliegenden Datensatz zuordnen und wie groß ist die Streuung? des Datensatzes Datensatz, den wir analysieren.
In der sogenannten deskriptiven Statistik gibt es verschiedene Parameter, die diese beiden Fragen zu beantworten suchen. Um den Wert zu bewerten, dem wir den Datensatz zuordnen können, können wir den Durchschnitt oder das arithmetische Mittel, das geometrische Mittel, das harmonische Mittel, den Modus, die durchschnittliche Spannweite oder den Median berechnen. In diesem Fall verwenden wir den Durchschnitt oder das arithmetische Mittel: Der Durchschnitt einer Reihe von n Werten ist die Summe aller geteilt durch die Anzahl der Werte n .
Die Streuung von Werten in einem Satz kann durch Berechnung der Standardabweichung, des Bereichs oder des Interquartilabstands bewertet werden. Die folgende Abbildung zeigt die allgemeine Formel zur Berechnung der Standardabweichung σ . In Worten ausgedrückt: Wir subtrahieren von jedem Wert der Menge, die wir analysieren, die wir mit dem Index i notieren , den Durchschnitt aller Werte; wir quadrieren jede dieser Differenzen und addieren sie; Wir teilen das Ergebnis durch die Anzahl der Werte in der Menge minus 1 und berechnen die Quadratwurzel dieses Werts.
Die Standardabweichung hat zwei verschiedene Definitionen, abhängig von der Art der Daten, die wir analysieren. Dieser Unterschied impliziert eine etwas andere Berechnung. Die Standardabweichung kann für eine Grundgesamtheit oder für eine Stichprobe berechnet werden.
Wenn Daten von allen Mitgliedern einer Grundgesamtheit oder einer Menge erhoben werden, muss die Standardabweichung einer Grundgesamtheit verwendet werden. Wenn Sie Daten analysieren, die eine Stichprobe aus einer größeren Grundgesamtheit darstellen, müssen Sie die Standardabweichung einer Stichprobe verwenden. Der Unterschied bei der Berechnung besteht darin, dass bei der Standardabweichung einer Stichprobe die Differenz zwischen jedem Wert und dem quadrierten Durchschnitt durch die Anzahl der Werte minus 1 (n – 1) geteilt wird, wie in der Abbildung dargestellt . Teilen Sie für die Standardabweichung einer Grundgesamtheit durch n .
Die Standardabweichung ist gleich Null.
Die so berechnete Standardabweichung σ bewertet die Streuung der Werte in der Menge: Je größer ihr Wert, desto größer die Streuung. Y ist immer eine positive Zahl, da es sich um die Summe der quadrierten Werte handelt, die daher alle positiv sind. Wenn also der Wert der Standardabweichung null ist, sollte die Streuung null sein. Und dies tritt auf, wenn alle Werte im Satz übereinstimmen: Es gibt keine Streuung.
Wenn wiederum alle Werte im Satz übereinstimmen, stimmt auch der Durchschnitt mit diesem Wert überein. Wenn die n- Werte der Menge gleich sind , wird gemäß der vorherigen Definition des Durchschnitts die Summe der n- Werte in die Multiplikation dieses Werts mit n übersetzt ; wenn es durch n dividiert wird, um den Durchschnitt zu berechnen, werden beide Werte von n eliminiert und wir haben dann, dass der Durchschnitt gleich dem eindeutigen Wert der Menge ist. Entwickelt man diese Beschreibung in einer Gleichung, wenn es n gleiche Werte gibt, die als x ausgedrückt werden , wird der Durchschnitt berechnet als
( x + x + x + x + x +…+ x )/ n = nx / n = x
Mal sehen, was bei der Berechnung der Standardabweichung mit der zuvor beschriebenen Formel passiert. In dieser Formel ist jeder Wert x i gleich x und ist wiederum gleich dem Durchschnitt. Wenn daher der Mittelwert von jedem x i -Wert subtrahiert wird , ist das Ergebnis Null. Bei einer Summe mit allen Summanden gleich Null ist das Ergebnis ebenfalls Null. Und dann ist das Endergebnis der Standardabweichung Null.
Wir haben damals bereits gesehen, dass, wenn alle Werte in einem Satz gleich sind, der Durchschnitt gleich diesem Wert ist und die Standardabweichung Null ist. Betrachten Sie die umgekehrte Situation: Ist die Standardabweichung nur dann Null, wenn alle Werte in der Menge gleich sind?
Um dies zu überprüfen, sehen wir uns an, was passiert, wenn nur ein Wert unterschiedlich wäre. Das würde bedeuten, dass der Durchschnitt nicht mehr allen Werten in der Menge entspricht und dann wäre mindestens einer der Summanden der Standardabweichungsberechnung ungleich Null: Daher wäre die Standardabweichung nicht Null. Da diese Summation über zum Quadrat erhobene Werte entwickelt wird, sind alle Summanden positiv und können nicht in einer Subtraktion kompensiert werden. Die Summe positiver Zahlen kann nur Null werden, wenn alle Summanden Null sind; Daher besteht die einzige Möglichkeit für die Standardabweichung, Null zu sein, darin, dass alle Werte in der Gruppe gleich dem Mittelwert und daher einander gleich sind.
Beide Argumente stellen eine notwendige und hinreichende Bedingung dar: Die Standardabweichung einer Wertemenge ist nur dann Null, wenn alle Werte in der Menge gleich sind.
Brunnen
Yadolah Dodge. Die kurze Enzyklopädie der Statistik . New York: Springer, 2010.
