Was sind Momente in der Statistik?

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Momente in Berechnungen in der Statistik befassen sich mit der Bestimmung von Parametern wie dem Mittelwert, der Varianz oder der Schiefe einer Wahrscheinlichkeitsverteilung. Der Begriff Moment stammt aus der Physik, aus der Berechnung des Schwerpunkts einer Menge von Körpern unterschiedlicher Masse.

Definition des Moments

Wenn es einen Satz von n diskreten Daten x 1 , x 2 , x 3 , … x n gibt , ist der Auftragszeitpunkt s definiert als:  

( x 1 s + x 2 s + x 3 s +…+ x n s )/ n

Die Reihenfolge, in der die Berechnung durchgeführt wird, ist wichtig. Zuerst musst du die Potenz s machen , dann die Addition und schließlich die Division durch n .

Wenn wir diese Definition anwenden, haben wir das Moment erster Ordnung, wenn s = 1 ist und die vorherige Formel die Form annimmt:

( x 1 + x 2 + x 3 +…+ x n )/ n

Dies ist der Ausdruck der Formel für den Mittelwert einer Reihe von Werten.

Wenn die Menge, die wir analysieren, aus den 4 Zahlen 1, 3, 6, 10 besteht, ist das Moment erster Ordnung dieser Menge:

(1 + 3 + 6 + 10)/4 = 5

In diesem Beispiel wird beobachtet, dass das Moment erster Ordnung der Durchschnitt des untersuchten Wertesatzes ist.

Das Moment zweiter Ordnung entspricht s = 2, und die Definition lautet dann wie folgt:

( x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 +…+ x n 2 )/ n

Wenn wir es auf das vorherige Beispiel anwenden, erhalten wir:

(1 2 + 3 2 + 6 2 + 10 2 )/4 = (1 + 9 + 36 + 100)/4 = 36,5

Ebenso entspricht das Moment dritter Ordnung s = 3 und die Formel hat die Form:

( x 1 3 + x 2 3 + x 3 3 +…+ x n 3 )/ n

Und die Berechnung in dem betrachteten Beispiel hat den Ausdruck:

(1 3 + 3 3 + 6 3 + 10 3 )/4 = (1 + 27 + 216 + 1000)/4 = 311

Die Momente des Mittelwerts einer Reihe von Werten

Eine weitere Anwendung des Momentkonzepts ist die Berechnung des Mittelwerts einer Reihe von Werten. Das heißt, zu den Werten, die sich aus der Differenz jedes Wertes einer Menge in Bezug auf den Mittelwert ergeben. Dazu müssen Sie zuerst den Durchschnittswert des Satzes berechnen, dann die Variable definieren, für die die Momente als Differenz zwischen dem Durchschnitt und jedem Wert des Satzes berechnet werden, und schließlich die vorherige Formel auf diese neue Variable anwenden.

Wenn dann m der Durchschnitt des Wertesatzes x 1 , x 2 , x 3 , … x n ist , haben die Momente um den Durchschnitt m s eines Wertesatzes die Form:

m s = [( x 1m ) s + ( x 2m ) s + ( x 3m ) s +…+ ( x nm ) s ]/ n

Gemäß dieser Berechnung ist das Moment erster Ordnung des Mittelwerts 0. Mal sehen, wie dieses Ergebnis erhalten wird:

m 1 = [( x 1m )+ ( x 2m ) + ( x 3m ) +…+ ( x nm )]/ n

m 1 = [ x 1 + x 2 + x 3 +…+ x nn . m )]/ n

m 1 = [ x 1 + x 2 + x 3 +…+ x n ]/ n – [ n . m ]/ n

m1 = mm = 0

Das Moment zweiter Ordnung des Mittelwerts hat den folgenden Ausdruck:

m 2 = [( x 1m ) 2 + ( x 2m ) 2 + ( x 3m ) 2 +…+ ( x nm ) 2 ]/ n

Dies ist die Formel für die Varianz einer Wertemenge.

Wenn wir diese Formel auf das vorherige Beispiel anwenden, haben wir, dass der Durchschnitt, den wir bereits berechnet haben, 5 ist, also wird die Formel

m 2 = [(1 – 5) 2 + (3 – 5) 2 + (6 – 5) 2 + (10 – 5) 2 ]/4 = 11,5

Somit sehen wir, dass das Moment erster Ordnung einer Menge von Werten der Mittelwert ist und das Moment zweiter Ordnung um den Mittelwert die Varianz dieser Menge ist. Das Moment dritter Ordnung des Mittelwerts wurde von Karl Pearson zur Berechnung der Schiefe des Wertesatzes verwendet, während das Moment vierter Ordnung des Mittelwerts zur Berechnung der statistischen Kurtosis verwendet wird.

Quellen

Alexander Mood, Franklin A. Graybill, Duane C. Boes, Einführung in die Theorie der Statistik . Dritte Ausgabe, McGraw-Hill, 1974.

Peter H. Westfall, Erweiterte statistische Methoden verstehen . Boca Raton, FL: CRC Press, 2013.

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Sergio Ribeiro Guevara (Ph.D.)
(Doctor en Ingeniería) - COLABORADOR. Divulgador científico. Ingeniero físico nuclear.

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