Was sind die Gesetze von De Morgan?

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Logik ist ein Zweig der Mathematik, und ein Teil davon ist die Mengenlehre. De Morgans Gesetze sind zwei Postulate über die Wechselwirkung zwischen Mengen. Diese Gesetze haben Vorläufer in Aristoteles und Wilhelm von Ockham. Augustus De Morgan lebte zwischen 1806 und 1871 und nahm als erster die von ihm postulierten Gesetze in die formale Struktur der mathematischen Logik auf.

Operatoren in der Mengenlehre

Bevor wir zu den Postulaten von De Morgan übergehen, wollen wir uns einige Definitionen der Mengenlehre ansehen.

Wenn es zwei Mengen von Elementen gibt, die wir A und B nennen, ist die Schnittmenge dieser beiden Mengen die Menge von Elementen, die beiden Mengen gemeinsam ist. Der Schnittpunkt zweier Mengen wird mit dem Symbol ∩ bezeichnet und ist eine weitere Menge, die wir C nennen können; C = A∩B, und C ist die Menge der Elemente, die sowohl in Gruppe A als auch in Gruppe B vorkommen. In ähnlicher Weise ist die Vereinigung zweier Mengen A und B eine neue Menge, die alle Elemente von A und B enthält, und wird mit notiert das Symbol U. Die Menge C, Vereinigung von A und B, C = AUB, ist eine Menge, die mit allen Elementen von A und B integriert ist. Die dritte Definition, an die wir uns erinnern müssen, ist das Komplement einer Menge: Wenn wir ein bestimmtes Universum von Elementen und eine Menge A dieses Universums haben, ist das Komplement von A die Menge von Elementen dieses Universums, die nicht zur Menge A gehören. Die Komplementmenge von A wird als A C bezeichnet .

Diese drei Operatoren zwischen Mengen können auf die Operation zwischen mehreren Mengen verallgemeinert werden, also auf Schnitt, Vereinigung und Komplement mehrerer Mengen. Schauen wir uns ein einfaches Beispiel an. Die folgende Abbildung zeigt das Venn-Diagramm von drei Gruppen: die Vögel, dargestellt durch den Papagei, den Strauß, die Ente und den Pinguin; die fliegenden Lebewesen, repräsentiert durch den Papagei, die Ente, den Schmetterling und den fliegenden Fisch, und die schwimmenden Lebewesen, repräsentiert durch die Ente, den Pinguin, den fliegenden Fisch und den Wal. Die Ente ist die Schnittmenge der drei Mengen: Die Vereinigungsmenge von Vögeln und Lebewesen, die fliegen, besteht aus dem Strauß, dem Papagei, dem Schmetterling, der Ente, dem Pinguin und dem fliegenden Fisch. Und die Ergänzung der fliegenden und schwimmenden Lebewesen ist die Menge, die den Strauß enthält.

Venn-Diagramm von drei Sätzen.
Venn-Diagramm von drei Sätzen.

Gesetze von De Morgan

Jetzt können wir die Postulate der Gesetze von De Morgan sehen. Das erste Postulat besagt, dass das Komplement der Mengenschnittmenge von zwei Mengen A und B gleich der Mengenvereinigung des Komplements von A und des Komplements von B ist. Unter Verwendung der im vorherigen Absatz definierten Operatoren kann das erste Gesetz von De Morgan geschrieben werden wie folgt:

(A∩B) C = A C UB C

Das zweite Gesetz von De Morgan postuliert, dass das Komplement der Vereinigungsmenge von A und B gleich dem Schnittpunkt der Komplementmenge von A mit der Komplementmenge von B ist, und es wird wie folgt notiert:

(AUB) C = EIN C ∩ B C

Sehen wir uns ein Beispiel an. Betrachten Sie die Menge der ganzen Zahlen von 0 bis 5. Dies wird als [0,1,2,3,4,5] bezeichnet. In diesem Universum definieren wir zwei Mengen A und B. A ist die Menge der Zahlen 1, 2 und 3; A = [1,2,3]. YB ist die Menge der Zahlen 2, 3 und 4; B = [2,3,4]. Das erste Gesetz von De Morgan würde wie folgt gelten.

A = [1,2,3]; B = [2,3,4]

De Morgans erstes Gesetz: (A∩B) C = A C UB C

(A∩B) C

A∩B = [1,2,3]∩[2,3,4] = [2,3]

(A∩B) C = [2,3] C = [0,1,4,5]

A C UB C

EIN C = [1,2,3] C = [0,4,5]

BC = [2,3,4] C = [0,1,5]

EIN C UB C = [0,4,5]U[0,1,5] = [0,1,4,5]

Das Ergebnis der Anwendung der Operatoren auf beiden Seiten der Gleichheit zeigt, dass das erste Gesetz von De Morgan verifiziert ist. Sehen wir uns die Anwendung des Beispiels auf das zweite Postulat an.

De Morgans zweites Gesetz: (AUB) C = A C ∩ B C

(AUB) C

AUB = [1,2,3]U[2,3,4] = [1,2,3,4]

(AUB) C = [1,2,3,4] C = [0,5]

EIN C ∩ B C

EIN C = [1,2,3] C = [0,4,5]

BC = [2,3,4] C = [0,1,5]

EIN C ∩ B C = [0,4,5]∩[0,1,5] = [0,5]

Wie beim ersten Postulat gilt auch im gegebenen Beispiel das zweite Gesetz von De Morgan.

Quellen

AG Hamilton. Logik für Mathematiker. Leitartikel Paraninfo, Madrid, 1981.

Carlos Ivorra Castillo. Logik und Mengenlehre . Zugriff November 2021

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Sergio Ribeiro Guevara (Ph.D.)
(Doctor en Ingeniería) - COLABORADOR. Divulgador científico. Ingeniero físico nuclear.

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