Unter den Kombinationen von Symbolen, die arithmetische Berechnungen oder algebraische Ausdrücke beinhalten, ist es üblich, drei Symbole zu finden, die oft in ihrer Verwendung verwirrt werden; Klammern ( ), eckige Klammern [ ] und geschweifte Klammern { }. Lassen Sie uns sehen, was die spezifische Anwendung von jedem ist, zusammen mit einigen Beispielen, um Ideen zu fixieren.
Klammern ( ) werden verwendet, um Zahlen und Variablen in einer Berechnung oder in einer algebraischen Gleichung zu gruppieren. Wenn wir Klammern inmitten verschiedener arithmetischer Operationen finden, wird uns die Reihenfolge mitgeteilt, in der sie ausgeführt werden sollen. Erinnern wir uns daran, dass Multiplikation und Division ohne weitere Angabe Vorrang vor Addition und Subtraktion und Potenzierung vor Multiplikation und Division haben. Wenn Operationen mit gleicher Priorität ausgeführt werden müssen, erfolgt die Berechnung im mathematischen Ausdruck von links nach rechts. Sehen wir uns die Rolle von Klammern an, die die Reihenfolge der Operationen im folgenden Beispiel angeben.
9 – 5 ÷ (8 – 3) × 2 + 6
Die Klammern sagen uns, dass die Operation, die in ihrem Raum vorgeschlagen wird, zuerst ausgeführt werden muss, ohne die übliche Prioritätsreihenfolge zu berücksichtigen, in der arithmetische Operationen ausgeführt werden. In diesem Beispiel müssten die Multiplikations- und Divisionsoperationen vor der Subtraktion durchgeführt werden, aber da die Operation 8 – 3 in Klammern eingeschlossen ist, müssen wir diese Berechnung zuerst durchführen. Sobald alle Berechnungen innerhalb der Klammern durchgeführt wurden, in diesem Fall nur 8 – 3, werden sie eliminiert und wir fahren mit den anderen Operationen mit den üblichen Prioritäten fort. In diesem Fall wird (8 – 3) durch 5 ersetzt, und die Auflösungssequenz dieser Berechnung wäre die folgende.
9 – 5 ÷ (8 – 3) × 2 + 6 = 9 – 5 ÷ 5 × 2 + 6
9 – 5 ÷ 5 × 2 + 6 = 9 – 1 × 2 + 6
9 – 1 × 2 + 6 = 9 – 2 + 6
9 – 2 + 6 = 7 + 6
7 + 6 = 13
Die Klammern zeigen implizit auch an, dass es sich um eine Multiplikationsoperation handelt. Im Ausdruck 3(2 + 5) geben die Klammern beispielsweise an, dass die Addition zuerst innerhalb des Klammerabstands 2 + 5 ausgeführt werden muss. Es gibt jedoch keine explizite Operation zwischen drei und dem Klammerabstand, also which wird als Multiplikation angenommen. Ein allgemeinerer Fall mit zwei Klammern wäre der Ausdruck (6 –3)(2 + 3). Auch hier müssen wir zuerst die beiden Rechnungen im Raum zwischen den Klammern lösen, also 6 – 3 und 2 + 3, und dann nehmen wir an, dass wir das Produkt aus beiden Ergebnissen bilden müssen. Lassen Sie uns zur Verdeutlichung die Berechnung entwickeln.
(6 – 3)(2 + 3) = (6 – 3) × (2 + 3)
(6 – 3) × (2 + 3) = (3) × (3)
(3) × (3) = 3 × 3
3 × 3 = 9
Klammern werden auch verwendet, wenn es notwendig ist, Zahlen und Variablen in einer Berechnung oder in einer algebraischen Gleichung zu gruppieren, aber wenn bereits Klammern verwendet wurden. Das heißt, wenn es notwendig ist, Zahlen und Variablen in dem bereits gruppierten Raum zu gruppieren, wird die innere Gruppe mit Klammern und die äußere mit eckigen Klammern angegeben. Wenn eine weitere Gruppierung dritter Ordnung im selben Raum erforderlich ist, würden dann geschweifte Klammern verwendet. Die Sequenz, die auch als verschachtelte Klammern bekannt ist, würde der folgenden Reihenfolge folgen: { [ ( ) ] }
Sehen wir uns ein Beispiel für einen mathematischen Ausdruck an, der runde und runde Klammern kombiniert. Wenn neben den Klammern keine explizite Operation steht, wird wie bei den Klammern angenommen, dass es sich um eine Multiplikation handelt.
4 – 3[4 – 2(6 – 3)] ÷ 3
In diesem Ausdruck müssen wir zuerst die Operationen innerhalb der Klammern lösen.
4 – 2 (6 – 3)
Dieser Ausdruck wiederum hat eine durch die Klammern angezeigte Prioritätsreihenfolge; Zuerst müssen Sie die Differenz 6 – 3 lösen. Sehen wir uns die vollständige Entwicklung des Berechnungsablaufs an.
4 – 3[4 – 2(6 – 3)] ÷ 3 = 4 – 3 × [4 – 2 × (6 – 3)] ÷ 3
4 – 3 × [4 – 2 × (6 – 3)] ÷ 3 = 4 – 3 × [4 – 2 × (3)] ÷ 3
4 – 3 × [4 – 2 × (3)] ÷ 3 = 4 – 3 × [4 – 6] ÷ 3
4 – 3 × [4 – 6] ÷ 3 = 4 – 3 × [-2] ÷ 3
4 – 3 × [-2] ÷ 3 = 4 + 6 ÷ 3
4 + 6 ÷ 3 = 4 + 2
4 + 2 = 6
Sehen wir uns nun ein Beispiel an, das die drei Symbole kombiniert.
2{1 + [4(2 + 1) + 3]}
Wie bereits erwähnt, gilt die allgemeine Regel, verschachtelte Klammern von innen nach außen aufzulösen. Sehen wir uns die Berechnungssequenz an.
2{1 + [4(2 + 1) + 3]} = 2 × {1 + [4 × (2 + 1) + 3]}
2 × {1 + [4 × (2 + 1) + 3]} = 2 × {1 + [4 × (3) + 3]}
2 × {1 + [4 × (3) + 3]} = 2 × {1 + [12 + 3]}
2 × {1 + [12 + 3]} = 2 × {1 + [15]}
2 × {1 + [15]} = 2 × {16}
2 × {16} = 32
Klammern, Klammern und geschweifte Klammern werden oft auch als runde, eckige und geschweifte Klammern bezeichnet. In einigen Ausdrücken werden nur Klammern verwendet, auch wenn mehrere verschachtelte Rechenräume vorhanden sind. Dies geschieht insbesondere dann, wenn die Verschachtelung größer als drei Ebenen ist, dann gäbe es keine Symbole mehr, die die Verschachtelungsebenen unterscheiden. Wenn nur Klammern verwendet werden, muss besonders darauf geachtet werden, das erste Leerzeichen zwischen Klammern in der Verschachtelung zu identifizieren, es aufzulösen und dann zur nächsten Ebene überzugehen.
Brunnen
Samuel Selzer, Algebra und analytische Geometrie. Zweite Ausgabe. Buenos Aires, 1970.