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In der Statistik kommt es häufig vor, dass man die Vereinigungswahrscheinlichkeit mehrerer unterschiedlicher Ereignisse berechnen möchte. Beispielsweise könnte der Besitzer eines Süßwarenladens daran interessiert sein, zu bestimmen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass das nächste Kind, das seinen Laden betritt, einen Riegel weißer Schokolade oder einen Riegel Milchschokolade kauft. In diesem Fall möchten wir die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass eines von zwei möglichen Ereignissen eintritt, was gemäß der Mengenlehre die Vereinigungswahrscheinlichkeit beider Ereignisse oder P(AUB) ist.
Die Berechnung dieser Wahrscheinlichkeit besteht im beschriebenen Fall einfach aus der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten abzüglich der Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge beider Ereignisse, also:
Der Grund, warum die Schnittpunktwahrscheinlichkeit subtrahiert werden muss, liegt darin, dass durch das Addieren der Wahrscheinlichkeiten beider Ereignisse jeder Schnittpunkt doppelt gezählt wird. Dies ist ein relativ einfach zu verstehender Vorgang. Es kann aber auch vorkommen, dass wir die Vereinigungswahrscheinlichkeit nicht von zwei, sondern von drei oder mehr Ereignissen bestimmen wollen. Was ist in solchen Fällen zu tun? Im nächsten Abschnitt werden wir einen einfachen Weg zur Bestimmung der Formel betrachten, die in den Fällen mit drei und vier Ereignissen anzuwenden ist, und dann werden wir diese Ergebnisse zusammen mit der obigen Formel verwenden, um die Bestimmung der Vereinigungswahrscheinlichkeit zu verallgemeinern für beliebig viele Veranstaltungen.
Überprüfung der Grundlagen
Um den Prozess der Berechnung von Vereinigungswahrscheinlichkeiten zu verstehen, ist es notwendig, sich kurz an einige wichtige Begriffe zu erinnern, die später verwendet werden:
experimentieren . Wahrscheinlich ist ein Experiment jeder Vorgang, der mehrmals wiederholt werden kann und immer ein Ergebnis liefert. Jedes Experiment ist mit einem bestimmten Satz möglicher Ergebnisse verbunden, die immer gleich sein werden.
Ergebnis . Wir werden die Konsequenz eines Experiments ein Ergebnis nennen, wie zum Beispiel das bestimmte Gesicht, das beim Werfen eines Würfels herauskommt.
Probenraum (S) . Die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Experiments.
Ereignis . Jede Menge möglicher Ergebnisse.
Venn-Diagramm . Grafische Darstellung, die die Beziehungen zwischen Ereignissätzen und zwischen der Wahrscheinlichkeit von Ereignissen in einem Experiment zeigt.
Die Vereinigungswahrscheinlichkeit von drei Ereignissen
Angenommen, wir führen ein Experiment durch und wollen die Wahrscheinlichkeit bestimmen, mit der eines von 3**3 verschiedenen Ereignissen eintritt, die gleichzeitig eintreten können oder nicht. Wir nennen diese drei Ereignisse A, B und C.
In diesen Fällen können verschiedene Situationen auftreten. Beispielsweise kann es vorkommen, dass keines der Ereignisse Ergebnisse mit einem anderen teilt, in diesem Fall sagen wir, dass sich die Ereignisse gegenseitig ausschließen, was im folgenden Venn-Diagramm veranschaulicht wird:
Die Kreise A, B und C stellen die drei Ereignisse dar und schließen eine Reihe von Ergebnissen innerhalb des Stichprobenraums ein, der das graue Rechteck ist, das mit dem Buchstaben S gekennzeichnet ist. In diesen Fällen wird die Vereinigungswahrscheinlichkeit einfach durch die Summe der Wahrscheinlichkeiten von jedem gegeben separate Veranstaltung:
Andererseits kann eines der Ereignisse auch Ergebnisse mit einem der anderen beiden Ereignisse oder sogar mit beiden teilen. Dies wird in einem Venn-Diagramm als sich überschneidende Bereiche dargestellt.
In diesen Fällen berücksichtigt die Summe der Wahrscheinlichkeiten einige Ergebnisse mehr als einmal, sodass es notwendig ist, diese überzählten Wahrscheinlichkeiten zu subtrahieren. Das heißt, wir müssen die Wahrscheinlichkeit des Schnittpunkts zwischen jedem Ereignispaar subtrahieren. In Fällen, in denen Ergebnisse in allen drei Ereignissen vorhanden sind (wie in der Mitte des obigen Venn-Diagramms), entfernt die Subtraktion der Schnittpunkte der Paare den Beitrag des zentralen Bereichs, in dem sich die Paare schneiden. Aus diesem Grund müssen wir diesen kleinen Bereich, der der Schnittwahrscheinlichkeit von A, B und C entspricht, wieder hinzufügen.
Schließlich ist die Vereinigungswahrscheinlichkeit der drei Ereignisse:
HINWEIS: Obwohl dieser Ausdruck für den speziellen Fall angegeben wurde, in dem sich die drei Ereignisse überschneiden, ist dies die allgemeinere Form des Drei-Ereignis-Falls, da er in die Vereinigungswahrscheinlichkeit einer beliebigen Menge von drei Ereignissen umgewandelt werden kann, unabhängig davon, ob sie sich überschneiden oder nicht. Beispielsweise sind im Fall von sich gegenseitig ausschließenden Ereignissen alle Schnittpunktwahrscheinlichkeiten Null, sodass sich der Ausdruck auf die Summe der einzelnen Wahrscheinlichkeiten reduziert, die am Anfang dieses Abschnitts gezeigt werden.
Die Vereinigungswahrscheinlichkeit von vier Ereignissen
Angenommen, wir führen ein neues Experiment durch und interessieren uns für die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung von vier Ereignissen: A, B, C und D. Der allgemeinste Fall ist, dass sie sich alle überschneiden können, wie im folgenden Diagramm gezeigt:
In diesem Fall zählt die Summe der vier einfachen Wahrscheinlichkeiten die vierfache Wahrscheinlichkeit der in Bereich I enthaltenen Ergebnisse, die dreifache der Bereiche II, III, IV und V und die doppelte der Bereiche VI, VII, VIII und IX. Um dies zu korrigieren, müssen wir zuerst die Schnittwahrscheinlichkeiten aller Paare (A und B, A und C, A und D, B und C, B und D und C und D) subtrahieren. Dies wiederum subtrahiert die Schnittbereiche jeder Dreiergruppe (ABC, ABD, ACD und BCD) zu oft, sodass diese Bereiche erneut hinzugefügt werden müssen, und so weiter, bis alle Bereiche einmal gezählt sind.
Das Ergebnis für den Fall von vier Ereignissen, ob sie sich gegenseitig ausschließen oder nicht, ist:
Vereinigungswahrscheinlichkeit von mehr als vier Ereignissen
Bis zu diesem Punkt können wir bereits ein Muster zwischen den Formeln für die Vereinigungswahrscheinlichkeiten von zwei, drei und vier Ereignissen erkennen. Sie beginnen alle mit der Summe der einfachen Wahrscheinlichkeiten, subtrahieren dann die Schnittpunktwahrscheinlichkeiten zwischen allen möglichen Ereignispaaren, addieren dann die Schnittpunktwahrscheinlichkeiten jeder möglichen Gruppe von drei Ereignissen und so weiter, wobei die Schnittpunkte abwechselnd addiert und subtrahiert werden weitere Ereignisse, bis wir den Schnittpunkt aller Ereignisse erreichen. Bei einer geraden Anzahl von Ereignissen ist dieser letzte Schnittpunkt immer negativ (subtrahiert), während er bei einer ungeraden Anzahl von Ereignissen immer positiv (addiert) ist.
Verweise
- Arrizabalaga R., M. (2015, September). WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE . AUTONOME MEXICO STATE UNIVERSITY. https://core.ac.uk/download/pdf/55528069.pdf
- DeVore, J. (2002). Wahrscheinlichkeit und Statistik für Ingenieurwissenschaften und Wissenschaften (5. Aufl.). Thomson International.
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- Marta, M. (2021, 27. März). Vereinigung von Ereignissen oder Ereignissen . Superprof. https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/probabilidades/combinatoria/union-de-sucesos.html
