Die häufigsten unzählbaren Mengen

Eine Zahlenmenge ist überabzählbar, wenn es nicht möglich ist, allen ihren Elementen eine eindeutige natürliche Zahl zuzuordnen . Mit anderen Worten, unzählbare Mengen sind solche, die keine Eins-zu-Eins-Entsprechung mit den natürlichen Zahlen haben.

Normalerweise verwenden wir natürliche Zahlen intuitiv zum Zählen, und wir tun dies, indem wir jedem Element der Gruppe, die wir zählen möchten, nacheinander eine natürliche Zahl zuweisen. Wenn wir beispielsweise die Anzahl der Finger zählen, die wir an einer Hand haben, weisen wir jedem der Finger eine eindeutige natürliche Zahl zu, die mit 1 beginnt und mit 5 endet. Wir wissen dann, dass es 5 Finger an den Händen gibt, weil dies der höchste Wert ist wir ordnen den Fingern zu. Mit anderen Worten, wir zählen die Finger.

Diese Idee lässt sich auf einige Zahlenmengen nicht anwenden. In einigen Fällen sind die Mengen so groß, dass selbst die Verwendung unendlicher natürlicher Zahlen nicht ausreichen würde, um alle Elemente der Menge zu nummerieren. Da die Menge der natürlichen Zahlen unendlich ist, legt die Idee, dass es unzählbare Mengen gibt, die Idee nahe, dass es einige Unendlichkeiten gibt, die größer sind als andere, und nur solche Mengen, die eine Unendlichkeit von derselben „Größe“ wie die Menge der natürlichen Zahlen haben abzählbar sind die natürlichen Zahlen. Die Anzahl der Elemente einer Menge nennt man Kardinalzahl, unzählbare Mengen sind also solche, deren Kardinalzahl größer ist als die der natürlichen Zahlen.

Einige Eigenschaften von abzählbaren und nicht abzählbaren Mengen

Um zu verstehen, warum manche Mengen abzählbar sind und andere nicht, hilft es, einige Eigenschaften von Mengen zu kennen:

• Wenn A eine Teilmenge von B ist und A überabzählbar ist, dann ist auch B überabzählbar. Mit anderen Worten, jede Menge, die eine überabzählbare Menge enthält, muss selbst überabzählbar sein.
• Wenn A nicht abzählbar und B eine beliebige Menge ist (abzählbar oder nicht), dann ist auch die Vereinigung AUB nicht abzählbar.
• Wenn A nicht abzählbar und B eine beliebige Menge ist, dann ist auch das kartesische Produkt A x B nicht abzählbar.
• Wenn A unendlich (sogar abzählbar unendlich) ist, dann ist die Potenzmenge von A überabzählbar.

Beispiele für die häufigsten überzählbaren Mengen

Die Menge der reellen Zahlen (R)

Die Menge der reellen Zahlen ist das erste Beispiel einer nicht abzählbaren Menge. Aber woher wissen wir, dass sie nicht abzählbar sind, wenn sie unendlich viele Elemente haben und wir auch unendlich viele natürliche Zahlen zuordnen können? Wir tun dies dank Cantors diagonalem Argument.

Cantors Diagonale

Cantors Diagonalargument ermöglicht es uns zu zeigen, dass die Teilmenge reeller Zahlen, die zwischen zwei wohldefinierten Grenzen liegen, beispielsweise zwischen 0 und 1, eine überabzählbare Menge ist. Als Konsequenz muss aufgrund der bereits erwähnten Eigenschaften überabzählbarer Mengen auch die Gesamtmenge aller reellen Zahlen überabzählbar sein.

Angenommen, wir erstellen eine unendliche Liste von reellen Zahlen zwischen 0 und 1. Es ist völlig irrelevant, wie diese Liste aufgebaut ist. Wichtig ist nur, dass alle Zahlen eindeutig sind. Jetzt werden wir jeder dieser Zahlen eine eindeutige natürliche Zahl zuweisen, beginnend bei 1 und der Reihe nach arbeiten. Ein Beispiel für diese Liste ist in der folgenden Tabelle dargestellt:

An dieser Stelle weisen wir allen Zahlen in unserer Liste eine eindeutige natürliche Zahl zu. Da diese Liste unendlich ist und jede reelle Zahl einer natürlichen Zahl entspricht, „verbrauchen“ wir alle natürlichen Zahlen in dieser Tabelle. Canto hat gezeigt, dass es mindestens eine zusätzliche reelle Zahl gibt, die nicht auf dieser Liste steht und daher nicht gezählt werden kann. Diese Zahl wird gebildet, indem alle Elemente der Diagonale genommen werden, die den Tisch kreuzt, und dann 1 addiert wird. Das heißt, die neue Zahl beginnt mit der ersten Ziffer der ersten Zahl, die um eine Einheit erhöht wird, und hat dann die zweite Ziffer von die zweite Zahl um eine Einheit erhöht, dann die dritte Ziffer der dritten Zahl und so weiter.

In der folgenden Tabelle sind die Elemente auf der Diagonalen fett hervorgehoben und die sich aus der Operation ergebende Zahl in der letzten Zeile hinzugefügt:

Die resultierende Zahl ist 0,33198226…

Da sich die erste Ziffer der neuen Zahl (die 3 ist) von der ersten Ziffer der ersten Zahl in der Liste (die 2 ist) unterscheidet, ist es, wie wir sehen können, eine andere Zahl als die erste, selbst wenn alle anderen Nummern sind genau gleich. Da sich die zweite Ziffer (3) von der zweiten Ziffer der zweiten Zahl (2) unterscheidet, unterscheidet sie sich auch von der zweiten Zahl.

Dasselbe Argument kann endlos fortgesetzt werden, indem man entlang der Diagonalen vorrückt und sicherstellt, dass sich die resultierende Zahl um mindestens eine Ziffer von allen unendlichen Zahlen in der Tabelle unterscheidet.

Da wir jedoch bereits alle natürlichen Zahlen „ausgeben“ oder zugewiesen haben, bevor wir diese neue Zahl erstellt haben, haben wir keine eindeutigen natürlichen Zahlen mehr, die wir ihr zuweisen können, also schließen wir, dass die Menge der reellen Zahlen zwischen 0 und 1, und damit Erweiterung aller reellen Zahlen, ist eine überabzählbare Menge.

Die Menge der transzendenten Zahlen

Die transzendenten Zahlen sind solche, die zur Menge der reellen Zahlen gehören, aber keine algebraischen Zahlen sind. Das bedeutet, dass sie keine Wurzeln einer Polynomgleichung der Form sind:

wobei alle Koeffizienten ganze Zahlen sind. Nennen wir A die Menge aller algebraischen reellen Zahlen und T den Rest der reellen Zahlen, also der transzendenten. Es ist leicht zu sehen, dass die Gesamtmenge der reellen Zahlen R die Vereinigung der Mengen A und T ist , das heißt:

Man kann zeigen, dass die Menge der algebraischen Zahlen abzählbar ist. Außerdem haben wir bereits bewiesen, dass die reellen Zahlen nicht abzählbar sind. Da R nicht abzählbar ist, kann es nicht durch Vereinigung zweier abzählbarer Mengen gebildet werden. Da wir wissen, dass A abzählbar ist, schließen wir, dass T nicht abzählbar ist.

Die Menge der binären Zahlenfolgen

Eine Folge von Binärzahlen ist einfach eine Folge von Nullen und Einsen beliebiger Länge. Wenn wir alle möglichen Folgen von Binärzahlen vereinen, erhalten wir die Menge der Folgen von Binärzahlen. Dies ist nichts anderes als eine Teilmenge der reellen Zahlen, bei denen die einzigen Ziffern 0 und 1 sind.

Es ist sehr einfach zu zeigen, dass diese Zahlenmenge nicht abzählbar ist, indem wir dasselbe Cantor-Argument verwenden, mit dem wir zeigen, dass R nicht abzählbar ist. Die einzige Einschränkung ist, dass wir, anstatt 1 zu den Zahlen auf der Diagonale hinzuzufügen, einfach ihren Wert umkehren, indem wir 0 durch 1 ersetzen und umgekehrt.

Wie zuvor wird die resultierende binäre Sequenz anders sein als jede unendliche Menge von Sequenzen, die wir möglicherweise in die ursprüngliche Liste aufgenommen haben, also ist sie eine unzählbare Menge.

Andere Zahlenfolgen mit anderen Basen

Das Argument aus Folgen von Binärzahlen und aus reellen Zahlen kann auf jede Folge von Zahlen beliebiger Basis erweitert werden. In diesem Sinne wird die Menge aller Folgen von Hexadezimalzahlen unabzählbar sein; ebenso die Menge der Folgen von ternären, quaternären Zahlen usw.

Verweise

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