Was sind die möglichen Ergebnisse, wenn man drei Würfel gleichzeitig würfelt?

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Das Werfen von Münzen und Würfeln oder das blinde Entfernen von Bällen aus einer Schachtel sind einige der einfachsten Experimente, die wir durchführen können, um unser Verständnis der verschiedenen Konzepte im Zusammenhang mit Statistiken zu testen. Sie sind einfach durchzuführende Experimente, die jeder zu Hause durchführen kann, sie liefern klare und eindeutige Ergebnisse, und diese können leicht in numerische Daten umgewandelt werden.

Beim Würfeln gibt es auch eine klare Beziehung zwischen ihnen und Glücksspielen, was die Anwendung von Statistiken in etwas, das zum täglichen Leben vieler Menschen gehört oder zumindest etwas mit fast allen ist, greifbarer macht von uns sind mindestens einmal in ihrem Leben begegnet.

Das gleichzeitige Rollen von drei Würfeln kann verschiedene Arten von Ergebnissen erzeugen, die wir auf unterschiedliche Weise interpretieren können. Wir können uns für die einzelnen Ergebnisse selbst interessieren, oder wir können uns für den Wert der Summe interessieren oder für die Anzahl der geraden oder ungeraden Ergebnisse, die zwischen den Würfeln liegen, usw. Von den dreien interessiert am häufigsten das Ergebnis der Summe der Werte der drei Würfel. In den folgenden Abschnitten untersuchen wir, wie die Wahrscheinlichkeit des Auftretens jeder der Summen berechnet wird, wenn drei Würfel gleichzeitig geworfen werden.

Der Musterraum für das Werfen von drei Würfeln

Das Rollen eines einzelnen Würfelwürfels ist ein einfaches Experiment, das nur sechs mögliche Ergebnisse hat. Das heißt, es handelt sich um ein Experiment, dessen Probenraum durch die Ergebnisse S 1 gegeben = {1; 2; 3; 4; 5; 6}.

Beim gleichzeitigen Würfeln mit zwei Würfeln kann davon ausgegangen werden, dass das Ergebnis jedes Würfels unabhängig vom anderen ist, sodass jeder zu einem der sechs vorherigen Ergebnisse führen kann. Dies hat zur Folge, dass 6 2 = 36 mögliche Ergebnisse gegeben werden können, die allen möglichen Kombinationen zwischen den 6 Werten eines Würfels und den 6 Werten des anderen entsprechen.

In diesem Fall haben wir einen Abtastraum von S 2 gegeben = {11; 12; 13; 14; fünfzehn; 16; einundzwanzig; 22; 23; 24; 25; 26; …; 61; 62; 63; 64; 65; 66}. Aus diesen 36 Ergebnissen kann die Anzahl der eindeutigen Kombinationen (ohne Berücksichtigung der Reihenfolge) durch eine Kombinatorik mit Wiederholung berechnet werden, bei der Gruppen von n = 2 (die beiden geworfenen Würfel) mit m = 6 möglichen Ergebnissen genommen werden. :

Was sind die wahrscheinlichen Ergebnisse beim Werfen von drei Würfeln?

Diese 21 Ergebnisse entsprechen {11; 12; 13; 14; fünfzehn; 16; 22; 23; 24; 25; 26; 33; 3. 4; 35; 36; 44; Vier fünf; 46; 55; 56; 66}. Die Wahrscheinlichkeit für jedes dieser Ergebnisse entspricht 1/36 multipliziert mit der Anzahl der verschiedenen Permutationen, die mit den Ziffern jeder Zahl erstellt werden können (1, wenn die Zahl wiederholt wird, wie bei 11, 22 usw., und 2, wenn die Zahl wird nicht wiederholt, da wir 12 oder 21, 13 oder 31 haben können usw.)

Beim Würfeln mit 3 Würfeln ist die Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse im Stichprobenraum gegeben durch 6 3 = 216. Diese Ergebnisse sind S 3 Würfel = {111; 112; 113; 114; 115; 116; 121; …; 126; 131; …; 136; …; 166; 211; 212; …; 656; 666}. In diesem Fall muss die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Ergebnisses 1/216 betragen.

Wahrscheinlichkeit einzelner Ergebnisse beim Werfen von drei Würfeln

Nachdem wir nun den Stichprobenraum aller möglichen Ergebnisse des Werfens von 3 Würfeln gut definiert haben, wollen wir sehen, wie die Wahrscheinlichkeit jedes der verschiedenen Ergebnisse, die erhalten werden können, berechnet wird.

Beim Würfeln mit drei Würfeln werden viele der 216 Ergebnisse tatsächlich wiederholt, da die Reihenfolge, in der die Ergebnisse angezeigt werden, irrelevant ist. Die Gesamtzahl der eindeutigen Ergebnisse kann wiederum als Kombination von 3er-Gruppen mit jeweils 6 Optionen und mit der Möglichkeit von Wiederholungen berechnet werden, das heißt:

Was sind die wahrscheinlichen Ergebnisse beim Werfen von drei Würfeln?

Unter diesen 56 Ergebnissen kommen diejenigen, die aus drei gleichen Zahlen bestehen (nennen wir sie AAA), nur einmal vor. Dagegen werden solche mit zwei identischen Zahlen und einer anderen (AAB) jeweils 3 mal wiederholt (entsprechend den Permutationen AAB, ABA und BAA). Schließlich werden diejenigen, die drei verschiedene Zahlen (ABC) haben, 3 angezeigt! = 6 Mal (ABC, ACB, BAC, BCA, CAB und CBA).

Aus diesen Informationen und der Gesamtzahl möglicher Ergebnisse (216) können wir die Wahrscheinlichkeit jedes Ergebnisses wie folgt berechnen

Was sind die wahrscheinlichen Ergebnisse beim Werfen von drei Würfeln?

Je nach Ergebnis hat es 1, 2 oder 3 verschiedene Figuren. Die 56 möglichen Ergebnisse und ihre Wahrscheinlichkeiten sind in der folgenden Tabelle dargestellt:

Ergebnis Wahrscheinlichkeit Ergebnis Wahrscheinlichkeit Ergebnis Wahrscheinlichkeit Ergebnis Wahrscheinlichkeit
111 1/216 136 1/36 235 1/36 346 1/36
112 1/72 144 1/72 236 1/36 355 1/72
113 1/72 145 1/36 244 1/72 356 1/36
114 1/72 146 1/36 245 1/36 366 1/72
115 1/72 155 1/72 246 1/36 444 1/216
116 1/72 156 1/36 255 1/72 445 1/72
122 1/72 166 1/72 256 1/36 446 1/72
123 1/36 222 1/216 266 1/72 455 1/72
124 1/36 223 1/72 333 1/216 456 1/36
125 1/36 224 1/72 334 1/72 466 1/72
126 1/36 225 1/72 335 1/72 555 1/216
133 1/72 226 1/72 336 1/72 556 1/72
134 1/36 233 1/72 344 1/72 566 1/72
135 1/36 2. 3. 4 1/36 3. 4. 5 1/36 666 1/216

Wahrscheinlichkeit der Summe beim Werfen von drei Würfeln

Wie bereits erwähnt, ist beim Würfeln ein wichtigeres Ergebnis als die jeweilige Zahl, auf der jeder Kopf landet, die Summe der Würfel. Bei dem Experiment, bei dem drei Würfel geworfen werden und die Summe gebildet wird, besteht der Musterraum aus allen möglichen Summen zwischen drei Zahlen von 1 bis 6.

Der kleinste Wert, der sich aus dieser Summe ergeben kann, ist derjenige, der erhalten wird, wenn die drei Würfel auf 1 fallen, was eine Summe von 1 + 1 + 1 = 3 ergibt, während der maximale Wert 6 + 6 + 6 = 18 entspricht, mit der Möglichkeit eine der Zwischensummen zu erhalten. Daher entspricht der Probenraum dieses Experiments:

S = {3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; elf; 12; 13; 14; fünfzehn; 16; 17; 18}

Summe von drei Würfeln Anzahl eindeutiger Ergebnisse Besonders einzigartige Ergebnisse Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse
3 1 111 1
4 1 112 3
5 2 113; 122 6
6 3 114; 123; 222 10
7 4 115; 124; 133; 223 fünfzehn
8 5 116; 125; 134; 224; 233 einundzwanzig
9 6 126; 135; 144; 225; 2. 3. 4; 333 25
10 6 136; 145; 226; 235; 244; 334 27
elf 6 146; 155; 236; 245; 335; 344 27
12 6 156; 246; 255; 336; 3. 4. 5; 444 25
13 5 166; 256; 346; 355; 445 einundzwanzig
14 4 266; 356; 446; 455 fünfzehn
fünfzehn 3 366; 456; 555 10
16 2 466; 556 6
17 1 566 3
18 1 666 1

Die letzte Spalte der Tabelle zeigt die Gesamtzahl der Ergebnisse, die jede Summe ergibt, einschließlich gleichwertiger Ergebnisse (aus allen Permutationen jeder eindeutigen Kombination). Beispiel: Für die Summe 15 muss der Würfelwurf 366, 356 oder 555 sein. Aber es gibt 3 Permutationen von 366 (366, 636 und 663) und 6 Permutationen von 356 (356, 365, 536, 563, 635 und 653) und ein einzelnes von 555, sodass die Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse, die 15 entsprechen, 10 beträgt.

Mit der vorherigen Tabelle können wir üben, die Wahrscheinlichkeit jeder Summe für das Werfen von drei Würfeln auf zwei verschiedene Arten zu berechnen. Diese sind unten aufgeführt.

Strategie 1: Verwenden der Wahrscheinlichkeit jedes einzelnen Ergebnisses

Die erste Strategie besteht darin, die Wahrscheinlichkeit aller eindeutigen Ergebnisse zu addieren, die jede Summe ergeben kann. Dies beinhaltet die Verwendung der eindeutigen Ergebnisse aus der dritten Spalte und der jeweiligen Wahrscheinlichkeit jedes oben dargestellten Ergebnisses.

Beispiel

Angenommen, wir möchten die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass die Summe der drei Würfel 11 ist (d. h. P(11)). In diesem Fall gibt es 6 eindeutige Kombinationen (unabhängig von der Reihenfolge), die eine Summe von 11 ergeben. Diese Ergebnisse sind (gemäß der dritten Spalte der obigen Tabelle): {146; 155; 236; 245; 335; 344}.

Die Wahrscheinlichkeit jedes Ergebnisses wird basierend auf der Gesamtzahl der möglichen Permutationen in jedem Fall bestimmt, wie im vorherigen Abschnitt erläutert. In diesem Fall:

Was sind die wahrscheinlichen Ergebnisse beim Werfen von drei Würfeln?

Was sind die wahrscheinlichen Ergebnisse beim Werfen von drei Würfeln?

Daher ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis der Summe 11 ist:

Was sind die wahrscheinlichen Ergebnisse beim Werfen von drei Würfeln?

Was sind die wahrscheinlichen Ergebnisse beim Werfen von drei Würfeln?

Wenn wir die Wahrscheinlichkeit wollen, dass die Summe 16 ist, wäre das Ergebnis die Summe der Wahrscheinlichkeiten von 466 und 556, die beide gleich 1/72 sind, also wäre die Wahrscheinlichkeit:

Was sind die wahrscheinlichen Ergebnisse beim Werfen von drei Würfeln?

Strategie 2: Verwenden der Gesamtzahl der Ergebnisse, die jeder Summe entsprechen

In diesem Fall wird ein einfacherer Weg beschritten, solange es eine Liste aller möglichen Ergebnisse für jede Summation gibt, einschließlich der Permutationen. Dann ist die Wahrscheinlichkeit jeder Summe einfach die Gesamtzahl der Ergebnisse für die Summe dividiert durch die Gesamtzahl möglicher Ergebnisse (216).

Beispiel

Im Fall der Summe = 11 ist die Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse, die diese Summe ergeben, 27 (siehe dritte Spalte der vorherigen Tabelle), also ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe 11 ist:

Was sind die wahrscheinlichen Ergebnisse beim Werfen von drei Würfeln?

Wie Sie sehen können, ist das Ergebnis dasselbe wie zuvor und es ist sehr einfach, wenn wir eine Tabelle wie die vorherige bereits erstellt haben. In komplexeren Fällen, in denen es mehr mögliche Ergebnisse gibt (z. B. das Rollen von 4, 5 oder 4 Würfeln), kann diese Strategie jedoch weniger bequem und die erstere praktischer sein.

Verweise

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Montagud Rubio, N. (2022, 17. März). Zähltechniken: Arten, Anwendung und Beispiele . Psychologie und Geist. https://psicologiaymente.com/miscelanea/tecnicas-de-conteo

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Valdés Gómez, J. (2016, 23. November). Kombinationen mit Wiederholung . Youtube. https://www.youtube.com/watch?v=WqHZx64RW-Q

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Israel Parada (Licentiate,Professor ULA)
(Licenciado en Química) - AUTOR. Profesor universitario de Química. Divulgador científico.

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