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Der zentrale Grenzwertsatz ist ein grundlegender Satz der Wahrscheinlichkeitstheorie. Der Begriff „zentral“ ist gleichbedeutend mit grundlegend oder von zentraler Bedeutung und wurde 1920 von George Polyá geprägt, was die Relevanz des Theorems in der Wahrscheinlichkeitstheorie kennzeichnet. Der Grenzwertsatz hat mehrere Versionen, die von verschiedenen Mathematikern vorgeschlagen wurden. Grundsätzlich besagt der zentrale Grenzwertsatz, dass sich unter bestimmten Voraussetzungen die Verteilung der Summe sehr vieler Zufallsvariablen einer Normalverteilung annähert .
Der zentrale Grenzwertsatz
Die Aussage des zentralen Grenzwertsatzes ist abstrakt, aber lassen Sie uns einen Weg sehen, sie Schritt für Schritt zu verstehen. Angenommen, wir haben eine einfache Zufallsstichprobe von n Elementen aus einer interessierenden Grundgesamtheit. In dieser Stichprobe kann der Stichprobenmittelwert berechnet werden, der den Mittelwert der interessierenden Grundgesamtheit darstellt. Eine Verteilung des Stichprobenmittelwerts kann generiert werden, indem wiederholt einfache Zufallsstichproben aus derselben Grundgesamtheit ausgewählt werden, die dieselbe Größe haben, und dann der Mittelwert jeder dieser Stichproben berechnet wird. Jede der einfachen Stichproben muss unabhängig von den anderen sein.
Der zentrale Grenzwertsatz betrifft die Verteilung von Stichprobenmitteln und besagt, dass diese Verteilung eine Normalverteilung annähert. Je größer die einfachen Stichproben sind, desto besser ist die Annäherung an eine Normalverteilung der Stichprobenmittelwertverteilung. Es sollte beachtet werden, dass der zentrale Grenzwertsatz festlegt, dass unter diesen Bedingungen die Verteilung des Stichprobenmittelwerts normal ist, unabhängig von seiner anfänglichen Verteilung. Selbst wenn die Grundgesamtheit eine schiefe Verteilung aufweist, eine häufige Situation bei der Untersuchung von Parametern wie dem Einkommen oder dem Gewicht von Personen, ist die Verteilung des Stichprobenmittelwerts normal, wenn die Stichprobengröße groß genug ist.
Und genau an diesem Punkt liegt die Bedeutung des zentralen Grenzwertsatzes, da er es uns ermöglicht, statistische Probleme zu vereinfachen, wenn wir mit einer Verteilung arbeiten, die als normal angesehen werden kann. Es gibt viele und sehr relevante Anwendungen, bei denen es wichtig ist, berücksichtigen zu können, dass die Population eine Normalverteilung hat, wie zum Beispiel Hypothesentests oder die Bestimmung von Konfidenzintervallen.
Es ist nicht schwierig, reale Datensätze zu finden, die Ausreißer, schiefe Verteilungen oder mehrere Spitzen aufweisen. Aber unter Anwendung des zentralen Grenzwertsatzes können bei Auswahl einer geeigneten Stichprobengröße Probleme angegangen werden, bei denen die Grundgesamtheiten keine Normalverteilung aufweisen. Selbst wenn die Verteilung der zu untersuchenden Population nicht bekannt ist, stellt der zentrale Grenzwertsatz daher sicher, dass bei ausreichend großen Stichproben die reale Verteilung durch eine Normalverteilung angenähert werden kann. In bestimmten Situationen kann eine explorative Analyse der Daten helfen, die Größe der Stichprobe zu messen, damit der zentrale Grenzwertsatz gültig ist.
Brunnen
Jimena Blaiotta, Pablo Delieutraz. Zentraler Grenzwertsatz . Fakultät für Exakt- und Naturwissenschaften, Universität Buenos Aires, Argentinien, 2004.
