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Der Begriff der Freiheitsgrade taucht sowohl in der Mathematik als auch in der Statistik häufig auf. Je nach Bereich variiert das Konzept erheblich.
Das intuitive Konzept der Freiheitsgrade
Intuitiv bezieht sich die Anzahl der Freiheitsgrade auf die Anzahl der freien Entscheidungen, die wir in einer bestimmten Situation treffen können . Angenommen, eine Gruppe von fünf Personen muss zwischen fünf verschiedenen Früchten wählen. Die erste Person ist frei in der Auswahl der Früchte. Als nächstes kannst du aus den restlichen vier Früchten frei wählen, und so weiter. Beim Erreichen der letzten Person, da es am Anfang nur 5 Früchte gab, ist diese Person gezwungen, die letzte Frucht zu wählen, was bedeutet, dass die letzte Person in Wirklichkeit keine Wahlfreiheit hatte, während die anderen Ja.
In diesem Fall sagen wir, dass es vier Freiheitsgrade gab, da nach der Auswahl der ersten vier Früchte automatisch die Frucht der fünften Person bestimmt wurde.
Es sollte beachtet werden, dass der Grund, warum die fünf Personen nicht die Möglichkeit hatten, ihre Früchte frei zu wählen, darin besteht, dass es von Anfang an nur fünf Früchte gab. Wenn wir den fünf Personen gesagt hätten, dass sie jeweils die Frucht auswählen sollen, die ihnen am besten gefällt, ohne eine Option anzugeben, dann hätten alle fünf Personen die freie Wahl gehabt. Dies zeigt, dass die Tatsache, dass es nur fünf Früchte gab, eine Einschränkung darstellte, die die Freiheitsgrade der Wahl reduzierte.
Freiheitsgrade in der Mathematik
Mathematisch werden die Freiheitsgrade als die Anzahl der Domänendimensionen eines Zufallsvektors definiert . Dies bedeutet, dass sie die Anzahl der Komponenten eines Zufallsvektors sind, dessen Werte wir angeben müssen, um den Vektor vollständig zu kennen.
Um dieses Konzept besser zu verstehen, analysieren wir es aus geometrischer Sicht. Wir können einen Zufallsvektor als einen Vektor definieren, der aus einer Reihe von skalaren Zufallsvariablen gebildet wird . Jede dieser Zufallsvariablen repräsentiert eine der Komponenten des Vektors in einer Dimension. Das heißt, die Anzahl solcher Variablen oder Komponenten ( n ) definiert einen n-dimensionalen Raum, in dem sich der Zufallsvektor frei bewegen kann, also sagen wir, dass der Vektor n Freiheitsgrade hat.
Wenn der Vektor beispielsweise aus einer einzigen Zufallsvariablen besteht, dann kann dieser Vektor nur entlang einer einzigen Dimension frei variieren. Infolgedessen ist es zur Definition eines bestimmten Vektors nur erforderlich, den Wert dieser einzelnen Zufallsvariablen zu wählen, sodass wir sagen, dass es nur einen Freiheitsgrad gibt.
Wird dagegen ein Vektor aus zwei Komponenten gebildet, kann er im zweidimensionalen Raum, also in einer Ebene, dargestellt werden. Wir sagen, dass sich dieser Vektor in Abhängigkeit von den bestimmten Werten, die diese beiden Zufallsvariablen annehmen, frei entlang zweier Dimensionen bewegen kann, also sagen wir, dass er zwei Freiheitsgrade hat.
Die gleiche Argumentation funktioniert für einen Zufallsvektor mit 3, 4 oder mehr Komponenten.
Ein typisches Beispiel für einen in der Statistik häufig verwendeten Zufallsvektor ist eine Stichprobe der Größe n. In diesem Fall ist jedes der n Elemente der Stichprobe eine Zufallsvariable, und alle n Werte bilden den Zufallsvektor, der der Stichprobe entspricht. Jedes Mal, wenn wir eine neue Probe auswählen, können wir einen neuen Vektor erhalten, und es gibt nichts, was uns daran hindert, alle Daten, aus denen die Probe besteht, frei und unabhängig auszuwählen.
Beschränkungen der Freiheitsgrade
Aus dem, was in den vorangegangenen Abschnitten erklärt wurde, kann gefolgert werden, dass jeder Zufallsvektor mit n Dimensionen (d. h. gebildet aus n unabhängigen Komponenten) n Freiheitsgrade haben wird, da jede der n Komponenten jeden beliebigen Wert haben kann, das heißt , gibt es nichts, was die Wahl jeder der n Zufallsvariablen einschränkt.
Wenn die Variablen jedoch nicht voneinander unabhängig sind, sondern durch eine mathematische Gleichung in Beziehung stehen, nimmt die Anzahl der Freiheitsgrade ab, da es Variablen gibt, deren Wert vollständig bestimmt ist, sobald die Werte ausgewählt oder angegeben sind die anderen Variablen.
Diese Beziehungen zwischen den Zufallsvariablen, aus denen der Vektor besteht, sind das, was wir als Beschränkungen oder Bedingungen kennen, und sind das mathematische Äquivalent der Bedingung „Es gibt nur fünf Früchte“ unserer intuitiven Erklärung von Freiheitsgraden.
Beispiel:
Angenommen, wir haben einen Zufallsvektor, der aus den drei Zufallsvariablen x , y und z besteht . Anfänglich hat dieses System drei Freiheitsgrade, da wir die Werte der drei Variablen auswählen müssen, um einen bestimmten Vektor vollständig zu spezifizieren.
Nehmen wir nun jedoch an, dass diese Variablen aus irgendeinem Grund die Bedingung erfüllen müssen, dass ihre Summe gleich 5 ist. Diese Bedingung schränkt unsere Auswahl der bestimmten Werte jeder Variablen ein, da nach freier Wahl der ersten beiden ( x und y , x y z oder y y z ) die dritte wird durch die Gleichung x + y + z = 5 bestimmt
Wählen wir zum Beispiel x = 10 und y = 5 , kann die Variable z keinen Wert annehmen, sondern muss unbedingt –10 wert sein, um die oben genannte Bedingung zu erfüllen.
Wenn wir mehr Einschränkungen oder unabhängigere Beziehungen zwischen den Variablen einbeziehen, können wir die Anzahl der Freiheitsgrade weiter reduzieren, sogar bis auf Null.
Freiheitsgrade in der Statistik
Mit der klareren Betrachtungsweise von Freiheitsgraden in der Mathematik wird es viel einfacher, Freiheitsgrade auf dem Gebiet der Statistik zu verstehen, wo sie am meisten von Nutzen sind.
Die Freiheitsgrade werden verwendet, um die Berechnung von Statistiken durchzuführen, sowie um Wahrscheinlichkeitsverteilungen wie die t-Student- Verteilung oder die Chi-Quadrat-Verteilung zu definieren.
In diesem Zusammenhang bestehen die Freiheitsgrade aus der Anzahl der Variablen, die wir angeben müssen, um den Wert einer statistischen Variablen wie Stichprobenmittelwert, Varianz, Stichprobenstandardabweichung usw. zu bestimmen.
Um beispielsweise den Stichprobenmittelwert für eine Stichprobe der Größe n zu berechnen, müssen wir alle Werte der n Elemente in der Stichprobe kennen. Der Durchschnitt wird anhand des folgenden Ausdrucks berechnet:
Sobald jedoch der Stichprobenmittelwert, der den Mittelwert der Grundgesamtheit berechnet, berechnet wurde, kann er zur Berechnung anderer statistischer Variablen wie der Stichprobenvarianz und der Standardabweichung verwendet werden. Da in diesen Fällen der Mittelwert und die Einzelwerte der Stichprobenelemente mittels der vorangegangenen Gleichung in Beziehung gesetzt werden, was eine Einschränkung darstellt, gilt zwar, dass jede aus dem Mittelwert errechnete Größe n-1 Freiheitsgrade haben wird :
Verweise
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