Tabla de Contenidos
Tilføjelsesreglerne i sandsynlighed og statistik refererer til de forskellige måder, hvorpå vi kan kombinere kendte sandsynligheder for to eller flere forskellige begivenheder for at bestemme sandsynligheden for nye begivenheder dannet af foreningen af disse begivenheder .
I statistik og sandsynlighed kender vi ofte sandsynligheden for, at visse hændelser (for eksempel hændelser A og B) vil indtræffe hver for sig, men ikke sandsynligheden for, at de indtræffer på samme tid, eller at den ene eller den anden vil indtræffe. Det er her tilføjelsesreglerne kommer til nytte.
For eksempel: vi kan kende sandsynligheden for at slå en sekser, når du kaster to terninger, kald det P(ruller 6), og sandsynligheden for, at begge terninger lander på lige numre, kald det P(lige numre).
Dette er relativt nemt. Men nogle gange er vi interesserede i at bestemme sandsynligheden for, at når to terninger kastes, får de begge et lige tal, eller at de lægger op til seks. I statistisk notation og i gruppeteori er dette “eller” repræsenteret med symbolet U, der angiver foreningen af to begivenheder, og i dette tilfælde vil denne sandsynlighed være repræsenteret som følger:
Disse typer af sandsynligheder kan beregnes ud fra de enkelte sandsynligheder og nogle yderligere data ved hjælp af additionsreglerne.
Det skal bemærkes, at hvilken additionsregel, vi skal bruge i hvert enkelt tilfælde, afhænger både af antallet af begivenheder, vi overvejer, og af, om disse begivenheder udelukker hinanden eller ej. Tilføjelsesreglerne for nogle simple tilfælde er beskrevet nedenfor.
Tilfælde 1: Tilføjelsesregel for usammenhængende eller gensidigt udelukkende arrangementer
To begivenheder kaldes gensidigt udelukkende, når forekomsten af den ene af dem udelukker muligheden for, at den anden indtræffer. Det vil sige, at de er begivenheder, der ikke kan forekomme på samme tid. For eksempel, når du kaster en terning, udelukker den, som resultatet, hvor 4 kommer op, at nogen af de andre 5 mulige resultater er kommet op.
Hvis vi betragter to eller flere hændelser (A, B, C…) gensidigt udelukker, består foreningssandsynligheden blot af summen af de individuelle sandsynligheder for hver af disse hændelser. Det vil sige, i dette tilfælde er unionssandsynligheden givet ved:
Dette kan lettest forstås ved hjælp af et Venn-diagram. Her er prøverummet repræsenteret af et rektangulært område; mens sandsynligheden for hver begivenhed er repræsenteret af sektorer inden for dette større område. I et Venn-diagram ses gensidigt udelukkende begivenheder som separate områder, der hverken berører eller overlapper.
I denne type diagrammer består beregningen af unionssandsynligheden i at opnå det samlede areal, der er optaget af alle de begivenheder, hvis sandsynligheder vi overvejer. I tilfældet med det forrige billede indebærer dette opnåelse af det samlede areal af sektor A, B og C, det vil sige det blå område i den følgende figur.
Det er let at se, at hvis begivenhederne er usammenhængende som i tilfældet med de to billeder ovenfor, er foreningssandsynligheden blot summen af de tre områder.
Eksempel 1: Beregning af sandsynligheden for at opnå et lige resultat, når man kaster en terning
Antag, at vi kaster en terning, og vi vil vide sandsynligheden for at få et lige tal. Da de eneste mulige lige tal på en 6-sidet terning er 2, 4 og 6, så er det, vi virkelig ønsker at vide, sandsynligheden for, at terningen lander på 2, 4 eller 6, da i begge tilfælde ville er faldet til et lige tal.
Sandsynligheden for at få et af de 6 hoveder er 1/6 (så længe det er en rimelig terning). Også, som vi så for et øjeblik siden, er de tre udfald gensidigt udelukkende begivenheder, da hvis 2 kast, kunne 4 eller 6 ikke have kastet sig, og så videre. Under disse forhold er fagforeningssandsynligheden givet ved:
Tilfælde 2: Tilføjelsesregel for to arrangementer, der ikke udelukker hinanden
Hvis A og B er begivenheder, der deler udfald med hinanden, det vil sige, at de kan forekomme på samme tid, siges begivenhederne ikke at udelukke hinanden. I dette tilfælde ser Venn-diagrammet således ud:
Som det kan ses, er der et område af prøverummet, hvor begge begivenheder forekommer på samme tid. Hvis vi vil bestemme sandsynligheden for forening, det vil sige P(AUB), skal vi finde det område, der er angivet i Venn-diagrammet til højre i den foregående figur.
Det er let at se, at i dette tilfælde, hvis vi bare tilføjer områderne A og B, tæller vi det fælles område to gange, så vi får et område (læs sandsynlighed) større end det vi ønsker. For at rette denne overskydende fejl er det kun nødvendigt at trække det areal, der deles af begivenhederne A og B, som svarer til sandsynligheden for skæringspunktet:
Dette udtryk for sandsynligheden for forening gælder også for det foregående tilfælde, da sandsynligheden for, at de forekommer på samme tid (sandsynligheden for skæring) er nul, idet den gensidigt udelukker.
Eksempel 2: Beregning af sandsynligheden for at opnå et lige resultat eller opnå et tal mindre end 4, når man kaster en terning
I dette tilfælde deler begge begivenheder udfald 2, som er både lige og mindre end 4, så unionssandsynligheden vil være:
Tilfælde 3: Tilføjelsesregel for tre arrangementer, der ikke udelukker hinanden
Et andet lidt mere komplekst tilfælde er, når der opstår 3 hændelser, som ikke er gensidigt udelukkende, såsom den, der er vist i følgende Venn-diagram:
I dette tilfælde tæller summen af de tre områder to gange skæringszonerne mellem A og B, mellem B og C og mellem C og D, og tæller tre gange skæringszonen af de tre begivenheder A, B og C. Hvis vi gør som før og trække skæringsarealerne mellem hvert par af begivenheder fra summen af de tre områder, vil vi trække tre gange arealet af midten, så det skal tilføjes som sandsynligheden for skæringspunktet mellem de tre begivenheder. Endelig er den generelle tilføjelsesregel for tre ikke-eksklusive arrangementer givet af:
Som før er dette udtryk generelt for ethvert sæt af tre hændelser, uanset om de er usammenhængende eller ej, da skæringspunkterne i dette tilfælde vil være tomme, og resultatet vil være det samme udtryk for det første tilfælde.
Eksempel 3: Beregning af sandsynligheden for at få et lige tal, et tal mindre end 10 eller et primtal på en 20-sidet terning
I dette tilfælde er der tre hændelser, der deler udfald mellem og også indeholder udfald, der ikke deles, så foreningssandsynligheden er givet ved det førnævnte udtryk.
Sandsynligheden for de enkelte hændelser er:
Nu er krydssandsynligheden:
Anvend nu ligningen for unionssandsynligheden:
Referencer
- strålende. (nd). Sandsynlighed – Summeregel | Brilliant Math & Science Wiki . Hentet fra https://brilliant.org/wiki/probability-rule-of-sum/
- lumen. (nd). Sandsynlighedsregler | Grænseløs statistik . Hentet fra https://courses.lumenlearning.com/boundless-statistics/chapter/probability-rules/#:%7E:text=The%20addition%20rule%20states%20the,probability%20that%20both%20will%20happen .
- MateMobile. (2021, 1. januar). Reglen for summen eller addition af sandsynligheder | matermobil . Hentet fra https://matemovil.com/regla-de-la-suma-o-adicion-de-probabilidades/
- Webster, A. (2001). Statistik anvendt på erhvervslivet og økonomien (spansk udgave) . Toronto, Canada: Irwin Professional Publishing.