Komplementreglen i statistik

I statistik og sandsynlighed fastslår komplementreglen, at sandsynligheden for, at enhver begivenhed A vil indtræffe, altid vil være lig med enhed minus sandsynligheden for, at den modsatte eller komplementære begivenhed til A indtræffer . Det er med andre ord en regel, der angiver, at sandsynligheden for en begivenhed og dens komplement er relateret ved hjælp af følgende udtryk:

Denne regel er en af ​​de grundlæggende egenskaber ved sandsynlighed og fortæller os, at vi altid kan beregne sandsynligheden for enhver begivenhed, hvis vi kender sandsynligheden for dens komplement og omvendt. Dette er særligt vigtigt, da det i mange situationer i den virkelige verden, hvor vi skal beregne sandsynligheden for en begivenhed, er meget lettere at beregne sandsynligheden for dens komplement direkte i stedet. Så, når dette er beregnet, bruger vi komplementreglen til at bestemme den sandsynlighed, som vi oprindeligt ønskede.

Nogle simple eksempler på anvendelsen af ​​denne regel er:

• Hvis sandsynligheden for, at Real Madrid vinder en Champions League-fodboldkamp, ​​er 34/57 eller 0,5965, er sandsynligheden for, at de ikke vinder en Champions League-kamp 1-34/57 = 23/57 eller 0,4035.
• Sandsynligheden for at en almindelig 6-sidet terning lander på et lige tal mindre end 6 er 1/3, så sandsynligheden for at terningen ikke lander på et lige tal mindre end 6 er 2/3.

Bevis for komplementreglen

Komplementreglen kan demonstreres på flere forskellige måder, hvoraf enhver vil gøre det lettere for læseren at huske. For at kunne udføre denne demonstration, må vi starte med at definere nogle grundlæggende udtryk, såsom hvad er en begivenhed, og hvad er dens komplement. Derudover skal vi angive nogle af de hovedaksiomer, som sandsynlighed er baseret på.

Eksperimenter, resultater, prøverum og begivenheder

I statistikker og sandsynlighed taler vi om at udføre eksperimenter , såsom at vende mønter, kaste en terning, vælge et kort eller et kortspil fra et tilfældigt blandet spil, og så videre. Hver gang vi udfører et eksperiment, får vi et resultat , såsom at vælge de 2 køller fra bunken med spanske spillekort.

Det samlede sæt af alle mulige forskellige resultater, som et eksperiment kan give, kaldes prøverummet og er normalt repræsenteret af bogstavet S.

På den anden side er et bestemt resultat eller et sæt af resultater af eksperimentet kendt som en begivenhed . Hændelser kan være individuelle resultater, i hvilket tilfælde de kaldes simple hændelser, eller de kan være sammensatte hændelser, der består af mere end ét element eller resultat.

Hvad er plugin’et til en begivenhed?

Komplementet af en hændelse er intet andet end sættet af alle andre mulige udfald i prøverummet, som ikke inkluderer resultaterne af selve hændelsen . I tilfældet med eksemplet med at kaste en terning, er komplementet til begivenheden, hvor terningen lander på 5, for eksempel en anden begivenhed, hvor terningen lander på 1, 2, 3, 4 eller 6, eller hvad som helst. Det er det samme, det falder ikke i 5.

Plugins er ofte repræsenteret på forskellige måder. De to mest almindelige former er:

• Anbringelse af en skråstreg over hændelsesnavnet (for eksempel repræsenterer A̅ komplementet af hændelse A).
• Anbringelse af et C som hævet (A ^C ).

I begge tilfælde står der “A-komplement”, “komplement til A” eller “Ikke A.”

En nem måde at forstå både plugin-konceptet og selve plugin-reglen er ved at bruge Venn-diagrammer . Den følgende figur viser et simpelt diagram af ethvert eksperiment og en enkelt hændelse, som vi vil kalde A.

I Venn-diagrammer som dette repræsenterer hele rektanglet eksperimentets prøverum, mens hele rektanglets areal (i dette tilfælde både de grå og blå områder) repræsenterer sandsynligheden for prøverummet, som vha. definition , er lig med 1. Dette skyldes, at hvis vi udfører et eksperiment, er det helt sikkert, at et eller andet resultat indeholdt i prøverummet vil blive opnået, da det indeholder alle de mulige resultater.

Den blå cirkel omslutter området af udstillingsrummet, som alle mulige udfald af begivenhed A formodes at ligge i. For eksempel, hvis begivenhed A ruller et lige tal, skal dette blå område indeholde resultaterne 2, 4 og 6 På den anden side er alt det område, der er uden for begivenheden A (det vil sige gråzonen), komplementet til A, da det indeholder de andre resultater (1, 3 og 5).

Komplementreglen og Venn-diagrammer

En nøgle til at forstå komplementreglen ved hjælp af Venn-diagrammer er, at arealet af enhver hændelse inden for disse diagrammer er proportional med dens sandsynlighed; det samlede areal af rektanglet svarer til en sandsynlighed på 1. Som vi tydeligt kan se, danner begivenheden A (blå cirkel) og dens komplement, A̅ (grå område) tilsammen hele rektanglet.

Af denne grund skal summen af ​​deres arealer, som repræsenterer deres respektive sandsynligheder, være lig med 1, som er arealet af prøverummet, S. Hvis vi omarrangerer dette, får vi:

Dette er komplementreglen.

Komplementreglen fra sandsynlighedsaksiomerne

Enhver begivenhed og dens komplement danner et par usammenhængende eller gensidigt udelukkende begivenheder, da hvis den ene sker, er det pr. definition umuligt for den anden at ske. Under disse forhold er foreningssandsynligheden for disse to begivenheder blot givet ved summen af ​​de individuelle sandsynligheder. Det vil sige:

Også, som vi sagde før, resulterer foreningen af ​​begivenheder A og dens komplement, A ^C , i prøverummet:

Ved at erstatte P(AUC ^C ) i ovenstående ligning og derefter substituere sandsynligheden for S, som per definition er 1, får vi:

Ved at omarrangere de sidste to medlemmer får vi komplementreglen.

Eksempel på et plugin-regelprogramproblem

Det følgende er et eksempel på et typisk problem, hvor brugen af ​​plugin-reglen er særlig nyttig.

udmelding

Antag, at vi har et kredsløb bestående af 5 identiske chips forbundet i serie, det vil sige den ene efter den anden. Sandsynligheden for, at en chip vil fejle inden for det første år efter dens fremstilling, er 0,0002. Hvis en af ​​de 5 chips fejler, fejler hele systemet. Du vil finde sandsynligheden for, at systemet fejler det første år.

Løsning

Lad os kalde F (for fiasko) resultatet, hvor en komponent eller systemchip fejler, og E (succes) for resultatet, hvor komponenten ikke fejler eller, hvad der er det samme, den virker. Derefter er dataene fra erklæringen:

Forsøget, hvor det afgøres, om hele systemet svigter, svarer faktisk til, at man udfører 5 samtidige forsøg, hvor det afgøres, om nogen af ​​komponenterne fejler. Så prøverummet for dette eksperiment består af alle kombinationer af succes- eller fiaskoresultater på hver af de 5 komponenter. Da vi er forbundet i serie, ved vi, at rækkefølgen betyder noget. Derfor er prøverummet dannet af:

Dette prøverum indeholder 2 ⁵ =32 mulige udfald svarende til alle mulige kombinationer af Es og Fs. Da vi vil beregne sandsynligheden for, at systemet svigter, er den hændelse, vi er interesseret i, som vi vil kalde hændelse A, givet ved alle udfald, hvor mindst en af ​​komponenterne svigter. Det er med andre ord givet af følgende resultatsæt:

Faktisk er der 2 ⁵ -1=31 mulige udfald, hvor mindst en af ​​de fem komponenter fejler. Hvis vi ønskede at beregne sandsynligheden for A (det vil sige P(A)), ville vi skulle beregne sandsynligheden for hvert af disse udfald; det ville være et betydeligt arbejde.

Men lad os nu overveje den komplementære begivenhed af A, det vil sige den begivenhed, hvor systemet virker (som vi vil kalde A ^C ). Som vi kan se, er den eneste måde for hele systemet at fungere på, at alle fem komponenter i kredsløbet fungerer, det vil sige:

At beregne denne sandsynlighed er meget nemmere end at beregne den forrige. Så, givet denne sandsynlighed, bruger vi komplementreglen til at beregne sandsynligheden for A. Da udfaldene af hver chip er uafhængige begivenheder af hinanden, er sandsynligheden for A ^C simpelthen produktet af sandsynligheden for, at hver chip fungerer, f.eks. :

Men hvad er sandsynligheden for E? Husk at hver chip enten virker eller ikke virker, så E er komplementet til F. Derfor, hvis vi har sandsynligheden for F (som er givet i øvelsen), kan vi beregne sandsynligheden for E ved hjælp af komplementreglen :

Nu kan vi beregne sandsynligheden for, at hele systemet fungerer:

Og igen ved at anvende komplementreglen beregner vi sandsynligheden for, at systemet fejler:

Svar

Sandsynligheden for at systemet fejler det første år er 0,010 eller 1,0 %.

Referencer

Devore, JL (1998). SANDSYNLIGHED OG STATISTIK FOR INGENIØR OG VIDENSKABER . International Thomson Publishers, SA

Supplerende regel . (nd). Fhybea. https://www.fhybea.com/complement-rule.html

Reglen for komplementet i sandsynligheder . (2021, 1. januar). MateMobile. https://matemovil.com/regla-del-complemento-en-probabilidades/