Tabla de Contenidos
Begrebet frihedsgrader opstår hyppigt i både matematik og statistik. Afhængig af det pågældende område varierer konceptet betydeligt.
Det intuitive begreb om frihedsgrader
Intuitivt refererer antallet af frihedsgrader til antallet af frie valg, vi kan træffe i en given situation . Antag for eksempel, at en gruppe på fem personer skal vælge mellem 5 forskellige frugter. Den første person kan frit vælge enhver af frugterne. Den næste kan du frit vælge mellem de resterende fire frugter og så videre. Ved at nå den sidste person, da der kun var 5 frugter i begyndelsen, er denne person tvunget til at vælge den sidste frugt, hvilket betyder, at den sidste person i virkeligheden ikke havde nogen valgfrihed, mens de andre Ja.
I dette tilfælde siger vi, at der var fire frihedsgrader, da efter at have valgt de første fire frugter, blev den femte persons frugt bestemt automatisk.
Det skal bemærkes, at grunden til, at de fem personer ikke havde mulighed for at vælge deres frugt frit, er, at der kun var fem frugter til at begynde med. Hvis vi havde fortalt de fem personer, at de hver især skulle vælge den frugt, de bedst kunne lide, uden at angive nogen mulighed, så ville alle fem personer have haft valgfriheden. Dette viser, at det faktum, at der kun var fem frugter, repræsenterede en begrænsning, der reducerede graderne af valgfrihed.
frihedsgrader i matematik
Matematisk defineres frihedsgrader som antallet af domænedimensioner af en tilfældig vektor . Det betyder, at de er antallet af komponenter i en tilfældig vektor, hvis værdier vi skal angive for at kende vektoren fuldstændigt.
For bedre at forstå dette koncept, lad os analysere det fra et geometrisk synspunkt. Vi kan definere en tilfældig vektor som en, der er dannet af et sæt skalære tilfældige variable . Hver af disse tilfældige variable repræsenterer en af komponenterne i vektoren i én dimension. Det vil sige, at antallet af sådanne variable eller komponenter ( n ) definerer et n-dimensionelt rum, inden for hvilket den tilfældige vektor kan bevæge sig frit, så vi siger, at vektoren har n frihedsgrader.
For eksempel, hvis vektoren består af en enkelt tilfældig variabel, så kan denne vektor kun variere frit langs en enkelt dimension. Som en konsekvens af dette, for at definere en bestemt vektor, er det kun nødvendigt at vælge værdien af den enkelte tilfældige variabel, så vi siger, at der kun er én frihedsgrad.
På den anden side, hvis en vektor er dannet af to komponenter, kan den repræsenteres i et todimensionelt rum, det vil sige i et plan. Vi siger, at denne vektor kan bevæge sig frit langs to dimensioner afhængigt af de særlige værdier, som disse to tilfældige variabler antager, så vi siger, at den har to frihedsgrader.
Det samme ræsonnement fungerer for en tilfældig vektor med 3, 4 eller flere komponenter.
Et typisk eksempel på en tilfældig vektor, der ofte bruges i statistik, er en stikprøve af størrelse n. I dette tilfælde er hvert af de n elementer i prøven en tilfældig variabel, og alle de n værdier udgør den tilfældige vektor, der svarer til prøven. Hver gang vi vælger en ny prøve, kan vi få en ny vektor, og der er intet, der forhindrer os i at vælge frit og uafhængigt hver af de data, der udgør prøven.
Begrænsninger af frihedsgrader
Ud fra det, der er blevet forklaret i de foregående afsnit, kan det udledes, at enhver tilfældig vektor med n dimensioner (det vil sige dannet af n uafhængige komponenter) vil have n frihedsgrader, da enhver af de n komponenter kan have en hvilken som helst værdi, dvs. , er der intet, der begrænser valget af hver af de n tilfældige variable.
Men hvis variablerne ikke er uafhængige af hinanden, men er forbundet med en matematisk ligning, falder antallet af frihedsgrader, da der vil være variabler, hvis værdi er fuldt bestemt, når værdierne er valgt eller specificeret. de andre variable.
Disse forhold mellem de tilfældige variable, der udgør vektoren, er, hvad vi kender som begrænsninger eller betingelser, og er den matematiske ækvivalent til “der er kun fem frugter”-betingelsen for vores intuitive forklaring af frihedsgrader.
Eksempel:
Antag, at vi har en tilfældig vektor bestående af de tre stokastiske variable x , y og z . I første omgang har dette system tre frihedsgrader, da vi skal vælge værdierne af de tre variabler for fuldt ud at specificere en bestemt vektor.
Men antag nu, at disse variable af en eller anden grund skal opfylde betingelsen om, at deres sum er lig med 5. Denne betingelse begrænser vores valg af de særlige værdier af hver variabel, da efter frit at vælge de to første ( x og y , x y z eller y y z ) den tredje bestemmes af ligningen x + y + z = 5
Hvis vi for eksempel vælger x = 10 og y = 5 , kan variablen z ikke antage nogen værdi, men skal nødvendigvis være -10 værd for at overholde den førnævnte betingelse.
Hvis vi inkluderer flere begrænsninger eller flere uafhængige sammenhænge mellem variablerne, kan vi yderligere reducere antallet af frihedsgrader, endda ned til nul.
frihedsgrader i statistik
Med den mere overskuelige måde at se på frihedsgrader i matematik, bliver det meget nemmere at forstå frihedsgrader på statistikområdet, hvor de finder det meste af deres brugbarhed.
Frihedsgraderne bruges til at udføre beregning af statistik, samt til at definere sandsynlighedsfordelinger såsom t -elev- fordelingen eller chi-kvadratfordelingen.
I disse sammenhænge består frihedsgrader af antallet af variabler, som vi skal specificere for at bestemme værdien af en eller anden statistisk variabel såsom stikprøvegennemsnit, varians, prøvestandardafvigelse osv.
For eksempel, ved beregning af stikprøvegennemsnittet for en stikprøve af størrelse n, skal vi kende alle værdierne af de n elementer i stikprøven. Gennemsnittet beregnes ved hjælp af følgende udtryk:
Men når stikprøvegennemsnittet, som beregner populationsgennemsnittet, er beregnet, kan det bruges til at beregne andre statistiske variable såsom stikprøvevarians og standardafvigelse. I disse tilfælde, givet at middelværdien og de individuelle værdier af prøveelementerne er relateret ved hjælp af den foregående ligning, som repræsenterer en begrænsning, er det rigtigt, at enhver mængde beregnet ud fra middelværdien vil have n-1 frihedsgrader :
Referencer
De la Cruz-Oré, JL (2013). Hvad betyder frihedsgrader? Peruvian Journal of Epidemiology , 17 (2), 1-6. https://www.redalyc.org/pdf/2031/203129458002.pdf
DeVore, J. (2002). Sandsynlighed og statistik for teknik og videnskab (5. udgave). Thomson International.
Frihedsgrader . (2012, 18. november). Finansiel encyklopædi. http://www.enciclopediafinanciera.com/definicion-grados-de-libertad.html
Minitab Blog Editor. (2019, 18. april). Hvad er frihedsgrader i statistik? Minitab blog. https://blog.minitab.com/da/what-are-degrees-of-freedom-in-statistics
Pacheco, J. (2019, 15. oktober). ▷ Frihedsgrader i statistik ( Hvad er de, og hvordan anvendes de) | 2021 . Web og virksomheder. https://www.webyempresas.com/grados-de-libertad-en-estadistica/
