Tabla de Contenidos
Der er mange situationer, hvor vi er interesserede i at finde sandsynligheden for, at to begivenheder indtræffer samtidigt. Nogle af dem er:
- Find sandsynligheden for at kaste en dobbelt sekser, når du kaster to terninger samtidigt eller efter hinanden.
- Find sandsynligheden for, at en tilfældig valgt person fra en gruppe er både kvindelig og mørk i huden.
- Sandsynligheden for at vælge et par elever af det modsatte køn fra en del af skolen.
- Sandsynligheden for, at to redundante kontrolsystemer svigter på samme tid i en rumraketopsendelse.
Denne klasse af problemer kan løses ved hjælp af den generelle regel om multiplikation af sandsynligheder. Denne regel fastslår, at for to hændelser A og B er sandsynligheden for, at de forekommer samtidigt, det vil sige sandsynligheden for skæringspunktet, givet ved:
I denne ligning er P(A|B) den betingede sandsynlighed for, at hændelse A indtræffer givet B. Ovenstående er den generelle multiplikationsregel og gælder for ethvert par af hændelser. I nogle tilfælde er den betingede sandsynlighed ukendt eller svær at bestemme; i tilfælde af uafhængige begivenheder er denne sandsynlighed dog forenklet for at give anledning til multiplikationsreglen for uafhængige begivenheder.
Multiplikationsregel for uafhængige begivenheder
Hvad er uafhængige begivenheder?
To begivenheder A og B er uafhængige af hinanden, hvis forekomsten af den ene af dem ikke påvirker sandsynligheden for, at den anden indtræffer. I matematiske termer indebærer dette, at den betingede sandsynlighed for, at en af begivenhederne indtræffer, givet at vi ved, at den anden er indtruffet, er lig med den simple sandsynlighed for, at den først indtræffer. Med andre ord vil to begivenheder kun være uafhængige, hvis:
Fortolkningen af ovenstående er, at sandsynligheden for, at A indtræffer givet, at B er indtruffet, er lig med sandsynligheden for, at A indtræffer. Dette indebærer, at forekomsten af B ikke påvirkede sandsynligheden for, at A indtræffer, så begge begivenheder indtræffer. i en uafhængig vej.
Ethvert par af begivenheder, der ikke opfylder ovenstående betingelse, vil være afhængige begivenheder.
Hvordan påvirkes multiplikationsreglen i dette tilfælde?
Som vi kan se, kan det første udtryk for uafhængighedsbetingelsen bruges til at forenkle den generelle multiplikationsregel, da den første faktor kan erstattes af den simple sandsynlighed for A, og dermed opnå følgende udtryk:
Ovenstående udtryk er kendt som reglen om multiplikation af sandsynligheder for uafhængige begivenheder . Det indebærer, at hvis vi ved, at to begivenheder er uafhængige af hinanden, og vi kender deres sandsynligheder for forekomst, så kan vi finde sandsynligheden for, at de begge vil opstå på samme tid blot ved at gange disse sandsynligheder.
Eksempler på uafhængige begivenheder
Mangel på information kan gøre det vanskeligt at identificere, om to begivenheder er uafhængige. For eksempel kan vi tro, at det at have brunt hår ikke har noget at gøre med forekomsten af brystkræft, men menneskekroppens fysiologi er så kompleks, at ingen læge ville vove at komme med den udtalelse.
Der er dog mange simple eksperimenter, hvor vi nemt kan identificere, om to begivenheder er uafhængige eller ej.
- Kast to terninger på samme tid. Når man kaster to terninger, påvirker resultatet af den ene ikke på nogen måde resultatet, der kan vises på den anden, så den hændelse, at en terning lander på et givet tal, er uafhængig af den begivenhed, hvor den anden terning lander på et andet tal. eller det samme, endda.
- Resultaterne af at kaste den samme terning to gange i træk er også uafhængige af hinanden af de samme årsager.
- Vend en mønt to gange. Det faktum, at det lander hoveder eller haler første gang, vil ikke påvirke resultatet af næste kast.
- I en køleskabsfabrik, der har to uafhængige produktionslinjer for komponenter, der bruger separate råmaterialer og arbejdskraft, er det acceptabelt at antage, at sandsynligheden for, at den ene af de to komponenter fejler, er uafhængig af sandsynligheden for, at den anden fejler.
- Tilfældig trækning af et kort eller bun fra bunken, udskiftning af det og derefter tilfældig trækning af endnu et kort fra bunken er separate begivenheder, da udskiftning af det originale kort i bunken nulstiller chancerne for at trække et af de originale kort.
Eksempler på begivenheder, der ikke er uafhængige
- At trække et kort eller et kort tilfældigt fra et spil og derefter trække et andet kort fra det samme spil uden at erstatte det første er ikke uafhængige begivenheder, da det at trække det første reducerer det samlede antal kort, der er til stede i bunken, hvilket påvirker sandsynligheden for evt. andet kort kommer ud. Hvis vi ikke erstatter det første kort, bliver sandsynligheden for, at det kort kommer ud anden gang, nul.
- I en kørende bil er sandsynligheden for, at bilens motor overophedes, og sandsynligheden for, at vandpumpen , der køler motoren, fejler, ikke uafhængige hændelser, da hvis vandpumpen svigter, bliver det meget mere sandsynligt, at motoren overophedes.
- Et endnu nemmere eksempel at forstå er, at det at få gode karakterer i statistik ikke er uafhængigt af at studere , da hvis vi studerer, er der større sandsynlighed for, at vi får gode karakterer.
Eksempler på sandsynlighedsberegninger ved brug af multiplikationsreglen for uafhængige hændelser
Eksempel 1: At kaste en mønt to gange
Antag, at vi vil beregne sandsynligheden for, at når man kaster en mønt to gange, er resultatet hoveder på begge kast.
Hvis vi kalder A hændelsen, hvor det første kast lander hoveder, og B hændelsen, hvor det andet kast lander hoveder, så er sandsynligheden for, at vi bliver bedt om at beregne, sandsynligheden for skæringspunktet mellem A og B, da vi ønsker at begge begivenheder skal ske . Det vil sige, at det ukendte er P(A∩B).
Da der kun er to mulige udfald for hvert kast, er sandsynligheden for, at begge begivenheder indtræffer den samme:
Nu, da vi ved, at begivenhederne er uafhængige, kan vi bruge multiplikationsreglen til at bestemme sandsynligheden for skæringspunktet:
Eksempel 2: Kast med to terninger
Lad os beregne sandsynligheden for, at når man kaster to almindelige sekssidede terninger, lander en af dem på den ene og den anden lander på et lige tal.
Lad os kalde følgende begivenheder A og B:
A = en af terningerne lander på 1.
B = en af terningerne lander på et lige tal.
Det vi vil beregne er igen P(A∩B).
Da resultatet af hver terning er uafhængig af det tal, der resulterer i den anden, kan vi beregne P(A∩B) ved hjælp af multiplikationsreglen for uafhængige hændelser. Men først skal vi bruge sandsynligheden for A og B.
Terningen har 6 flader med tallene fra 1 til 6, som ikke gentages. Derfor er der kun et 1, og der er tre lige tal, nemlig 2, 4 og 6. Derfor er sandsynligheden for, at de separate begivenheder finder sted:
Ved at bruge disse sandsynligheder og multiplikationsreglen får vi den ønskede sandsynlighed:
Eksempel 3: Dele der fejler
En fabrik, der bygger computerudstyr, bruger blandt andet to forskellige chips eller integrerede kredsløb fra to forskellige producenter. Ifølge producenten af den første chip er sandsynligheden for, at den fejler under normale driftsforhold 0,00133. På sin side kan den anden producent prale af, at kun to af dens chips fejler for hver 5.000 installerede enheder. Fabriksejeren ønsker at finde sandsynligheden for, at begge komponenter fejler på samme tid. Fejlen af hvert chipmærke kan betragtes som uafhængigt af det andet.
I dette tilfælde specificerer udsagnet selv, at de to hændelser er uafhængige, så vi kan bruge multiplikationsreglen ovenfor. Derudover er sandsynligheden for, at den første chip svigter, også angivet, som vi vil kalde hændelse A. Sandsynligheden for, at den anden chip svigter (hændelse B) kan beregnes ud fra oplysningerne fra producenten:
Så sandsynligheden for at begge komponenter fejler på samme tid er:
Referencer
Betinget sandsynlighed og uafhængighed . (nd). University of Florida Health. https://bolt.mph.ufl.edu/6050-6052/unit-3/module-7/
Devore, JL (1998). SANDSYNLIGHED OG STATISTIK FOR INGENIØR OG VIDENSKABER . International Thomson Publishers, SA
Frost, J. (2021, 10. maj). Multiplikationsregel til beregning af sandsynligheder . Statistik af Jim. https://statisticsbyjim.com/probability/multiplication-rule-calculating-probabilities/
Multiplikationsregel, løste øvelser . (2021, 1. januar). MateMobile. https://matemovil.com/regla-de-la-multiplicacion-o-producto-de-probabilidades/
Sandsynlighedsmultiplikationsregel . (nd). Varsity undervisere. https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/multiplication-rule-of-probability
Multiplikationsregel (sandsynlighed) [Eksempler] . (nd). Fhybea. https://www.fhybea.com/multiplication-rule.html
Den generelle multiplikationsregel . (nd). Khan Academy. https://www.khanacademy.org/math/ap-statistics/probability-ap/probability-multiplication-rule/a/general-multiplication-rule
