Hvad er de mulige resultater af at kaste tre terninger samtidigt?

Artículo revisado y aprobado por nuestro equipo editorial, siguiendo los criterios de redacción y edición de YuBrain.


At kaste mønter og terninger eller blindt fjerne kugler fra en æske er nogle af de enkleste eksperimenter, vi kan udføre for at teste vores forståelse af de forskellige begreber relateret til statistik. Det er lette eksperimenter at udføre, som alle kan lave derhjemme, de giver klare og entydige resultater, og disse kan nemt konverteres til numeriske data.

I tilfælde af terningkast er der også en klar sammenhæng mellem dem og hasardspil, hvilket gør anvendelsen af ​​statistikker mere håndgribelig i noget, der er en del af mange menneskers dagligdag eller i det mindste noget med hvad næsten alle af os er stødt på mindst én gang i deres liv.

At kaste tre terninger samtidigt kan producere forskellige typer resultater, som vi kan fortolke på forskellige måder. Vi kan være interesserede i selve de enkelte resultater, eller vi kan være interesserede i værdien af ​​summen eller i antallet af lige eller ulige resultater, der kommer op mellem terningerne osv. Af de tre er det mest almindelige at være interesseret i resultatet af summen af ​​værdierne af de tre terninger. I de følgende afsnit vil vi undersøge, hvordan man beregner sandsynligheden for forekomst af hver af summerne, når man kaster tre terninger på samme tid.

Prøvepladsen til at kaste tre terninger

At rulle en enkelt terning terning er et simpelt eksperiment, der kun har seks mulige udfald. Det vil sige, at det er et eksperiment, hvis prøverum er dannet af resultaterne S 1 givet = {1; 2; 3; 4; 5; 6}.

Når du kaster to terninger samtidigt, kan det antages, at resultatet af hver terning er uafhængig af den anden, så hver af dem kan resultere i et hvilket som helst af de seks foregående resultater. Dette medfører som en konsekvens, at 6 2 = 36 mulige resultater kan gives svarende til alle de mulige kombinationer mellem de 6 værdier af den ene terning og de 6 værdier af den anden.

I dette tilfælde vil vi have et prøverum på S 2 givet = {11; 12; 13; 14; femten; 16; enogtyve; 22; 23; 24; 25; 26; …; 61; 62; 63; 64; 65; 66}. Af disse 36 resultater kan antallet af unikke kombinationer (uden at tage rækkefølgen i betragtning) beregnes ved hjælp af en kombinatorik med gentagelse, hvor der tages grupper på n = 2 (de to terninger der kastes) med m = 6 mulige resultater. :

Hvad er de sandsynlige resultater af at kaste tre terninger?

Disse 21 resultater svarer til {11; 12; 13; 14; femten; 16; 22; 23; 24; 25; 26; 33; 3. 4; 35; 36; 44; Fire, fem; 46; 55; 56; 66}. Sandsynligheden for hvert af disse resultater svarer til 1/36 ganget med antallet af forskellige permutationer, der kan oprettes med cifrene i hvert tal (1 hvis tallet gentages, som i 11, 22 osv., og 2 hvis tal gentages ikke, da vi kan have 12 eller 21, 13 eller 31 osv.)

I tilfælde af at kaste 3 terninger, er det samlede antal mulige udfald i prøverummet givet ved 6 3 = 216. Disse udfald er S 3 terninger = {111; 112; 113; 114; 115; 116; 121; …; 126; 131; …; 136; …; 166; 211; 212; …; 656; 666}. I dette tilfælde skal sandsynligheden for et individuelt resultat være 1/216.

Sandsynlighed for individuelle resultater ved kast med tre terninger

Nu hvor vi har veldefineret prøverummet for alle de mulige resultater af kast med 3 terninger, lad os se, hvordan man beregner sandsynligheden for hvert af de forskellige resultater, der kan opnås.

I tilfælde af at kaste tre terninger, i betragtning af at rækkefølgen som resultaterne kommer op i er irrelevant, vil mange af de 216 resultater faktisk blive gentaget. Det samlede antal unikke resultater kan beregnes igen som en kombination af grupper på 3 med hver 6 muligheder og med mulighed for gentagelser, dvs.

Hvad er de sandsynlige resultater af at kaste tre terninger?

Blandt disse 56 resultater forekommer de, der består af tre lige store tal (lad os kalde dem AAA), kun én gang. På den anden side gentages dem med to identiske figurer og en forskellig (AAB) 3 gange hver (svarende til permutationerne AAB, ABA og BAA). Endelig vil de, der har tre forskellige figurer (ABC), vises 3! = 6 gange (ABC, ACB, BAC, BCA, CAB og CBA).

Ud fra disse oplysninger og det samlede antal mulige udfald (216) kan vi beregne sandsynligheden for hvert udfald som

Hvad er de sandsynlige resultater af at kaste tre terninger?

Afhængigt af resultatet har den 1, 2 eller 3 forskellige figurer. De 56 mulige udfald og deres sandsynligheder er vist i følgende tabel:

Resultat Sandsynlighed Resultat Sandsynlighed Resultat Sandsynlighed Resultat Sandsynlighed
111 1/216 136 1/36 235 1/36 346 1/36
112 1/72 144 1/72 236 1/36 355 1/72
113 1/72 145 1/36 244 1/72 356 1/36
114 1/72 146 1/36 245 1/36 366 1/72
115 1/72 155 1/72 246 1/36 444 1/216
116 1/72 156 1/36 255 1/72 445 1/72
122 1/72 166 1/72 256 1/36 446 1/72
123 1/36 222 1/216 266 1/72 455 1/72
124 1/36 223 1/72 333 1/216 456 1/36
125 1/36 224 1/72 334 1/72 466 1/72
126 1/36 225 1/72 335 1/72 555 1/216
133 1/72 226 1/72 336 1/72 556 1/72
134 1/36 233 1/72 344 1/72 566 1/72
135 1/36 2. 3. 4 1/36 3. 4. 5 1/36 666 1/216

Sandsynlighed for summen, når du kaster tre terninger

Som nævnt før, når man kaster terningerne, er et vigtigere resultat end det særlige tal, hver hoved lander på, summen af ​​terningerne. I eksperimentet, hvor der kastes tre terninger, og summen opnås, består prøverummet af alle mulige summer mellem tre tal fra 1 til 6.

Den mindste værdi, der kan resultere af denne sum, er den, der opnås, når de tre terninger lander på 1, og opnår en sum på 1+1+1 = 3, mens den maksimale værdi svarer til 6+6+6 = 18, med mulighed for at opnå nogen af ​​de mellemliggende beløb. Derfor svarer prøverummet for dette eksperiment til:

S = {3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; elleve; 12; 13; 14; femten; 16; 17; 18}

summen af ​​tre terninger Antal unikke resultater Særligt unikke resultater Samlet antal mulige udfald
3 1 111 1
4 1 112 3
5 2 113; 122 6
6 3 114; 123; 222 10
7 4 115; 124; 133; 223 femten
8 5 116; 125; 134; 224; 233 enogtyve
9 6 126; 135; 144; 225; 2. 3. 4; 333 25
10 6 136; 145; 226; 235; 244; 334 27
elleve 6 146; 155; 236; 245; 335; 344 27
12 6 156; 246; 255; 336; 3. 4. 5; 444 25
13 5 166; 256; 346; 355; 445 enogtyve
14 4 266; 356; 446; 455 femten
femten 3 366; 456; 555 10
16 2 466; 556 6
17 1 566 3
18 1 666 1

Den sidste kolonne i tabellen viser det samlede antal resultater, som hver sum giver, inklusive tilsvarende resultater (fra alle permutationer af hver unik kombination). For eksempel, for summen af ​​15 skal terningkastet være 366, 356 eller 555. Men der er 3 permutationer på 366 (366, 636 og 663) og 6 permutationer på 356 (356, 365, 536, 563, 635 og 653) og en enkelt ud af 555, så det samlede antal mulige udfald, der svarer til 15, er 10.

Med den foregående tabel kan vi øve os i at beregne sandsynligheden for hver sum for kast med tre terninger på to forskellige måder. Disse er detaljeret nedenfor.

Strategi 1: Brug af sandsynligheden for hvert unikt resultat

Den første strategi er at tilføje sandsynligheden for alle unikke udfald, som hver sum kan give. Dette involverer at bruge de unikke resultater fra den tredje kolonne og den respektive sandsynlighed for hvert udfald præsenteret ovenfor.

Eksempel

Antag, at vi vil beregne sandsynligheden for, at summen af ​​de tre terninger er 11 (det vil sige P(11)). I dette tilfælde er der 6 unikke kombinationer (uanset rækkefølge), der giver en sum på 11. Disse resultater er (ifølge tredje kolonne i tabellen ovenfor): {146; 155; 236; 245; 335; 344}.

Sandsynligheden for hvert resultat bestemmes ud fra det samlede antal mulige permutationer i hvert tilfælde, som forklaret i det foregående afsnit. I dette tilfælde:

Hvad er de sandsynlige resultater af at kaste tre terninger?

Hvad er de sandsynlige resultater af at kaste tre terninger?

Derfor vil sandsynligheden for, at resultatet af summen er 11 være:

Hvad er de sandsynlige resultater af at kaste tre terninger?

Hvad er de sandsynlige resultater af at kaste tre terninger?

På samme måde, hvis vi ønskede sandsynligheden for, at summen er 16, ville resultatet være summen af ​​sandsynligheden for 466 og 556, som begge er lig med 1/72, så sandsynligheden ville være:

Hvad er de sandsynlige resultater af at kaste tre terninger?

Strategi 2: Brug af det samlede antal resultater svarende til hver sum

I dette tilfælde tages en enklere vej, så længe der er en liste over alle mulige resultater for hver summering, inklusive permutationerne. Så er sandsynligheden for hver sum simpelthen det samlede antal udfald for summen divideret med det samlede antal mulige udfald (216).

Eksempel

I tilfælde af summen = 11, er det samlede antal mulige resultater, der giver nævnte sum, 27 (se tredje kolonne i den foregående tabel), så sandsynligheden for, at summen af ​​11 vil være:

Hvad er de sandsynlige resultater af at kaste tre terninger?

Som du kan se, er resultatet det samme som før, og det er meget enkelt, hvis vi har et bord som det forrige allerede bygget. Men for mere komplekse tilfælde, hvor der er flere mulige udfald (såsom at kaste 4, 5 eller 4 terninger), kan denne strategi være mindre praktisk og førstnævnte mere praktisk.

Referencer

Graffe, S. (2021, 21. september). Hvad er sandsynligheden for, at når du kaster tre terninger, får du en sum på 7? Quora. https://en.quora.com/What%C3%A9-probabilidad-hay-que-al-lanzar-tres-dados-salga-una-sumatoria-de-7

Montagud Rubio, N. (2022, 17. marts). Tælleteknikker: typer, hvordan man bruger dem og eksempler . Psykologi og sind. https://psicologiaymente.com/miscelanea/tecnicas-de-conteo

lur. (2017, 16. november). Tælleteknikker i sandsynlighed og statistik . Naps Teknologi og uddannelse. https://naps.com.mx/blog/tecnicas-de-conteo-en-probabilidad-y-estadistica/

Valdés Gómez, J. (2016, 23. november). Kombinationer med gentagelser . Youtube. https://www.youtube.com/watch?v=WqHZx64RW-Q

-Reklame-

mm
Israel Parada (Licentiate,Professor ULA)
(Licenciado en Química) - AUTOR. Profesor universitario de Química. Divulgador científico.

Artículos relacionados