Sådan beregnes medianen af ​​den eksponentielle fordeling

Artículo revisado y aprobado por nuestro equipo editorial, siguiendo los criterios de redacción y edición de YuBrain.


Eksponentialfordelingen er et specialtilfælde af gammafordelingen. Det er en kontinuerlig fordeling, der bruges til at beskrive sandsynlighedsfordelingen af ​​den tid, der er forløbet mellem hændelser i en Poisson-proces. Dette refererer til de processer, hvor begivenheder sker kontinuerligt og uafhængigt af hinanden, men med en konstant gennemsnitsfrekvens.

Eksponentialfordelingen følger følgende sandsynlighedsfunktion:

Sådan beregnes medianen af ​​den eksponentielle fordeling

hvor X er en kontinuert stokastisk variabel og lambda ( λ ) er en karakteristisk parameter for hver bestemt fordeling. Følgende figur viser grafen for denne fordelingsfunktion for forskellige værdier af λ.

Sådan beregnes medianen af ​​den eksponentielle fordeling

Som det kan ses, henfalder denne funktion eksponentielt fra en begyndelsesværdi lig med λ og nærmer sig nul asymptotisk, når x stiger.

Middelværdien af ​​denne fordelingsfunktion er givet ved μ = 1/ λ og dens varians er σ 2 = (1/ λ) 2 . De følgende afsnit viser, hvordan man beregner medianen.

Betydningen af ​​den eksponentielle fordeling

Som nævnt i begyndelsen kan den eksponentielle fordeling anvendes på ethvert system, der følger en Poisson-proces. Det betyder, at det tjener til at beskrive tiderne mellem begivenheder såsom kundeankomst til servicefaciliteter, tiderne mellem fejl i elektroniske systemer eller komponenter og levende væseners overlevelse.

Hvad er medianen?

Før vi fortsætter med at beregne medianen, skal vi forstå, hvad det er. Medianen af ​​en sandsynlighedsfordeling svarer til værdien af ​​den stokastiske variabel, der deler fordelingen i to. I tilfælde af diskrete variable betyder det, at der efterlades det samme antal værdier på begge sider af medianen. For eksponentialfunktionen og de andre kontinuerte fordelingsfunktioner er medianen det punkt, der efterlader det samme område under sandsynlighedstæthedskurven på begge sider.

En anden mere praktisk måde at se medianen på, og som er den, vi vil bruge til at finde den i denne artikel, er, at den svarer til det punkt, hvor fordelingsfunktionen har en værdi på 0,5. Det vil sige, at det svarer til løsningen af ​​følgende ligning:

Sådan beregnes medianen af ​​den eksponentielle fordeling

Sådan beregnes medianen af ​​den eksponentielle fordeling

Beregning af medianen af ​​eksponentialfordelingen

For at finde medianen af ​​eksponentialfordelingen vil vi bruge fordelingsfunktionen og finde værdien af ​​den stokastiske variabel, som fordelingsfunktionen har en værdi på 0,5 for, som forklaret i det foregående afsnit. Med andre ord vil vi sige, at medianen (Me) er værdien af ​​den stokastiske variabel, x, for hvilken det er verificeret, at:

Sådan beregnes medianen af ​​den eksponentielle fordeling

Alt, hvad vi skal gøre nu, er at tilslutte pdf’en ( f(x) ), der svarer til den eksponentielle fordeling og integrere:

Sådan beregnes medianen af ​​den eksponentielle fordeling

Hvor vi har gjort brug af den stykkevise definition af sandsynlighedsfordelingsfunktionen, som har en værdi på nul for alle værdier af den stokastiske variabel mindre end eller lig med nul. Dette er et simpelt integral:

Sådan beregnes medianen af ​​den eksponentielle fordeling

Nu sætter vi lig med ½, og vi løser ligningen for at finde medianen, Me.

Sådan beregnes medianen af ​​den eksponentielle fordeling

Til sidst omarrangeres den, den naturlige logaritme tages på begge medlemmer og Me slettes:

Sådan beregnes medianen af ​​den eksponentielle fordeling

Derfor er medianen af ​​eksponentialfordelingen givet ved ln2/λ.

Forspændingen af ​​den eksponentielle fordeling

Hvis vi sammenligner værdien af ​​medianen, som vi lige har opnået, ln2/λ, med værdien af ​​medianen af ​​denne fordeling, som vi nævnte i begyndelsen, 1/λ, indser vi hurtigt, at medianen er mindre end middelværdien, fordi ln2 er et tal mindre end 1.

Når middelværdien ikke falder sammen med medianen, siges fordelingen at være skæv. Da middelværdien i dette tilfælde er større end medianen, siges den eksponentielle funktion at være skæv til højre .

Fordi medianen er et mål for central tendens, der er mindre følsom over for ekstreme værdier end gennemsnittet, foretrækkes det i tilfælde som dette, hvor bias findes, at bruge medianen til at repræsentere den centrale tendens.

Referencer

LesKanaris. (nd). Sådan beregnes medianen af ​​den eksponentielle fordeling – Interessant – 2021. Hentet fra https://us.leskanaris.com/2916-exponential-distribution-medians.html

Lifehackk. (2018). Sådan beregnes medianen af ​​den eksponentielle fordeling – 2021. Hentet fra https://esp.lifehackk.com/14-calculate-the-median-of-exponential-distribution-3126442-7366

Simpel matematik. (2021, 6. september). Median – eksponentiel fordeling [Videofil]. Gendannet fra https://www.youtube.com/watch?v=0s3h1Tfysog

Mtz De Lejarza E., J., & Mtz De Lejarza E., I. (1999). Eksponentiel fordeling. Hentet fra https://www.uv.es/ceaces/base/modelos%20de%20probabilidad/exponencial.htm

-Reklame-

Israel Parada (Licentiate,Professor ULA)
Israel Parada (Licentiate,Professor ULA)
(Licenciado en Química) - AUTOR. Profesor universitario de Química. Divulgador científico.

Artículos relacionados