Tabla de Contenidos
Eksponentialfordelingen er et specialtilfælde af gammafordelingen. Det er en kontinuerlig fordeling, der bruges til at beskrive sandsynlighedsfordelingen af den tid, der er forløbet mellem hændelser i en Poisson-proces. Dette refererer til de processer, hvor begivenheder sker kontinuerligt og uafhængigt af hinanden, men med en konstant gennemsnitsfrekvens.
Eksponentialfordelingen følger følgende sandsynlighedsfunktion:
hvor X er en kontinuert stokastisk variabel og lambda ( λ ) er en karakteristisk parameter for hver bestemt fordeling. Følgende figur viser grafen for denne fordelingsfunktion for forskellige værdier af λ.
Som det kan ses, henfalder denne funktion eksponentielt fra en begyndelsesværdi lig med λ og nærmer sig nul asymptotisk, når x stiger.
Middelværdien af denne fordelingsfunktion er givet ved μ = 1/ λ og dens varians er σ 2 = (1/ λ) 2 . De følgende afsnit viser, hvordan man beregner medianen.
Betydningen af den eksponentielle fordeling
Som nævnt i begyndelsen kan den eksponentielle fordeling anvendes på ethvert system, der følger en Poisson-proces. Det betyder, at det tjener til at beskrive tiderne mellem begivenheder såsom kundeankomst til servicefaciliteter, tiderne mellem fejl i elektroniske systemer eller komponenter og levende væseners overlevelse.
Hvad er medianen?
Før vi fortsætter med at beregne medianen, skal vi forstå, hvad det er. Medianen af en sandsynlighedsfordeling svarer til værdien af den stokastiske variabel, der deler fordelingen i to. I tilfælde af diskrete variable betyder det, at der efterlades det samme antal værdier på begge sider af medianen. For eksponentialfunktionen og de andre kontinuerte fordelingsfunktioner er medianen det punkt, der efterlader det samme område under sandsynlighedstæthedskurven på begge sider.
En anden mere praktisk måde at se medianen på, og som er den, vi vil bruge til at finde den i denne artikel, er, at den svarer til det punkt, hvor fordelingsfunktionen har en værdi på 0,5. Det vil sige, at det svarer til løsningen af følgende ligning:
Beregning af medianen af eksponentialfordelingen
For at finde medianen af eksponentialfordelingen vil vi bruge fordelingsfunktionen og finde værdien af den stokastiske variabel, som fordelingsfunktionen har en værdi på 0,5 for, som forklaret i det foregående afsnit. Med andre ord vil vi sige, at medianen (Me) er værdien af den stokastiske variabel, x, for hvilken det er verificeret, at:
Alt, hvad vi skal gøre nu, er at tilslutte pdf’en ( f(x) ), der svarer til den eksponentielle fordeling og integrere:
Hvor vi har gjort brug af den stykkevise definition af sandsynlighedsfordelingsfunktionen, som har en værdi på nul for alle værdier af den stokastiske variabel mindre end eller lig med nul. Dette er et simpelt integral:
Nu sætter vi lig med ½, og vi løser ligningen for at finde medianen, Me.
Til sidst omarrangeres den, den naturlige logaritme tages på begge medlemmer og Me slettes:
Derfor er medianen af eksponentialfordelingen givet ved ln2/λ.
Forspændingen af den eksponentielle fordeling
Hvis vi sammenligner værdien af medianen, som vi lige har opnået, ln2/λ, med værdien af medianen af denne fordeling, som vi nævnte i begyndelsen, 1/λ, indser vi hurtigt, at medianen er mindre end middelværdien, fordi ln2 er et tal mindre end 1.
Når middelværdien ikke falder sammen med medianen, siges fordelingen at være skæv. Da middelværdien i dette tilfælde er større end medianen, siges den eksponentielle funktion at være skæv til højre .
Fordi medianen er et mål for central tendens, der er mindre følsom over for ekstreme værdier end gennemsnittet, foretrækkes det i tilfælde som dette, hvor bias findes, at bruge medianen til at repræsentere den centrale tendens.
Referencer
LesKanaris. (nd). Sådan beregnes medianen af den eksponentielle fordeling – Interessant – 2021. Hentet fra https://us.leskanaris.com/2916-exponential-distribution-medians.html
Lifehackk. (2018). Sådan beregnes medianen af den eksponentielle fordeling – 2021. Hentet fra https://esp.lifehackk.com/14-calculate-the-median-of-exponential-distribution-3126442-7366
Simpel matematik. (2021, 6. september). Median – eksponentiel fordeling [Videofil]. Gendannet fra https://www.youtube.com/watch?v=0s3h1Tfysog
Mtz De Lejarza E., J., & Mtz De Lejarza E., I. (1999). Eksponentiel fordeling. Hentet fra https://www.uv.es/ceaces/base/modelos%20de%20probabilidad/exponencial.htm