Tabla de Contenidos
Momenter i beregninger i statistik handler om at bestemme parametre såsom middelværdien, variansen eller skævheden af en sandsynlighedsfordeling. Udtrykket moment stammer fra fysik, fra beregningen af tyngdepunktet for et sæt legemer med forskellige masser.
definition af øjeblik
Hvis der er et sæt af n diskrete data x 1 , x 2 , x 3 , … x n , er ordremomentet s defineret som:
( x 1 s + x 2 s + x 3 s +…+ x n s )/ n
Den rækkefølge, som beregningen udføres i, er vigtig. Først skal du lave forhøjelsen til potensen s , derefter foretage additionen og til sidst divisionen med n .
Ved at anvende denne definition har vi det første ordensmoment, når s = 1 og den foregående formel har formen:
( x 1 + x 2 + x 3 +…+ x n )/ n
Dette er udtryk for formlen for middelværdien af et sæt værdier.
Hvis det sæt, vi analyserer, består af de 4 numre 1, 3, 6, 10, er det første ordensmoment i dette sæt:
(1 + 3 + 6 + 10)/4 = 5
I dette eksempel er det observeret, at det første ordensmoment er gennemsnittet af det sæt af værdier, der studeres.
Anden ordensmomentet svarer til s = 2, og definitionen bliver da som følger:
( x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 +…+ x n 2 )/ n
Hvis vi anvender det på det foregående eksempel, får vi:
(1 2 + 3 2 + 6 2 + 10 2 )/4 = (1 + 9 + 36 + 100)/4 = 36,5
På samme måde svarer det tredje ordensmoment til s = 3, og formlen har formen:
( x 1 3 + x 2 3 + x 3 3 +…+ x n 3 )/ n
Og beregningen i eksemplet, vi betragter, har udtrykket:
(1 3 + 3 3 + 6 3 + 10 3 )/4 = (1 + 27 + 216 + 1000)/4 = 311
Momenterne for middelværdien af et sæt værdier
En anden anvendelse af begrebet moment er dets beregning af middelværdien af et sæt værdier. Det vil sige til de værdier, der opnås fra forskellen mellem hver værdi af et sæt i forhold til middelværdien. For at gøre dette skal du først beregne den gennemsnitlige værdi af sættet, derefter definere den variabel, som momenterne skal beregnes på, som forskellen mellem gennemsnittet og hver værdi af sættet, og til sidst anvende den tidligere formel på denne nye variabel.
Så, hvis m er gennemsnittet af værdisættet x 1 , x 2 , x 3 , … x n , vil momenterne omkring gennemsnittet af m s af et værdisæt have formen:
m s = [( x 1 – m ) s + ( x 2 – m ) s + ( x 3 – m ) s +…+ ( x n – m ) s ]/ n
Ifølge denne beregning er middelværdiens første ordensmoment 0. Lad os se, hvordan dette resultat opnås:
m 1 = [( x 1 – m )+ ( x 2 – m ) + ( x 3 – m ) +…+ ( x n – m )]/ n
m 1 = [ x 1 + x 2 + x 3 +…+ x n – n . m )]/ n
m 1 = [ x 1 + x 2 + x 3 +…+ x n ]/ n – [ n . m ]/ n
m 1 = m – m = 0
Anden ordens moment af middelværdien har følgende udtryk:
m 2 = [( x 1 – m ) 2 + ( x 2 – m ) 2 + ( x 3 – m ) 2 +…+ ( x n – m ) 2 ]/ n
Dette er formlen for variansen af et sæt værdier.
Hvis vi anvender denne formel på det foregående eksempel, har vi, at gennemsnittet, som vi allerede har beregnet, er 5, så formlen bliver
m 2 = [(1 – 5) 2 + (3 – 5) 2 + (6 – 5) 2 + (10 – 5) 2 ]/4 = 11,5
Således ser vi, at førsteordensmomentet af et sæt værdier er middelværdien, og andenordensmomentet om middelværdien er variansen af dette sæt. Tredjeordensmomentet af middelværdien blev brugt af Karl Pearson til beregning af skævheden af værdisættet, mens fjerdeordensmomentet af middelværdien bruges til beregning af statistisk kurtosis.
Kilder
Alexander Mood, Franklin A. Graybill, Duane C. Boes, Introduktion til teorien om statistik . Tredje udgave, McGraw-Hill, 1974.
Peter H. Westfall, Understanding Advanced Statistical Methods . Boca Raton, FL: CRC Press, 2013.
