Hvad er de reelle tal?

Tal har forskellige egenskaber og kan klassificeres i forskellige grupper. En af disse grupper, med bred anvendelse i forskellige grene af matematikken, er de reelle tal. For at forstå dem bedre, lad os først se, hvad de forskellige typer tal er.

Numrene

Det første, vi lærer om tal, er, hvordan man bruger dem til at tælle; vi starter med at matche dem med fingrene for at udføre enkle handlinger. Vores ti fingre er således bunden af ​​decimalsystemet. Derfra tæller vi mængder så store vi kan og bemærker, at tallene er uendelige. Og så ved at tilføje nul (0), når vi ikke har noget at tælle, dannes de naturlige tal.

Med de naturlige tal laver vi aritmetiske operationer, og når vi trækker et andet tal fra et tal, skal vi indføre de negative tal. Så hvis vi lægger de negative tal til de naturlige, får vi sættet af heltal.

Blandt de aritmetiske operationer, vi udfører med tal, er division. Og vi finder, at der er tilfælde, hvor når man dividerer et tal med et andet, er resultatet ikke et heltal; I mange tilfælde kan dette divisionsresultat kun repræsenteres nøjagtigt af selve divisionsudtrykket, det vil sige en brøk. Sådan er mængden af ​​rationelle tal opbygget, hvor alle tal skrives som en brøk og de heltal har tallet 1 som nævner.

Det var de gamle civilisationer, der observerede, at der var tal, der ikke kunne repræsenteres som brøker. Når de arbejdede med geometriske figurer, fandt de tallet pi, forholdet mellem radius og længden af ​​en cirkel, et tal, der ikke kan udtrykkes som kvotienten mellem to heltal. Det er også tilfældet med kvadratroden af ​​tallet 2 (det vil sige det tal, der ganges med sig selv, ville give tallet 2 som resultat). Og der er mange tal, der dukker op i forskellige grene af viden, som ikke er en del af sættet af rationelle tal. Disse tal, som ikke nøjagtigt kan repræsenteres som kvotienten af ​​to hele tal, kaldes irrationelle tal. Sættet af rationelle og irrationelle tal udgør således mængden af ​​reelle tal.

De reelle tal er en del af et endnu større sæt tal: de komplekse tal. Denne udvidelse af mængden af ​​reelle tal opstår, når vi vil beregne kvadratroden af ​​et negativt tal; Da produktet af to negative tal altid er positivt, er der ikke noget reelt tal, der ganget med sig selv er negativt. Derefter defineres det imaginære tal i , som repræsenterer kvadratroden af ​​-1, og mængden af ​​komplekse tal opstår.

decimalrepræsentation

Alle tal kan udtrykkes i decimalform; For eksempel kan det rationelle tal 1/2 udtrykkes i decimalform som 0,5. I modsætning til det rationelle tal 1/2, som nøjagtigt kan repræsenteres af en enkelt decimal, har andre rationelle tal et uendeligt antal decimaler og har ikkeDe kan udtrykkes nøjagtigt med decimalrepræsentationen. Dette er tilfældet med tallet 1/3; Dens decimalrepræsentation er 0,33333…, med et uendeligt antal decimaler. Disse rationelle tal kaldes periodiske decimaltal, da der i alle tilfælde er en talfølge, der gentages uendeligt mange gange. I tilfælde af tallet 1/3 er denne rækkefølge 3; i tilfælde af tallet 1/7 er dets decimalform 0,1428571428571…, og sekvensen, der gentages uendeligt, er 142857. Irrationelle tal er ikke periodiske decimaltal; der er ingen sekvens, der gentages uendeligt mange gange i sin decimalrepræsentation.

Visuel repræsentation

De reelle tal kan visualiseres ved at knytte hver af dem til et af de uendeligt mange punkter langs en ret linje, som vist på figuren. I denne grafiske fremstilling er tallet pi, hvis værdi er ca. 3,1416, tallet e , som er ca. 2,7183, og kvadratroden af ​​tallet 2, ca. 1,4142. Fra tallet 0 til højre er de positive reelle tal placeret i stigende form, og til venstre øger de negative deres absolutte værdi i den retning.

Nogle egenskaber ved reelle tal

Reelle tal opfører sig som heltal eller rationelle tal, som vi er mere fortrolige med. Vi kan addere, subtrahere, gange og dividere dem på samme måde; den eneste undtagelse er division med tallet 0, en operation der ikke er mulig. Rækkefølgen af ​​additionerne og multiplikationerne er ikke vigtig, da den kommutative egenskab stadig gælder, og den fordelende egenskab gælder på samme måde. På samme måde er to reelle tal x og y ordnet på en unik måde, og kun én af følgende relationer er korrekt:

x = y , x < y eller x > y

De reelle tal er uendelige, ligesom de heltal og de rationelle tal. I princippet er dette indlysende, da både heltal og rationale er delmængder af de reelle tal. Men der er en forskel: i tilfælde af heltal og rationelle tal siges det, at de er tælleligt uendelige tal; i stedet er de reelle tal uendelige utallige.

Et sæt siges at kunne tælles eller tælles, når hver af dets komponenter kan associeres med et naturligt tal. Associationen er indlysende i tilfælde af heltal; i tilfælde af rationelle tal kan det ses som associationen til et par naturlige tal, tælleren og nævneren. Men denne sammenhæng er ikke mulig i tilfælde af reelle tal.

Kilder

• Arias Cabezas, Jose Maria, Maza Saez, Ildefonso. Aritmetik og algebra . I Carmona Rodríguez, Manuel, Díaz Fernández, Francisco Javier, red. Matematik 1. Bruño Editorial Group, Limited Company, Madrid, 2008.
• Carlos Ivorra. Logik og mængdeteori . 2011.