Tabla de Contenidos
Logik er en gren af matematikken, og en del af den er mængdelære. De Morgans love er to postulater om samspillet mellem mængder. Disse love registrerer forhistorier hos Aristoteles og William af Ockham. Augustus De Morgan levede mellem 1806 og 1871 og var den første til at inkludere de love, han postulerede i den formelle struktur af matematisk logik.
Operatører i mængdelære
Før vi går videre til De Morgans postulater, lad os se på nogle definitioner af mængdeteori.
Hvis der er to sæt af elementer, som vi vil kalde A og B, er skæringspunktet mellem disse to sæt det sæt af elementer, der er fælles for begge sæt. Skæringspunktet mellem to mængder er angivet med symbolet ∩, og er et andet sæt, som vi kan kalde C; C = A∩B, og C er det sæt af elementer, der optræder i både gruppe A og gruppe B. Tilsvarende er foreningen af to mængder A og B et nyt sæt, der indeholder alle elementer af A og B, og det bemærkes med symbolet U. Mængden C, forening af A og B, C = AUB, er en mængde, der er integreret med alle elementerne i A og B. Den tredje definition, som vi skal huske, er komplementet til en mængde: hvis vi har et bestemt univers af elementer og et sæt A af dette univers, er komplementet af A det sæt af elementer i det univers, der ikke hører til mængden A. Komplementmængden af A betegnes som A C .
Disse tre operatorer mellem sæt kan generaliseres til operationen mellem flere sæt, det vil sige til skæringspunktet, foreningen og komplementet af flere sæt. Lad os se på et simpelt eksempel. Den følgende figur viser Venn-diagrammet af tre sæt: fuglene, repræsenteret af papegøjen, strudsen, anden og pingvinen; de levende væsener, der flyver, repræsenteret af papegøjen, anden, sommerfuglen og flyvefisken, og de levende væsener, der svømmer, repræsenteret ved anden, pingvinen, flyvefisken og hvalen. Anden er krydsningssættet af de tre sæt: foreningen af fugle og levende væsener, der flyver, består af strudsen, papegøjen, sommerfuglen, anden, pingvinen og flyvefisken. Og komplementet af de levende væsener, der flyver og dem, der svømmer, er sættet, der indeholder strudsen.
De Morgans love
Nu kan vi se postulaterne af De Morgans love. Det første postulat siger, at komplementet af mængdeskæringspunktet mellem to sæt A og B er lig med mængdeforeningen af komplementet af A og komplementet af B. Ved at bruge operatorerne defineret i det foregående afsnit kan De Morgans første lov skrives på følgende måde:
(A∩B) C = A C UB C
De Morgans anden lov postulerer, at komplementet af foreningssættet af A og B er lig med skæringspunktet mellem komplementsættet af A og komplementsættet af B, og det bemærkes som følger:
(AUB) C = A C ∩ B C
Lad os se et eksempel. Overvej mængden af heltal fra 0 til 5. Dette er angivet som [0,1,2,3,4,5]. I dette univers definerer vi to sæt A og B. A er mængden af tallene 1, 2 og 3; A = [1,2,3]. YB er sættet af tallene 2, 3 og 4; B = [2,3,4]. De Morgans første lov ville gælde som følger.
A = [1,2,3]; B = [2,3,4]
De Morgans første lov: (A∩B) C = A C UB C
(A∩B) C
A∩B = [1,2,3]∩[2,3,4] = [2,3]
(A∩B) C = [2,3] C = [0,1,4,5]
A C UB C
A C = [1,2,3] C = [0,4,5]
B C = [2,3,4] C = [0,1,5]
A C UB C = [0,4,5]U[0,1,5] = [0,1,4,5]
Resultatet af anvendelsen af operatørerne på begge sider af ligestillingen viser, at De Morgans første lov er verificeret. Lad os se anvendelsen af eksemplet på det andet postulat.
De Morgans anden lov: (AUB) C = A C ∩ B C
(AUB) C
AUB = [1,2,3]U[2,3,4] = [1,2,3,4]
(AUB) C = [1,2,3,4] C = [0,5]
A C ∩ B C
A C = [1,2,3] C = [0,4,5]
B C = [2,3,4] C = [0,1,5]
A C ∩ B C = [0,4,5]∩[0,1,5] = [0,5]
Som med det første postulat gælder i det givne eksempel også De Morgans anden lov.
Kilder
AG Hamilton. Logik for matematikere. Redaktionel Paraninfo, Madrid, 1981.
Carlos Ivorra Castillo. Logik og mængdelære . Tilgået november 2021
