Hvad er et gennemsnit i matematik?

I matematik er et gennemsnit, også kaldet middelværdi, et tal, der opsummerer værdien af ​​et sæt tal eller data i en . Det er kendt som et mål for central tendens, fordi det på en eller anden måde repræsenterer en værdi, der er i centrum af en samling af data.

Hvad er gennemsnittet for?

Gennemsnittene er meget nyttige, da de giver os mulighed for i store træk at se adfærden af ​​et stort antal data uden at gå tabt i detaljerne i hver af de individuelle værdier. For at bruge en analogi, giver beregning af et gennemsnit os mulighed for at se skoven som en helhed i stedet for at fokusere på træerne.

For eksempel kan vi have en tabel, hvori er værdierne for højden af ​​100 elever i samme klasse på en uddannelsesinstitution. Mest sandsynligt er ingen af ​​disse mennesker nøjagtig den samme højde, så de fleste af værdierne i tabellen vil være forskellige.

Hvad ville der ske, hvis nogen spurgte os, hvor høje eleverne i den klasse er på det campus? Det ville være forkert at angive højden af ​​nogen af ​​dem som svar. Det er her, gennemsnit begynder at hjælpe. I stedet for at rapportere 100 forskellige højder, giver gennemsnittet dig mulighed for at opsummere al den information i et enkelt tal. Vi kunne altså sige, at de studerende på campus i gennemsnit er 1,67 m høje (hvis det var tilfældet).

Det betyder ikke, at ikke alle elever måler 1,67, og heller ikke at nogen af ​​dem har denne højde. Simpelthen at det tal, der bedst repræsenterer højden af ​​eleverne i den klasse på det pågældende campus, er 1,67 m.

Tab af information ved beregning af gennemsnit

Det er klart, at du går glip af en masse information ved at opsummere data til et gennemsnit. Information er ofret for klarheden. Beregningen af ​​gennemsnit er en del af det, der er kendt som beskrivende statistik, som ikke er andet end et sæt af teknikker og beregninger, der gør det muligt at beskrive adfærden eller karakteristika for en stor datasamling med få tal.

Gennemsnittene i sig selv giver normalt ikke nok information til mange af de applikationer, vi giver dem. For at genskabe nogle af de manglende oplysninger, rapporteres gennemsnit ofte sammen med et vist mål for spredningen af ​​individuelle data omkring middelværdien, såsom varians eller standardafvigelse.

Typer af gennemsnit og deres formler

Der er forskellige måder at beregne et gennemsnit på fra en samling af data. Dette giver anledning til forskellige typer af gennemsnit eller rettere sagt gennemsnit.

• Aritmetisk middelværdi (X̅ eller AM)
• Vægtet aritmetisk middelværdi (WAM)
• Geometrisk middelværdi (GM)
• Harmonisk middelværdi (HM)
• Root Mean Squares (RMS)

Aritmetisk middelværdi (X̅ eller AM)

Det aritmetiske gennemsnit, eller AM, er den mest almindeligt anvendte form for gennemsnit i dagligdagen. Det er en simpel sum af de elementer, der skal sættes i gennemsnit, divideret med det samlede antal elementer eller data.

Det aritmetiske middelværdi er repræsenteret i mange matematiske sammenhænge af symbolet, der repræsenterer den variable, der sættes i gennemsnit med en søjle over den. For eksempel er det aritmetiske middelværdi af variablen X repræsenteret som X̅ (X-bar). Det er også nogle gange repræsenteret af AM _X . Dens formel er givet af:

I denne ligning repræsenterer Xi det ide individuelle dataelement, og n er det samlede antal af dataelementer, som gennemsnittet beregnes _.

Dette gennemsnit har den egenskab, at det er i centrum af alle data, på en sådan måde at summen af ​​afvigelserne af alle de enkelte data i forhold til gennemsnittet altid er nul.

Det aritmetiske gennemsnit er meget følsomt over for outliers eller ekstreme data. Det vil sige, at når der er en værdi i et datasæt, der enten er meget større end langt størstedelen af ​​de andre data eller meget mindre, trækker disse ekstreme data gennemsnittet hen imod sig, væk fra størstedelen af ​​de andre data.

Vægtet aritmetisk gennemsnit (WAM eller W)

Det aritmetiske gennemsnit giver lige stor betydning eller vægt til alle de data, der sættes i gennemsnit. Dette er dog ikke altid praktisk, da nogle data kan være vigtigere end andre. I disse tilfælde bruges det vægtede aritmetiske gennemsnit eller det vægtede gennemsnit, som normalt repræsenteres af symbolet W (fra engelsk ” vejet gennemsnit” ).

Ved vægtet gennemsnit indgår den relative betydning af hvert dataelement i beregningen i form af en bestemt vægtningsfaktor ( w _i ) for hvert dataelement ( Xi ₎ . Jo større vigtigheden af ​​dataene er, desto større er vægtningsfaktoren, hvilket øger deres indflydelse på det endelige gennemsnit. Formlen til at beregne det vægtede gennemsnit er:

Vægtningsfaktoren kan vælges vilkårligt, og kan i nogle tilfælde endda beregnes ved hjælp af en passende vægtningsfunktion, alt efter behov.

Et eksempel på en situation, hvor det vægtede gennemsnit er mere passende end det simple gennemsnit, er givet ved beregning af en elevs karaktergennemsnit. Det aritmetiske middel eller det simple gennemsnit er ikke egnet til disse tilfælde, da der er fag, der kræver meget mere arbejde og dedikation end andre, og der er også fag, der er vigtigere end andre for den studerendes faglige fremtid. Af denne grund bør de bidrage mere til GPA end mindre vigtige emner.

I disse tilfælde bruges fagets antal kreditenheder normalt som vægtningsfaktor.

geometrisk middelværdi (GM)

Ved beregning af det geometriske middelværdi multipliceres de n individuelle data i stedet for at tage summen af ​​dataene og dividere dem med antallet af data, og den n’te rod af det fælles produkt tages.

Dette middel har egenskaben at være nul, hvis nogen af ​​de data, der beregnes som gennemsnit, er nul. Også, hvis antallet af dataelementer er lige, så er det geometriske middelværdi ikke defineret for negative data, hvorfor dets anvendelighed er begrænset til strengt positive tal.

Denne type gennemsnit bruges ofte ved beregning af procentgennemsnit.

Harmonisk middelværdi (HM)

Den harmoniske middelværdi, eller HM, er en type gennemsnit, der ofte bruges til at gennemsnit af mængder, der beregnes som produkter eller kvotienter. Nogle vigtige eksempler er beregning af gennemsnitshastigheder over lige lange ture, pris/indtjening-forholdet (PER) på investeringer på aktiemarkedet mv.

Formlen til beregning af den harmoniske middelværdi består af den inverse af den aritmetiske middelværdi af de individuelle datas invers. Med andre ord er det givet ved følgende ligning:

Root Mean Square (RMS)

Også kendt som rodmiddelkvadrat, repræsenterer RMS en type gennemsnit, der er egnet til data, der har både positive og negative værdier. Dette er fordi det svarer til kvadratroden af ​​det aritmetiske middelværdi af kvadraterne af de enkelte data. Ved at kvadrere hvert stykke data vil det opnåede resultat altid være positivt, så dette tegns indflydelse på beregningen af ​​gennemsnittet elimineres.

RMS er givet af:

Den mest almindelige anvendelse af RMS er beregningen af ​​den effektive spænding af AC-strømmen med sinusformet bølge. I dette tilfælde er det vigtigste den gennemsnitlige amplitude af bølgen og ikke den gennemsnitlige værdi af spændingen, som er nul på grund af symmetri omkring 0 V.

Andre mål for central tendens: medianen og tilstanden

Ud over de forskellige virkemidler, som vi så før, er der også andre mål for central tendens, som hovedsageligt bruges i statistik. Disse er medianen og tilstanden.

Medianen (X̃)

I et sæt kvantitative data ordnet fra mindste til største, repræsenterer medianen de centrale data eller værdien af ​​den variabel, der deler dataserien i to halvdele eller sæt med det samme antal data. På denne måde afhænger bestemmelsen af ​​medianen, som er repræsenteret ved at placere en tilde eller tilde over symbolet for den interessante variabel (f.eks. kan ṽ repræsentere medianen af ​​en række hastighedsdata), af det samlede antal tilgængelige data.

Medianen beregnes ikke nødvendigvis, men er snarere identificeret i et datasæt. For at identificere medianen er den første ting at gøre at bestille alle data fra mindste til største og derefter nummerere dem i rækkefølge fra 1 og fremefter. Det næste trin afhænger af, om det samlede antal tilstedeværende data (n) er lige eller ulige:

Antal ulige data: Hvis serien indeholder et ulige antal data, vil medianen være de data, der identificeres med tallet (n+1)/2. For eksempel, hvis der er 15 datapunkter i alt, vil medianen være datapunktet (15+1)2=8, da dette efterlader 7 datapunkter under og 7 datapunkter over medianen.

Antal lige data: I dette tilfælde er der ingen centrale data, der deler serien i to lige store halvdele, så medianen beregnes som det aritmetiske middelværdi af de to centrale data, det vil sige af datanummeret n/2 og dataene (n/2) +1. For eksempel, hvis en dataserie indeholder 24 dataelementer, så vil medianen være det simple gennemsnit mellem dataelementet 2/2=12 og dataelementet (2/24)+1=13.

Medianen giver den fordel at være mindre følsom over for ekstreme værdier end gennemsnittet. Det er dog ikke et godt mål for central tendens, hvis dataene er skæve.

Tilstanden (Mo _X )

Tilstanden er simpelthen den hyppigst forekommende værdi eller kategori i et datasæt. Det er noget i retning af den “hotteste” værdi i serien og repræsenterer den højeste top, når dataene er repræsenteret i form af et histogram.

Eksempel på beregning af forskellige gennemsnit

Antag, at vi har følgende række data svarende til højden af ​​30 elever i en matematikafdeling på en skole i hovedstaden. Alle højder er i meter.

Ud fra disse data bestemmes a) det aritmetiske middelværdi; b) det geometriske middelværdi; c) den harmoniske middelværdi; d) RMS og e) medianen.

Løsning

Da vi bliver bedt om at bestemme medianen, og for dette skal vi have dataene ordnet og identificeret, starter vi der, da dette normalt letter de andre beregninger:

Nu vil vi ved hjælp af denne tabel beregne det middel, som vi bliver bedt om at beregne. I begge tilfælde er det blot et spørgsmål om at anvende ligningerne vist ovenfor:

Aritmetisk gennemsnit

Geometrisk middelværdi

harmonisk middel

RMS

Median

Da det er et lige antal data, vil medianen være det aritmetiske gennemsnit af dataene 30/2=15 og (30/2)+1=16, dvs. det vil være gennemsnittet mellem 1,58 og 1,59:

Referencer

Conthe, M. (2017, 21. juli). Aritmetisk middelværdi eller geometrisk middelværdi? Udvidelse. https://www.expansion.com/blogs/conthe/2017/07/21/un-calculo-poco-armonico.html

Nyd matematik. (2011). Definition: Gennemsnit . Enjoythemathematics.com. https://www.disfrutalasmatematicas.com/definiciones/average.html

Larios, R. (2020, 9. september). Hvad er gennemsnittet i matematik? Lær hjemme II . Jalisco Union. https://www.unionjalisco.mx/2020/09/09/que-es-el-promedio-en-matematicas-aprende-en-casa-ii/

López, JF (2021, 2. februar). geometrisk middelværdi . Økonomipedia. https://economipedia.com/definiciones/media-geometrica.html

Matematik, M. (2020, 25. juni). gennemsnit; Aritmetik; geometriske og harmoniske; ejendomme; applikationer . Matematik. https://matematicas.review/promedios-aritmetico-geometrico-y-armonico-propiedades-aplicaciones/

Pérez P., J., & Merino, M. (2011). Definition af gennemsnit . Definition af. https://definicion.de/average/

Det åbne universitet. (2020). Grundvidenskab: forståelse af tal . OpenLearn. Tilgængelig på https://www.open.edu/openlearn/science-maths-technology/basic-science-understanding-numbers/content-section-overview .