Tabla de Contenidos
I matematik er den forventede værdi , også kendt som forventningen , det langsigtede gennemsnit af værdien af en tilfældig variabel. På en måde svarer det til værdien af den stokastiske variabel, som vi i gennemsnit ville forvente at opnå efter at have gentaget et tilfældigt eksperiment mange gange (deraf navnet “forventet værdi”).
Der er to forskellige måder at beregne den forventede værdi på afhængigt af hvilken type stokastisk variabel der er tale om. Denne variabel er normalt repræsenteret med det store bogstav X og kan enten være kontinuerlig eller diskret. I hvert af tilfældene ændres måden at beregne forventningen til X (angivet med E[X]), som det vil fremgå nedenfor.
Beregning af den forventede værdi af en diskret stokastisk variabel
En tilfældig variabel er enhver funktion, der tildeler et tal eller en numerisk værdi til hvert resultat af et tilfældigt eksperiment, det være sig kvantitativt eller kvalitativt. I tilfælde af diskrete stokastiske variable refererer disse til de stokastiske variable, der har et begrænset antal mulige udfald, eller hvis udfald kan ordnes som første, anden, tredje osv.
Et eksempel på en diskret tilfældig variabel kan være antallet af lige tal, der kastes, når to 6-sidede terninger kastes. I dette tilfælde ville de eneste mulige værdier af den tilfældige variabel være 0, 1 og 2.
Den forventede værdi af en diskret tilfældig variabel beregnes ved at tilføje produktet af hver værdi af variablen og sandsynligheden for denne værdi. Dette kan skrives matematisk ved hjælp af følgende formel:
I denne ligning er E[X] forventningen til X (den værdi, vi ønsker at bestemme), x i svarer til den stokastiske variabels ith værdi, og P(x i ) svarer til sandsynligheden for, at resultatet af eksperimentet er x i .
Eksempel på beregning af den forventede værdi af en diskret stokastisk variabel
En praktisk og enkel måde at forstå begrebet forventet værdi på er gennem hasardspil. Forestil dig et spil heldig roulette, som showet, der med lokale variationer bliver sendt på tv i mange lande. I dette roulettehjul er der i visse tilfælde 4 wedges, der resulterer i at tabe $400, der er 5 wedges, der indeholder 0, 6, der indeholder $1.000 og 1 wedge med jackpotten på $6.000. Spørgsmålet er, hvad er den forventede værdi af det beløb, som roulette-deltagere vil vinde i det lange løb?
Når vi står over for et problem som dette, er den første ting, vi skal gøre, at bestemme alle de mulige resultater af eksperimentet, der består af at dreje roulettehjulet. Derudover skal det være muligt at bestemme sandsynligheden for at opnå hver af de mulige værdier af den stokastiske variabel.
I det foreliggende tilfælde er der kun 4 mulige udfald, som er -$400, $0, $1.000 og $6.000. I alt er der 4 + 5 + 6 + 1 = 16 kiler, så sandsynligheden for hvert udfald af den stokastiske variabel er 1/4, 5/16. 3/8 og 1/16.
| x | P(x) |
| -$400 | 4/16 = 1/4 |
| $0 | 16/5 |
| $1.000 | 6/16 = 3/8 |
| $6.000 | 1/16 |
Nu har vi allerede det, vi skal bruge for at udføre summeringen for at bestemme den forventede værdi:
Det betyder, at roulette i det lange løb betaler sine deltagere $650.
Beregning af den forventede værdi af en kontinuert stokastisk variabel
Når en tilfældig variabel er kontinuert, betyder det, at mængden af dens mulige værdier består af et interval af reelle tal, uanset om dette interval er endeligt eller uendeligt. For kontinuerte stokastiske variable erstattes sandsynligheden med pdf’en, og summeringen erstattes af integralet:
I denne ligning er x den kontinuerte stokastiske variabel, og f (x) svarer til sandsynlighedsfordelingsfunktionen af x. Som det kan ses her, skal integralet udføres over alle mulige værdier af den stokastiske variabel, X-
Eksempel på beregning af den forventede værdi af en kontinuert stokastisk variabel
Overvej en kontinuert stokastisk variabel, hvis fordelingsfunktion er givet ved:
Du bliver bedt om at bestemme, hvad middelværdien eller forventet værdi af denne kontinuerte stokastiske variabel er.
Ved løsning af dette problem skal det tages i betragtning, at funktionen er defineret stykkevis, idet den reelle linje opdeles i 3 intervaller, som er (-∞; -2 ), [-2 ; 2] og (2; + ∞). På denne måde, når man anvender formlen for forventningen til X, opdeles integralet i summen af tre integraler:
Men da den tilfældige variabel, x, er nul i det første og sidste interval, så er begge integraler nul, hvilket kun giver centerintegralet, beregnet mellem -2 og +2:
Referencer
Forventet værdiberegner. (nd). Hentet fra http://www.learningaboutelectronics.com/Articulos/Calculadora-de-valor-esperado.php
del Rio, AQ (2019, 4. september). 5.4 Matematisk forventning til en tilfældig variabel | Sweetened Basic Statistics. Hentet fra https://bookdown.org/aquintela/EBE/esperanza-matematica-de-una-variable-aleatoria.html
López, JF (2021, 15. februar). Matematisk håb. Hentet fra https://economipedia.com/definiciones/esperanza-matematica.html
MateMobile. (2021, 1. januar). Middelværdi eller forventet værdi, varians og standardafvigelse for en kontinuert tilfældig variabel | matmobil. Hentet fra https://matemovil.com/media-o-valor-esperado-varianza-y-desviacion-estandar-de-una-variable-aleatoria-continua/
Webster, A. (2001). Statistik anvendt på erhvervslivet og økonomien (spansk udgave) . Toronto, Canada: Irwin Professional Publishing.
